НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Лекция 1 Направление обучения – «Архитектура»
• Чертеж – международный язык общения техников. • Начертательная геометрия – грамматика этого языка (чертежа). • Начертательная геометрия изучает методы построения изображений пространственных объектов на плоскости, а также способы преобразования полученных изображений для упрощения решения различных инженерных задач. 2
Базовые геометрические элементы начертательной геометрии
• Точка – абстрактное математическое понятие. Нульмерный объект (не имеет измерений). • Линия – непрерывное одномерное множество точек ( цепочка точек). Измерение : только длина. Толщины нет. • Поверхность – непрерывное двумерное множество точек. Измерения : длина, ширина, площадь. Толщины и объема нет. 4
Проективное пространство 5
Для устранения неоднородности Евклидова пространства условно принято, что параллельные между собой прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке F несобственной точке пространства. (m n) (m ∩ n = F ) Евклидово пространство, дополненное несобственными элементами, называют проективным. 6
Метод проецирования 7
Перспективная проекция Аксонометрическая проекция Ортогональные проекции Все изображения разные, но их объединяет то, что в основе их построения лежит один и тот же метод – метод проецирования Изображения, построенные на основе метода проецирования, называются проекционными 8
Метод проецирования Пк – плоскость проекций S – центр проецирования А – объект (точка) SA – проецирующая прямая SA ∩ П К = А К АК – проекция объекта (точки) А на плоскости проекций Пк 9
Для любой точки пространства SA ∩ Пк = Aк SВ ∩ Пк = Bк SС ∩ Пк = Cк SA ∩ SВ ∩ SС ∩ …= S 10
Варианты метода проецирования 11
Центральное проецирование (коническое) Расстояние от S до плоскости проекций Пк измеримая величина. S (центр проецирования) -– реальная точка. SA ∩ SB ∩ SC …= S 12
Параллельное проецирование (цилиндрическое) S (центр проецирования) – несобственная точка. S S SA ∩ SB ∩ SC …= S следовательно S A S B S C … s s – направление проецирования; S s 13
Параллельное проецирование (s^Пк)= φ φ=90º (s Пк) проецирование прямоугольное (ортогональное) φ=90º (s Пк) проецирование косоугольное 14
Проецирование Центральное Параллельное Косоугольное Прямоугольное 15
Проекции Ак соответствует любая точка на проецирующей прямой, проходящей через точку А. Одна проекция точки без каких-либо дополнительных условий однозначно не определяет ее положение в пространстве.
Метод Монжа 17
Ортогональная система двух плоскостей проекций
П 1 П 2 П 1 ∩ П 2= (1, 2) П 1 – горизонтальная плоскость проекций П 2 – фронтальная плоскость проекций I, III, IV – четверти пространства 19
Плоскости проекций П 1 и П 2 совмещены в одну общую плоскость. 20
Ортогональные проекции точки на две взаимно перпендикулярные плоскости однозначно определяют положение точки в пространстве и делают изображения обратимыми.
Проецирование точки 22
Точка в I-ой четверти Наглядное изображение Плоскостное изображение - Эпюр 23
Горизонтальная и фронтальная проекции точки располагаются на одной прямой, перпендикулярной оси x 12 А 1 А 2 х12 Расстояние от оси x 12 до горизонтальной проекции точки определяет расстояние от самой точки до фронтальной плоскости проекций. (х12 , А 1) = (А, П 2) - глубина Расстояние от оси x 12 до фронтальной проекции точки определяет расстояние от самой точки до горизонтальной плоскости проекций. (х12 , А 2) = (А, П 1) - высота 24
Проецирование прямой линии 25
Способы задания прямой на эпюре l (A, B)(A l; B l) l (С, s)(C l; l ll s) 26
Положение прямой относительно плоскости проекций Прямая общего положения Прямые частного положения Прямая уровня l II Пk и l Пk l II Пk Проецирующая прямая l Пk 27
ПРЯМЫЕ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ УРОВНЯ ПРОЕЦИРУЮЩИЕ 28
Прямая общего положения Это прямая не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций l II П 1 и l II П 2 l П 1 и l П 2 l 1 II x 1, 2 и l 2 II x 1, 2 l 1 x 1, 2 и l 2 x 1, 2 29
Характерная особенность эпюра прямой общего положения – горизонтальная и фронтальная проекции прямой не параллельны и не перпендикулярны координатной оси х12 30
Прямая уровня Это прямая параллельная какой-либо одной плоскости проекций l II Пк 31
Горизонталь – h Это прямая параллельная горизонтальной плоскости проекций h II П 1 h 2 II x 1, 2 AB h AB II П 1 А 1 В 1 IABI h(AB)^П 2 h 1(А 1 В 1) ^ x 1, 2 32
Фронталь – f Это прямая параллельная фронтальной плоскости проекций f II П 2 AB f AB II П 2 f(AB)^П 1 f 1 II x 1, 2 А 2 В 2 IABI f 2(А 2 В 2) ^ x 1, 2 33
Характерная особенность эпюра горизонтали и фронтали – одна из проекций параллельна координатной оси х1, 2 34
Профильная прямая - p Это прямая параллельная профильной плоскости проекций П 3 35
Горизонтально-проецирующая прямая Это прямая перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций m П 1 m II П 2 AB m AB II П 2 m 1 – точка m 2 x 1, 2 А 1 В 1 - точка А 2 В 2 IABI 36
Фронтально-проецирующая прямая Это прямая перпендикулярная фронтальной плоскости проекций m П 2 m II П 1 AB m AB II П 1 m 2 – точка m 1 x 1, 2 А 2 В 2 - точка А 1 В 1 IABI 37
Характерная особенность эпюра проецирующей прямой – одна из проекций прямой точка 38
Взаимное положение двух прямых 39
Пересекающиеся прямые m∩n=D m k ∩ n k= D k m 1 ∩ n 1 = D 1 m 2 ∩ n 2 = D 2 D 1 D 2 x 1, 2 40
Параллельные прямые m II n mk II nk m 1 II n 1 m 2 II n 2 41
Скрещивающиеся прямые m n m II n m ∩ n Пары точек (1, 2) и (3, 4) – конкурирующие точки 42
Плоскость 43
Плоскость - это один из видов поверхности (плоская поверхность).
Способы задания плоскости Три точки α(А, В, С) Точка и прямая β(А, b) Две пересека ющиеся прямые Две Плоская параллел фигура ьные ε( АВС) прямые γ(a∩b) δ(m‖n) 45
Положение плоскости относительно плоскостей проекций ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ УРОВНЯ ПРОЕЦИРУЮЩИЕ 46
Общее положение Частное положение Проецирующая плоскость Плоскость уровня α II Пк α Пк β Пк γ II Пк 47
Плоскость общего положения Плоскость непараллельная и неперпендикулярная плоскостям проекций Вывод: Ни одна из проекций плоскости не имеет форму прямой линии 48
Плоскости частного положения
Проецирующие плоскости Это плоскости перпендикулярные одной из плоскостей проекций Горизонтально-проецирующая Фронтально-проецирующая Т П 1 Т П 2 Т 1 – прямая и Т 1≡ ТП 1 Т 2 – прямая и Т 2≡ ТП 2 50
Плоскости уровня Это плоскости параллельные одной из плоскостей проекций Горизонтальная плоскость Фронтальная плоскость α II П 1 β II П 2 α 2 – прямая и α 2≡ α П 2 и α 2 II x 1, 2 АВС α АВС II П 1 А 1 В 1 С 1 АВС β 1 – прямая и β 1≡ β П 1 и β 1 II x 1, 2 АВС β АВС II П 2 А 2 В 2 С 2 АВС 51
Вывод: У плоскости частного положения одна из проекций обязательно имеет форму прямой линии. 52
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ В ПЛОСКОСТИ
Прямая принадлежит плоскости, если две точки прямой принадлежат этой плоскости. l (1, 2); (1 Т ) (2 Т) l Т Дано: плоскость α АВС. Построить: l α. Первый вариант Задаем: точка 1 принадлежит стороне АВ, точка 2 принадлежит стороне ВС. (1 АВ) (2 ВС) Строим l (1, 2) 54
Второй вариант Задаем: точка 1 принадлежит стороне АВ, а точка 2 принадлежит стороне АС, но является ее несобственной точкой. (1 АВ) ; (2 АС; 2≡ 2∞) Следовательно, прямая l параллельна стороне АС. (l ||АС) Данный вариант построения прямой следует рассматривать как задание прямой одной точкой и направлением l (1, s) 1 l l ||s В качестве направления может быть выбрана любая прямая, принадлежащая плоскости. В нашем примере s АС, т. е. l ||АС 55
Прямые уровня плоскости 56
Горизонталь плоскости Это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная горизонтальной плоскости проекций Дано: Плоскость α АВС Построить: h α Задаем h (А, 1); 1 ВС h 1 h 2 x 1, 2 57
Фронталь плоскости Это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная фронтальной плоскости проекций Дано: Плоскость α АВС Построить: f α Задаем f (А, 1); 1 ВС f 2 f 1 x 1, 2 58
ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ 59
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей этой плоскости А α А l, l α 60
Дано: плоскость α(m, n); точка А(А 2) α. Построить А 1. А l ; l (1, 2) α ; задаем (1 m ) ; (2 n) А l ; l (1, s); задаем (1 n) ; (l || m) 61
Скачать презентацию НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Лекция 1 Направление обучения Архитектура
ГАСУ 2016 АРХ Лекция 1 (метод-точка-прямая-плоскость).pptx