НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Лекция 2 Направление обучения Архитектура

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Лекция 2 Направление обучения – «Архитектура»

Поверхности 2

Примеры современных архитектурных форм 3

Кинематический способ формирования поверхности Поверхность рассматривается как непрерывное множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону • g – образующая поверхности; • d – направляющая поверхности. 4

Способы задания поверхности 5

Определитель поверхности Это совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность. Определитель состоит из двух частей: Ф{(Г)(А)} • Геометрическая (Г) - геометрические фигуры - образующая и другие точки, линии, поверхности, участвующие в образовании поверхности. • Алгоритмическая (А) – закон перемещения и изменения формы образующей. Если образующая является прямой линией, которую можно однозначно задать двумя точками или точкой и направлением и графически не изображать, в отличие от кривой линии, то ее обозначение выносят за пределы геометрической части определителя Ф{g(Г)(А)} 6

Пример Ф { g(d 1, d 2, Σ)(g∩d 1, g∩d 2, g. IIΣ) } Ф - прямой цилиндроид (группа поверхностей Каталана), g – образующая (прямая линия), d 1, d 2 – направляющие, Σ – направляющая плоскость (плоскость параллелизма) gi 1 IIΣ 1 i=1, 2, 3, … 7

Очерк поверхности gΩi II s Ω Φ = n, Ω ∩ П к = n k, Очерк поверхности – это линия пересечения плоскости проекций с проецирующей поверхностью, касательной 8 к заданной поверхности и ее охватывающей.

Примеры поверхностей, заданных очерком 9

Каркас поверхности – это множество точек и линий, определяющих поверхность Ф { ai, bj } ai=Ф∩Гi, i=1, 2, 3, …, m bj=Ф∩Tj, j=1, 2, 3, …, n 10

11

Линейчатые поверхности с тремя направляющими Ф{g(d 1, d 2, d 3)(g∩d 1, g∩d 2, g∩d 3)} Поверхность косого клина Поверхность косого перехода 12

Линейчатые поверхности с двумя направляющими и направляющей плоскостью или плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) Ф{g(d 1, d 2, )(g∩d 1, g∩d 2, g. II )} Ф{g(d 1, d 2, )(g∩d 1, g∩d 2, =(g^ )=const)} 13

Линейчатые поверхности с одной направляющей Торсы S – реальная точка S∞ - несобственная точка пространства Ф{g(d, S)(g∩d, S g)} Ф{g(d, s)(g∩d, g II s)} 14

Плоская торсовая поверхность Плоскость Ф{g(s, d)(g. IIs, g∩d)} Ф{g(S, d)(S g, g∩d)} 15

Гранные поверхности Пирамидальная Призматическая 16

Поверхность вращения линейчатая Коническая нелинейчатая Цилиндрическая 17

18

Винтовые поверхности Прямой геликоид, Винтовой коноид 19

Точка на поверхности 20

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, принадлежащей этой поверхности А Ф А l , l Ф Линия l должна на проекциях иметь наиболее простую геометрическую форму: прямая или окружность (по возможности) 21

Точка на гранной поверхности Каждая грань – отсек плоскости. Построение точки на грани сводится к построению точки на плоскости 22

Точка на поверхности вращения Линейчатая поверхность вращения 23

Нелинейчатая поверхность вращения 24

Линия на поверхности

Линия на кривой поверхности • Линия принадлежит поверхности, если все множество ее точек принадлежит этой поверхности. • Следовательно, чтобы построить линию на поверхности, необходимо представить эту линию, как множество точек, и построить каждую точку этого множества, используя условие принадлежности точки поверхности.

Построение произвольной линии на поверхности В качестве примера взята цилиндрическая поверхность общего вида Ф{g(d, s)(g∩d, g II s)} - линейчатая поверхность Для А Ф, точка g, g Ф l l{1, 2, 3, …}

Примеры построения линии на поверхности, заданной очерком 28

Пересечение поверхности плоскостью

• Форма линии пересечения поверхности плоскостью определяется формой заданной поверхности и положением плоскости относительно этой поверхности. • Для кривой поверхности, в общем случае, линия пересечения - это плоская кривая линия. • Для плоскости (плоской поверхности) линия пересечения – прямая.

Линию пересечения поверхности плоскостью следует рассматривать как множество точек пересечения секущей плоскости с линиями, принадлежащими поверхности. Σ∩Ф=a Ф{m 1, m 2, . . , m. N} a{1, 2, . . , N} 1=m 1 ∩ Σ 2=m 2 ∩ Σ. . . N=m. N ∩ Σ

Из всего множества точек линии пересечения, в общем случае, должны быть обязательно построены следующие точки: • точки, определяющие габариты формы фигуру сечения; • точки, наиболее и наименее удаленные от плоскостей проекций; • точки, определяющие видимость линии контура фигуры сечения на проекциях.

Пересечение двух плоскостей 33

Если одна из двух пересекающихся плоскостей является плоскостью частного положения, то задача на построение линии их пересечения решается очень просто. β ∩ α(∆АВС)= l l β и l α(∆АВС) β П 2 β 2 – прямая; l β β 2 ≡ l 2 l α(∆АВС) l(M, N), M = β ∩ AB; N = β ∩ BC 34

Пересечение гранной поверхности плоскостью

• При пересечении гранной поверхности плоскостью линия пересечения – это ломаная линия, каждый участок которой – отрезок прямой, представляющий собой линию пересечения грани поверхности (отсека плоскости) с секущей плоскостью, а точки излома – точки пересечения ребер гранной поверхности (отрезков прямых) с той же секущей плоскостью. • Следовательно, решение задачи на построение линии пересечения сводится к определению точек пересечения ребер гранной поверхности с принятой секущей плоскостью.

Трехгранная пирамида. α – секущая плоскость. α ⊥П 2. Простроить линию пересечения поверхности пирамиды плоскостью α. m=Ф∩ α; m{1, 2, 3); 1=AF∩ α; 2=BF∩ α; 3=CF ∩ α.

m=Ф∩Р; m P и m Ф Р⊥П 2 Р 2 m{1, 2, 3}; 1=AF∩P; 2=CF∩ P; 3=BF∩ P

Пересечение конической поверхности плоскостью

При пересечении прямой круговой конической поверхности плоскостью форма линии пересечения определяется положением секущей плоскости относительно отдельных элементов поверхности.

Конические сечения Парабола Окружность, Эллипс Гипербола

Ф – прямая круговая коническая поверхность. Т – секущая плоскость. Ф ∩ Т = m, m – линия пересечения, F T m – две прямые образующие m 1 g 1 и m 2 g 2 43

В общем случае решение задачи на построение линии пересечения сводится к определению точек пересечения образующих поверхности с принятой секущей плоскостью.

Данная коническая поверхность относится к классу линейчатых и подклассу поверхностей вращения. Следовательно, для построения точки на поверхности можно использовать, как прямую линия (образующую), так и окружность (параллель).

Пересечение цилиндрической поверхности плоскостью

Форма линии пересечения прямой круговой цилиндрической поверхности плоскостью, так же как и при пересечении прямой круговой конической поверхности, определяется положением секущей плоскости относительно отдельных элементов поверхности.

Ф – прямая круговая цилиндрическая поверхность. Т – секущая плоскость. Ф ∩ Т = m, m – линия пересечения, Т II gn , n=1, 2, 3, …, m – две прямые – образующие m 1 g 1 и m 2 g 2 49

T ⊥ i, m ∩ gn, n=1, 2, 3, …, m – окружность T ⊥ i , m ∩ g n, n=1, 2, 3, …, m – эллипс 50

В общем случае решение задачи на построение линии пересечения цилиндрической поверхности плоскостью сводится к определению точек пересечения образующих поверхности с принятой секущей плоскостью.