Начертательная геометрия Лекционный материал

Начертательная геометрия Лекционный материал

Литература: • В. М. Дегтярёв, В. П. Затыльникова, Учебник. «Инженерная и компьютерная графика» (Глава 1)

Введение • Создание изделий невозможно без моделирования пространственных объектов, разработки конструкторско- технологической документации, без умения чтения технической документации и обработки изображений. • Чертежами человек пользуется с древних времен, а в конце 17 века Гаспар Монж создал современное представление пространственного объекта на плоскости в виде чертежа, который легко читается и сохраняет пропорции реального объекта. • Начертательная геометрия дает ряд методов преобразования чертежей, переносов, поворотов, пересечений объектов в пространстве, построения разверток, что имеет большое практическое значение.

Методы проецирования (1) • Изображения объектов трехмерного пространства на плоскости получают методом проецирования. • Это означает, что любая точка пространства всегда имеет одну проекцию, однако проекция точки не определяет положение точки в пространстве. Методом проецирования мы пространственный предмет делаем плоским. • В зависимости от направления лучей проецирования по отношению друг к другу, различают два метода проецирования: центральное и параллельное. Центральное проецирование • При центральном проецировании все лучи проецирования исходят из одной точки пространства S, они не параллельны другу и приходят к плоскости проекций П 0 под различными углами (рис. 1. 1).

Методы проецирования (2) • Однако, при центральном проецировании искажает реальные размеры предмета при отображении на плоскости проекций, так как линии предмета в пространстве при отображении на плоскости проекций увеличиваются не в одинаковое число раз, и по изображению трудно судить о действительных размерах той или иной части предмета. Параллельное проецирование Если центр проекций (S ) удален в бесконечность (рис. 1. 2), то все проецирующие лучи становятся параллельными другу и такое проецирование называется параллельным. Когда проецирующие лучи направлены перпендикулярно плоскости проекций (угол 90 ), проецирование называется прямоугольным (ортогональным). Параллельные проецирующие лучи в общем случае могут пересекать плоскость П 0 под углом не равным 90 (угол , рис. 1. 2). В этом случае параллельные проекции называются косоугольными.

Методы проецирования (3) Пространственная модель координатных плоскостей проекций • Координатные плоскости образуют в пространстве прямоугольный трехгранник. Ребра этого трехгранника (линии пересечения плоскостей) называют осями координат и обозначают X, Y, Z. Точка пересечения осей – начало координат – обозначается О. Ось OX называют осью абсцисс, ось OY – осью ординат, ось OZ – осью аппликат. Их координатных плоскостей одна расположена горизонтально, две другие расположены вертикально. • Горизонтальную координатную плоскость XOY трехгранника называют горизонтальной плоскостью проекций (плоскость П 1). • Одну вертикальную координатную плоскость XOZ трехгранника называют фронтальной плоскостью проекций (плоскость П 2). • Другую вертикальную координатную плоскость YOZ трехгранника называют профильной плоскостью проекций (плоскость П 3).

Методы проецирования (4) Плоскостная модель координатных плоскостей проекций • Плоский чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром. • На рис. 1. 4 показано совмещение трех плоскостей в одну плоскость. • В плоскости проекций П 2 оси проекций X и Z остаются неизменными. При совмещении плоскости П 1 с плоскостью П 2 положительное направление оси Y совпадает с отрицательным направлением оси Z, а отрицательное направление оси Y и положительным направлением оси Z. • При совмещении плоскости П 3 с плоскостью П 2 положительное направление оси Y совпадает с отрицательным направлением оси X, а отрицательное направление оси Y с положительным направлением оси X (см. рис. 1. 4).

Методы проецирования (5) Контрольные вопросы • Что называется проекцией предмета на плоскость? • В чем сущность центрального проецирования? • Какие недостатки центрального проецирования? • В чем сущность параллельного проецирования? • В чем отличие косоугольного проецирования от прямоугольного при параллельном проецировании? • Из каких плоскостей проекций состоит пространственная модель координатных плоскостей проекций? • Как получается плоскостная модель координатных плоскостей проекций?

Методы проецирования (5) Контрольные вопросы • Что называется проекцией предмета на плоскость? • В чем сущность центрального проецирования? • Какие недостатки центрального проецирования? • В чем сущность параллельного проецирования? • В чем отличие косоугольного проецирования от прямоугольного при параллельном проецировании? • Из каких плоскостей проекций состоит пространственная модель координатных плоскостей проекций? • Как получается плоскостная модель координатных плоскостей проекций?

Проецирование точки (1) Любой трехмерный предмет в геометрическом смысле представляет собой пространственную фигуру, т. е. совокупность точек, линий и поверхностей. Чтобы изучить способы изображения пространственных фигур и построение их проекций, целесообразно начать изучение с изображения отдельных наиболее простых элементов: точек, прямых линий, плоскостей и т. д. Проецирование точки на две взаимноперпендикулярные плоскости • Сущность метода ортогонального параллельного проецирования заключается в том, что предмет (в данном случае – точка) проецируется на две взаимноперпендикулярные плоскости проецирующими лучами, перпендикулярными этим плоскостям. • Одна из плоскостей проекций П 1 располагается горизонтально, а вторая – П 2 – вертикально (рис. 2. 1). Плоскость П 1 называется горизонтальной плоскостью проекций, П 2 – фронтальной плоскостью проекций.

Проецирование точки (2) лоский чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них расположено, П совмещены определенным образом одна с другой, называется эпюром или комплексным чертежом. Метод построения изображений, основанный на параллельном прямоугольном проецировании предмета на две взаимно перпендикулярные плоскости, называется методом Монжа. Этот метод обеспечивает точность и измеримость изображений предметов на плоскости и является основным методом составления технических чертежей. • На рис. 2. 2 показан эпюр точки A. При совмещении плоскостей проекций П 1 и П 2 в одну плоскость проекции точки A A оказываются на одном перпендикуляре к оси OX. При этом расстояние A Ax – от горизонтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки A до плоскости П 2, а расстояние A Ax – от фронтальной проекции до оси OX равно расстоянию самой точки A до плоскости П 1. Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, будем называть линиями проекционной связи. • Совокупность двух проекций (горизонтальной и фронтальной) позволяет определять расположение точки в пространстве.

Проецирование точки (3) Проецирование точки на три взаимноперпендикулярные плоскости При решении задач и при выполнении изображений каких-либо конструкций, машин и различных других сооружений возникает необходимость в создании дополнительных проекций, чтобы сделать чертеж наиболее ясным и удобным для чтения. • Модель трех плоскостей проекций показана на рис. 2. 3. Третья плоскость проекций, перпендикулярная П 1 и П 2, обозначается П 3 и называется профильной плоскостью проекций. • Проекции точек на эту плоскость будут называться профильными проекциями точек и обозначаться – A . • Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют оси: OX, OY и OZ, которые рассматриваются как система прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке O. • Для получения эпюра точки A плоскости П 1 и П 3 вращают, как показано на рис. 2. 3, до совмещения с плоскостью П 2.

Проецирование точки (4) На рис. 2. 4 показана схема совмещения плоскостей П 1, П 2, П 3 в одну плоскость. • Для оси OY дано два положения. Построение профильной проекции по фронтальной и горизонтальной проекциям показано на рис. 2. 4. Можно воспользоваться или дугой окружности, проводимой из точки O, или биссектрисой угла YOY. Горизонтальная и фронтальная проекции (A и A ), как указывалось выше (в § 5), расположены на одном перпендикуляре к оси OX – на вертикальной линии связи. • Фронтальная и профильная проекции (A и A ) расположены на перпендикуляре к оси Z – горизонтальной линии связи. • Горизонтальная и профильная проекции связаны между собой горизонтально-вертикальной линией связи, которая перпендикулярна оси Y.

Проецирование точки (5) Взаимное положение точек в пространстве. Конкурирующие точки. • Точки в пространстве могут занимать три различных положения: • 1) не принадлежать ни одной из плоскостей проекций (общее), в этом случае будут заданы все три координаты точки; • 2) принадлежать одной из трех плоскостей проекций (лежать на плоскости), в этом случае одна координата точки будет равна нулю; • 3) принадлежать сразу двум плоскостям проекций (лежать на оси проекций), в этом случае две координаты будут равны нулю. Расположение точек относительно плоскостей проекций и относительно друга показано на рис. 2. 6.

Проецирование точки (6) • В дальнейшем наряду с чертежами, содержащими оси проекций, будут применяться чертежи без указания осей. Так поступают на практике при изображении предметов, когда существенно только само изображение, а не его положение относительно плоскостей проекций. • Сравнивая чертежи точки A на рис. 2. 7, видим, что в одном случае положение плоскостей П 1 и П 2 установлено проведением линии их пересечения и что установлены расстояния точки A от этих плоскостей. • Безосный чертеж точек A и B на рис. 2. 8 не определяет их положения в пространстве, но позволяет судить об их относительной ориентировке.

Проецирование точки (7) Контрольные вопросы • Что такое эпюр точки? • Что называется горизонтальной, фронтальной и профильной проекцией точки? • Как связаны между собой две ортогональные проекции точки? • Как по эпюру определить при ортогональном проектировании расстояние от точки до плоскости П 1? , до П 2? до П 3? • Какими координатами определяется горизонтальная, фронтальная и профильная проекции точки? • В каких случаях на эпюре совпадают горизонтальная и фронтальная проекции точки? • Как могут быть расположены точки относительно плоскостей проекций? • В каком случае одноименные проекции совпадают? • Как построить третью проекцию точки по двум заданным проекциям?