НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Обозначения элементов n. Точки пространства – прописные латинские буквы или цифры: А, В, С… 1, 2, 3… n. Прямые и кривые линии пространства – строчные латинские буквы: а, в, с… n. Плоскости и поверхности – прописные греческие буквы: , , , … n Плоскость проекций – П
Обозначения элементов При образовании комплексного чертежа плоскости проекций П обозначают с добавлением индекса: 1, 2, 3, 4… при этом n горизонтальная плоскость проекций – П 1; n фронтальная плоскость проекций – П 2; n профильная плоскость проекций – П 3;
Обозначения элементов Проекции точек, прямых и плоскостей обозначают, как и их оригиналы, с добавлением соответствующего индекса: nгоризонтальные проекции элементов – А 1, а 1, Г 1; nфронтальные проекции элементов – А 2, а 2, Г 2; n профильные проекции элементов – А 3, а 3, Г 3.
Обозначения элементов n горизонтальная прямая – h – линия горизонтального уровня. n фронтальная прямая – f – линия фронтального уровня. n профильная прямая – p – линия профильного уровня.
Обозначения элементов n. Углы между элементами – строчные греческие буквы: , , , . n Основные операции: – пересечение геометрических элементов; – принадлежность геометрических элементов; – совпадение геометрических элементов.
1. МЕТОДЫ И СВОЙСТВА ПРОЕЦИРОВАНИЯ
1. 1. Центральное проецирование S А А’ П‘ В В’
1. 2. Параллельное проецирование S А А’ П‘ В В’
2. ТОЧКА, ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
Положение т. А в пространственной системе координат Z П 2 АZ А 3 А X АX П 3 0 А 1 АY П 1 Y
Комплексный чертеж т. А Z А 2 X П 2 АZ А 3 АX П 3 0 П 1 АY А 1 АY Y Y
Прямая на комплексном чертеже (КЧ) может быть задана: А 2 В 2 А 1 В 1 двумя точками а 2 а 1 своими проекциями
Плоскость на комплексном чертеже (КЧ) может быть задана: Е 2 С 2 А 2 В 2 а) Тремя точкам А 1 В 1 а 1 С 1 c 2 b 2 c 1 b 1 Е 1 б) Точкой и прямой в) Двумя параллельными прямыми
c 2 b 1 А 2 c 1 в) Двумя пересекающимися прямыми С 2 В 2 С 1 А 1 В 1 г) Плоской геометрической фигурой д) Следами плоскости
3. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО И ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ
3. 1. Прямые общего положения
n Наклонены ко всем плоскостям проекций и пересекают их. Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой. а 2 F 1 Н 2 а 1 Н ≡ Н 1 F ≡ F 2
3. 2. Прямые частного положения
Прямые частного положения Прямые уровня (прямые параллельные плоскостям проекций ) П 1 горизонталь фронталь h f f 2 h 1 f 1 б) a) П 3 П 2 профильная прямая p p 2 p 1 в) Проецирующие прямые (прямые перпендикулярные плоскостям проекций ) П 1 П 3 горизонтально профильно проецирующая П 2 проецирующая прямая фронтально прямая проецирующая прямая c 2 a 2 b 2 a 1 г) b 1 д) c 1 е)
3. 3. Плоскости общего положения
n Наклонены ко всем плоскостям проекций и пересекают их. Линии пересечения плоскости с плоскостями проекций называются следами плоскости. В 2 С 2 f A 2 h 0 0 ≡h 1 0 0 ≡f 2 h 02 ≡ f 01 Sx A 1 С 1 В 1
3. 4. Плоскости частного положения
Расположены параллельно плоскостям проекции или перпендикулярно им. n Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются: -Плоскость горизонтального уровня (горизонтальная плоскость) (параллельна П 1). - Плоскость фронтального уровня а 2 ≡ b 2 (фронтальная плоскость) (параллельна П 2). а 1 b 1 c 2 d 2 c 1 ≡ d 1 - Плоскость профильного уровня (профильная плоскость) (параллельна П 3). m 2 ≡ n 2 m 1 ≡ n 1
Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций, называются: - Горизонтально проецирующая плоскость (перпендикулярная П 1). n f 0 ≡ f 02 Sx - Фронтально проецирующая плоскость (перпендикулярная П 2). В 2 h 02 ≡ f 01 h 0 ≡h 0 1 -Профильно проецирующая плоскость (перпендикулярная П 3). f 0 ≡ f 02 h 0 ≡ h 01 p 0 ≡p 0 3 С 2 A 2 С 1 A 1 В 1
4. ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
n Это задачи на взаимное расположение геометрических элементов относительно друга. Исследуем эти задачи в последовательности : n Точки n Прямые n Плоскости
4. 1. Взаимное расположение двух точек
Положение точки на чертеже определяется ее координатами. Практический интерес вызывают точки расположенные на одном перпендикуляре к плоскости проекций. Конкурирующие точки - точки, расположенные на одном перпендикуляре к плоскости проекций • Из двух конкурирующих точек видимой считается та, у которой больше координата на другой плоскости проекций ( в данном случае точка В ) А 2 ≡В 2 А 1 В 1
4. 2. Взаимное расположение точки и прямой ТОЧКА ПРИНАДЛЕЖИТ ПРЯМОЙ - ЕСЛИ ЕЕ ПРОЕКЦИЯ ПРИНАДЛЕЖИТ ОДНОИМЕННЫМ ПРОЕКЦИЯМ ПРЯМОЙ
m 2 А 1 m 1
4. 3. Взаимное расположение двух прямых
Параллельные прямые а 2 а 1 b 2 b 1
Пересекающиеся прямые n 2 m 2 K 2 m 1 K 1 n 1
Скрещивающиеся прямые c 2 d 1 c 1
4. 4 Взаимное расположение точки и плоскости Точка принадлежит плоскости, если принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости
ПРИМЕР: Дана плоскость заданная следами. Требуется построить точку А, принадлежащую этой плоскости f 0≡f 02 h 02≡f 01 h 0≡h 01
РЕШЕНИЕ: так как в плоскости проекций можно построить бесчисленное множество точек, принадлежащих этой плоскости, то на одной из плоскостей проекций произвольно ставим одну проекцию точки( например А 2). f 0≡f 02 A 2 h 02≡f 01 h 0≡h 01
Но, вторую проекцию А 1 находим исходя из условия принадлежности точки плоскости, т. е. через А 2 проводим h 2. f 0≡f 02 12 A 2 h 02≡f 01 h 0≡h 01
f 0≡f 02 12 11 A 2 h 02≡f 01 h 0≡h 01
f 0≡f 02 12 A 2 h 02≡f 01 11 A 1 h 0≡h 01
4. 5. Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая принадлежит плоскости, если имеет: две общие точки или одну общую точку и параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.
ЗАДАНИЕ: Пусть дана плоскость двумя пересекающимися прямыми (Г (а b)). В этой плоскости провести две прямые m и n по двум условиям принадлежности прямой плоскости. a 2 Г 2 b 1 Г 1 a 1
Решение 1: Произвольно проводим m 2, так как прямая принадлежит плоскости, отмечаем проекции точек пересечения ее с а и b и определяем их горизонтальные проекции, через 11 и 21 проводим m 1. m 2 a 2 Г 2 12 22 21 b 2 b 1 Г 1 11 m 1 a 1
Решение 2: Через точку K плоскости проводим n 2 // m 2 и n 1 // m 1 m 2 a 2 n 2 Г 2 12 K 2 22 21 K 1 n 1 b 2 b 1 Г 1 11 m 1 Рис. 2 a 1
Прямая параллельна плоскости, если параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости.
4. 6. Пересечение прямой и плоскости Возможны три случая расположения прямой и плоскости относительно плоскостей проекций. В зависимости от этого определяется точка пересечения прямой и плоскости.
Первый cлучай - прямая и плоскость проецирующего положения В этом случае точка пересечения на чертеже имеется( обе ее проекции), ее нужно только обозначить
Задание: на чертеже дана плоскость следами – горизонтально проецирующего положения и прямая l – фронтально проецирующего положения. Определить точку их пересечения. Решение: точка пересечения уже есть - К(К 1 К 2) f 0≡f 02 l 2 h 02≡f 01 l 1 h 0≡h 01
f 0≡f 02 l 2 ≡K 2 h 02≡f 01 K 1 l 1 h 0≡h 01 Рис. 3
ВТОРОЙ СЛУЧАЙ- ИЛИ ПРЯМАЯ ИЛИ ПЛОСКОСТЬ ПРОЕЦИРУЮЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ. В этом случае на одной из плоскостей проекций одна проекция точки пересечения уже имеется (ее нужно только обозначить), а на второй плоскости проекций найти по принадлежности.
Пример 1 Плоскость занимает фронтально проецирующее положение, а прямая l – общего положения.
Решение: Проекция точки пересечения K 2 на чертеже уже имеется. l 2 f 0≡f 02 K 2 l 1 h 0≡h 01 h 02≡f 01
Проекцию K 1 нужно найти по принадлежности точки K прямой l Проводим перпендикуляр к горизонтальной плоскости проекций l 2 f 0≡f 02 K 2 h 02 l 1 h 0≡h 01 f 01 K 1 Рис. 4
Пример 2 Плоскость занимает общее положение, а прямая mфронтально проецирующее.
Точка пересечения K 2 уже есть( совпадает с m 2) f 0≡f 02 m 1 f 01≡h 02 h 0≡h 01
А K 1 надо найти из условий принадлежности точки K плоскости. Для этого через K проводим прямую ( h- горизонталь ), лежащую в плоскости т. е через m 2 проводим h 2 до пересечения с f 0≡f 02 m 2 ≡ K 2 f 01≡h 02 m 1 h 0≡h 01
Определяем горизонтальную проекцию точки 1 f 0≡f 02 m 2 ≡ K 2 11 h 2 f 01≡h 02 1 1 m 1 h 0≡h 01
Из точки 12 параллельно горизонтальному следу (h 01)проводим h 1 f 0≡f 02 m 2 ≡ K 2 11 12 h 2 f 01≡h 02 m 1 h 0≡h 01
Отмечаем точку пересечения К 1 f 0≡f 02 m 2 ≡ K 2 11 12 h 2 f 01≡h 02 m 1 h 0≡h 01 h 1
f 0≡f 02 m 2 ≡ K 2 11 12 K 1 m 1 h 2 f 01≡h 02 h 1 h 0≡h 01
ТРЕТИЙ СЛУЧАЙИ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ. В этом случае для определения точки пересечения прямой и плоскости необходимо воспользоваться так называемым посредником – плоскостью проецирующей. Для этого через прямую проводят вспомогательную секущую плоскость. Эта плоскость пересекает заданную плоскость по линии. Если эта линия пересекает заданную прямую, то есть точка пересечения прямой и плоскости.
ПРИМЕР: Определить взаимное положение прямой l и плоскости Г(a ∩ b). Z 2 12 l 2 a 2 K 2 22 b 2 a 1 11 K 1 l 1 21 b 1
5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
Преобразования чертежа необходимы для решения позиционных и метрических задач. ДВА СПОСОБА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Замена плоскостей проекций Изменение положения предмета относительно плоскостей проекций Способ вращения вокруг проецирующей Способ вращения совмещения прямой вокруг линии уровня
n Все преобразования комплексного чертежа можно свести к решению четырех основных задач: 1. Прямая общего положения преобразуется на чертеже в прямую уровня 2. Прямая уровня преобразуется в проецирующую прямую 3. Плоскость общего положения преобразуется в плоскость проецирующую 4. Плоскость проецирующая преобразуется в плоскость уровня.
5. 1. Способ замены плоскостей проекций Сущность способа: на чертеже вводится новая плоскость проекций таким образом, что предмет по отношению к ней занимает частное положение. Рассмотрим применения этого способа к решению четырех основных задач на преобразование
Первая задача: Прямая общего положения преобразуется в прямую уровня Введем новую плоскость проекций параллельно АВ. Проведем новую координатную ось П 1/П 4 параллельно А 1 В 1, т. о. введем новую фронтальную плоскость проекций. Спроецируем АВ на эту плоскость. n B 2 А 2 П 2 B 1 П 1 А 1 П 4 А 4 a B 4 HB [AB]
n Угол между НВ прямой и горизонтальной проекцией – это угол наклона АВ к горизонт. плоскости проекций П 1. n Если есть необходимость определить угол наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций, то координатную ось П 2/П 5 надо провести параллельно А 2 В 2 и на линиях связи от этой оси отложить Ау и Ву. Угол между НВ и фронтальной проекцией прямой АВ есть угол ( ) наклона прямой АВ к П 2.
n Часто для определения НВ отрезка и углов наклона прямой к плоскостям проекций пользуются СПОСОБОМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА. n Сущность: НВ отрезка есть гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого сама проекция отрезка, другой катет является разностью координат концов отрезка, взятой на другой плоскости проекций.
СПОСОБ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА B 2 Z А 2 B 1 a А 1 HB [AB] Z
Вторая задача: Прямая уровня преобразуется в прямую проецирующую. А 2 B 2 П 2 4 П П 1 А 1 B 1 A 4≡B 4
Третья и четвертая задачи: Плоскость общего положения преобразуется в плоскость проецирующую, и плоскость проецирующая – в плоскость уровня.
![B 2 12 h 2 С 2 П 2 A 2 HB [ ABС]](https://present5.com/presentation/63436965_170267061/image-75.jpg "B 2 12 h 2 С 2 П 2 A 2 HB [ ABС]")
B 2 12 h 2 С 2 П 2 A 2 HB [ ABС] A 5 C 5 A 1 A 4 a h 1 11 B 1 C 4 =h 4 B 5 П 4 B 4 П 1 С 1 П 4 П 1 Рис. 5. 1
5. 2. Решение некоторых метрических задач преобразованиями К. Ч. 5. 2. 1. Определение расстояний
1. Между двумя точками Решение сводится к определению натуральной величины (НВ) отрезка способом прямоугольного треугольника
2. Между прямой и точкой Решение – прямую необходимо преобразовать в проецирующую прямую
3. Между двумя скрещивающимися прямыми Решение – одну из прямых необходимо преобразовать в проецирующую прямую
n Пр. Определим расстояние между двумя скрещивающимися прямыми b 2 32 22 12 42 П 1 21 11 b 1 a 2 a 1 41 31 14 a 5 l 34 b 5 П 4 П 1 24 44 П 4 Рис. 5. 2
4. Между точкой и плоскостью Решение – плоскость необходимо преобразовать в проецирующую плоскость
5. 2. 2. Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций Решение 1: проводят линии наибольшего наклона (ЛНН) и определяют угол наклона этих прямых к П 1 и П 2 способом прямоугольного треугольника. Решение 2: заданную плоскость преобразуют в плоскость проецирующую, т. е. решают третью задачу на преобразование.
ЛИНИИ НАИБОЛЬШОГО НАКЛОНА – это линии, лежащие в заданной плоскости и перпендикулярные линиям уровня (или следам плоскости)
n Пр. Дана плоскость тр-ка АВС. Определим угол наклона тр-ка АВС к П 1 n Определяем ЛНН тр-ка АВС к плоскости П 1 n Способом прямоуг. тр-ка определяем НВ отрезка BD. n Угол между НВ отрезка и его горизонт. проекцией, есть угол наклона тр-ка АВС к плоскости П 1 B 2 h 2 z D 2 12 С 2 А 1 h 1 D 1 11 z a С 1 HB [DB] B 1
6. ПОВЕРХНОСТИ
6. 1. Образование поверхностей. Классификация.
В Н. Г. образование поверхностей рассматривают как результат движения некоторой образующей линии l по направляющей (a, b, c) (закон образования поверхности). И образующая, и направляющая могут быть прямыми или кривыми линиями. В зависимости от вида образующей и закона изменения направляющей, получается та или иная поверхность. z a l b c M 0 M x 1 y
Способ задания поверхности - кинематический Он позволяет любую поверхность задать определителем Определитель поверхности – совокупность геометрических элементов и связей между ними, которые позволяют построить каждую точку поверхности. Часто поверхность задается проекциями своих направляющих и указывается способ построения ее образующих. Для обеспечения наглядности целесообразно задавать очерком. изображения поверхность Очерк поверхности – проекция контурной линии
С переменной образующей ПОВЕРХНОСТИ С постоянной образующей Нелинейчатые Линейчатые Вращения Неразвертываемые Развертываемые Винтовые Пов-ть вращения общего вида Гиперболоид Параболоид Эллипсоид Тор Глобоид Без плоскости параллелизма Сфера Косая плоскость Коноид С плоскостью параллелизма Цилиндроид Многогранники Цилиндрические Конические (торсовые)
Неразвертываемые поверхности С плоскостью параллелизма - прямая перемещается по двум скрещивающимся линиям, оставаясь всегда параллельной некоторой плоскости называемой плоскостью параллелизма. Цилиндроид - направляющими две скрещивающиеся кривые. Коноид - направляющие скрещивающиеся линии, но одна из них прямая Гиперболический параболоид (косая плоскость) - направляющие две скрещивающиеся прямые. a 2 А Аb a f 0 a A ii 2 2 B 2 a B 2 2 2 i 2 B 2 f 0 b 2 f 2 b 00 2 xx a h xa a А b 2 О h a 1 1 h 0 0 0 a A i 11 А 1 a a i 1 1 a b 1 1 Bi 1 B b 11 1 1
Поверхность вращения i a a Меридиан (l) 1 Главный меридиа н Горло Параллель Экватор
Поверхность вращения общего вида – образуется вращением произвольной кривой вокруг оси i Каждая точка образующей l при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения, эти окружности называются параллели. Наибольшая параллель - экватор a 1 a Меридиан (i) Наименьшая параллель - горло Главны мериди й ан Горл о Параллел ь Экватор
Плоскости , проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии по которым они пересекают поверхность – меридианами. Главный меридиан – линия пересечения ( 1 ) с поверхностью вращения Главная меридиональная плоскость ( 1 ) параллельная плоскости проекций i a a Меридиан (i) 1 Главный меридиа н Горло Параллель Экватор
На К. Ч. поверхность задается очерками Фронтальный очерк – фронтальная проекция главного меридиана Горизонтальный очерк – горизонтальная проекция наибольшей параллели Каркас поверхности вращения – сеть состоящая из параллелей и меридианов
Поверхность вращения Эллипсоид Сфера i
Эллипсоид вращения Циклические Параболоид вращения Гиперболоид вращения (одно- и двуполостный) С постоянной образующей Тор (скрытый, закрытый) С переменно образующей Глобоид С плоскостью параллелизма Сфера Линейчатые Косой геликоид С незамкнутой образующей Поверхность общего вида Дважды косой цилиндроид Дважды косой коноид Однополостный параболоид Развёртываемые Гиперболический параболоид Коноид Цилиндроид С ребром возврата Цилиндрические Конические Поверхность общего вращения Конические С замкнутой образющий Поверхности Нелинейчатые Вращения Неразвёртываемые Без плоскости параллелизма
Поверхность вращения Глобоид
Поверхность вращения Тор
Поверхность вращения Однополостный гиперболоид
Поверхность вращения Двуполостный гиперболоид
Поверхность вращения Параболоид вращения
Эллипсоид вращения
6. 2. Пересечение поверхности плоскостью
Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой плоскую замкнутую линию. в случае пересечения: поверхности многогранника плоскостью поверхности вращения плоскостью Плоская замкнутая ломанная прямая линия Плоская замкнутая плавная кривая линия
Пр. На рис. 6. 1. изображена поверхность конуса вращения. При различных наклонах секущей плоскости по отношению к оси конуса и образующим линиям сечения представляют собой: Гипербола Пара прямых Парабола Эллипс Окружность
Линия пересечения определяется минимальным, но достаточным количеством точек, принадлежащих этой линии. При построении проекции: ЭЛЛИПСА проекции точек, определяющие большую и малую оси ОКРУЖНОСТИ ПАРАБОЛЫ, ГИПЕРБОЛЫ проекции пяти точек, включая точки их вершин центр и радиус
При определении линии пересечения поверхности плоскостью желательно иметь плоскость в проецирующем положении. (при необходимости выполняют преобразование К. Ч. ). Тогда на одной из плоскостей проекций линия пересечения уже имеется, а на другой ее нужно определить из условия принадлежности точки поверхности. Условие принадлежности точки поверхности: Точка принадлежит поверхности, если принадлежит линии, лежащей в этой поверхности.
Пример 1. Построить проекции сечение конуса вращения плоскостью . S 2 R A 2 B 2 C 2 ≡D 2 C 1 A 1 R D 1 B 1
Пример 2. Построить проекции линии сечения поверхности конуса плоскостью общего положения (a h) S 2 12 a 2 h 2 C 2 D 2 B 2 П 2 11 a 1 A 1 C 1 S 1 D 1 h 1 R П 1 A 2 П 1 П 4 h 4 14 C 2 ≡D 2 B 1 A 4 B 4 S 4
6. 3. Пересечение поверхностей с прямой
Способ вспомогательных секущих плоскостей Суть: через прямую проводят проецирующую плоскость, строят линию пересечения этой плоскости с поверхностью и отмечают точки пересечения этой линии с прямой, которые и являются точками пересечения прямой с поверхностью.
S 2 N 2 32 K 2 12 l 2 22 B 2 A 1 11 31 l 1 S 1 K 1 21 B 1 C 2 C 1 N 1
6. 4. Взаимное пересечение поверхностей
Взаимное пересечение поверхностей Многогранников Пространств-ая замкнутая ломанная прямая Поверхностей вращения Многогранника и поверхности вращения Пространств-ая замкнутая ломанная кривая Пространств-ая замкнутая плавная кривая
6. 4. 1. Пересечение многогранников
Линия пересечения определяется точками пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Точки пересечения ребер с гранями объединяются в звенья. Звено считается видимым, если принадлежит видимым граням. В случае, когда один многогранник призма, целесообразно на чертеже ее представить в проецирующем положении.
6. 4. 2. Пересечение многогранника с криволинейной поверхностью
Линия пересечения определяется пересечением граней многогранника с криволинейной поверхность. Если одна из поверхностей является призмой или цилиндром, то для решения удобно на чертеже их представить в проецирующем положении.
Пр. 4. Построить линию пересечения поверхности конуса и призматического отверстия 52 =5’ 2 22 =2’ 2 32 42 =3’ 2 =4’ 2 12 R R’ 62 51 41 31 4’ 1 3’ 1 5’ 1 21 11 2’ 1 61
6. 4. 3. Взаимное пересечение криволинейных поверхностей
Линия пересечения определяется опорными точками (точками, имеющими на чертеже хотя бы по одной проекции), экстремальными (наиболее удаленными), точками смены видимости, при необходимости промежуточными точками.
Пр. 4. Построить линию пересечения. S поверхности конуса и цилиндра 2 1 22=22 ’ 2 3 2 = 3 2’ 6 42=42’ 4 3 1 2 1 S 1 1 2 52=52’ 5 1 1 6 21 1 1 31 4 ’ 1 ’ ’ 51 ’
6. 5. Сфера в качестве посредника при определении линии пересечения поверхностей
Сферу в качестве посредника при определении линии пересечения двух поверхностей можно применять в том случае, если: - поверхности являются поверхностями вращения; - оси поверхностей пересекаются; - оси поверхностей составляют плоскость, параллельную плоскости проекции.
Существует два способа применения вспомогательных сфер : -способ концентрических сфер; - способ эксцентрических сфер.
Рассмотрим способ концентрических сфер на примере пересечения наклонного цилиндра и закрытого тора.
Скачать презентацию НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Обозначения элементов n Точки пространства
22 т,п лекции Начертат.геом. презент.ppt