Начертательная геометрия курс лекций
СИМВОЛЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ 1. Точки - А, В, С, . . , 1, 2, 3, . . . 2. Прямые и кривые линии - а, в, с, . . 3. Горизонталь - h, фронталь - f, профильная прямая - p. 4. Поверхности (плоскости) -. . . Σ, Φ, Π, Γ… 5. Углы - , , γ… 6. Плоскости проекций: горизонтальная - П 1, фронтальная - П 2, профильная - П 3. 7. А 1 - точка принадлежит фигуре ; А - точка не принадлежит фигуре . 8. 1 - фигура 1 подмножество фигуры ; 1 - фигура 1 не является подмножеством фигуры . 9. 1 2 - фигуры 1 и 2 совпадают; Ф 2 - фигуры 1 и 2 не совпадают. 10. 1 U 2 - объединение фигур 1 и 2. 11. 1 ∩ 2 - пересечение фигур. 12. - параллельные. 13. - перпендикулярные. 14. • ∕ -прямые скрещивающиеся. 15. - угол, двугранный угол. 16. Оси проекций обозначают буквами X, Y, Z с индексами, которые указывают на соответствующие плоскости проекций. Например, ось X 12 разделяет поле горизонтальных и поле фронтальных проекций. 17. Обозначение проекций (изображений) фигур те же самые, но с приданием индекса, который отвечает плоскости проекций.
Виды проецирования Геометрический объект, рассматриваемый как точечное множество, отображается на плоскость по закону проецирования. Результатом такого отображения является изображение объекта. В основу любого изображения положена операция проецирования, которая заключается в следующем. В пространстве выбирают произвольную точку S в качестве центра проецирования и плоскость Пi, не проходящая через точку S, в качестве плоскости проекций ( картинной плоскости). Чтобы спроецировать точку А на плоскость Пi , через центр проецирования S проводят луч SА до его пересечения с плоскостью Пi в точке Аi. Точку Аi принято называть центральной проекцией точки А , а луч SА - проецирующим лучом. Описанные построения выражают суть операции, называемой центральным проецированием точек пространства на плоскость. Основными и неизменными его свойствами (инвариантами) являются следующие: 1) проекция точки – точка; 2) проекция прямой – прямая; 3) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой.
Частный случай центрального проецирования – параллельное проецирование, когда центр проецирования удален в бесконечность, при этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые. Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S. Полученное изображение называют параллельной проекцией объекта. При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального и добавляются следующие: проекции параллельных прямых параллельны между собой; отношение отрезков прямой равно отношению их проекций; отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций. В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольные, когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол не равный 90◦. Прямоугольное (ортогональное) проецирование является частным случаем параллельного. Проекция объекта, полученная с использование этого метода, называется ортогональной.
Аксонометрические проекции «Аксонометрия» в переводе с греческого означает измерение по осям. Сущность метода параллельного аксонометрического проецирования заключается в том, что предмет относят к некоторой системе координат и затем проецируют параллельными лучами на плоскость вместе с координатной системой. - аксонометрические чертежи обратимы; - аксонометрическая и вторичная проекции точки вполне определяют её положение в пространстве. Аксонометрическую проекцию А 1* горизонтальной проекции точки А принято называть вторичной проекцией. Искажение отрезков осей координат при их проецировании на П' характеризуется так называемым коэффициентом искажения. Аксонометрические проекции могут быть: изометрическими, если коэффициенты искажения по всем трем осям равны между собой; в этом случае u=υ=ω; диметрическими, если коэффициенты искажения по двум любым осям равны между собой, а по третьей – отличается от первых двух; триметрическими, если все три коэффициента искажения по осям различны.
Стандартные аксонометрические проекции Согласно ГОСТ 2. 317 -69, из прямоугольных аксонометрических проекций рекомендуется применять прямоугольные изометрию и диметрию. В изометрии u=υ=ω ≈ 0, 82. ГОСТ рекомендует изометрическую проекцию строить без сокращения по осям координат. При построении прямоугольной диметрической проекции сокращение длин по оси y' принимают вдвое больше, чем по двум другим, т. е. полагают, что u=ω, u≈0, 94, а υ=0, 47.
Метод Монжа • Чтобы получить плоский чертеж плоскость П 1 совмещают вращением вокруг оси x 12 с плоскостью П 2. Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа (франц. Epure – чертеж. ) или комплексным чертежом.
• • При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. Точка А и ее ортогональные проекции А 1 и А 2, которые называют соответственно горизонтальной и фронтальной проекциями. Проекции точки всегда расположены на прямой, перпендикулярной оси Х 2 и пересекающей эту ось в точке А х.
• • • Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки А 1 и А 2 расположенные на прямой, пересекающей ось х2 в точке Ах под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А. На эпюре Монжа проекции А 1 и А 2 расположены на одном перпендикуляре к оси х2 . При этом расстояние А 1 Аx - от горизонтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П 2, а расстояние А 2 Аx - от фронтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П 1. Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи.
Точка в ортогональной системе трех плоскостей проекций • В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью – профильную плоскость проекций П 3, расположенную перпендикулярно к П 1 и П 2. Плоскости проекций П 1, П 2 и П 3 являются основными плоскостями проекций.
ПОЛОЖЕНИЕ ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ • • модель I-IV октантов Положение точки в пространстве определяется тремя координатами x, y, z. Точка может занимать в пространстве как общее, так и частное положение по отношению к плоскостям проекций. Точка не принадлежащая ни одной из плоскостей проекций - точка общего положения. Координаты точки общего положения не равны нулю (x≠ 0, y≠ 0, z≠ 0), и в зависимости от знака координаты точка может располагаться в одном из восьми октантов.
модель V-VIII октантов эпюр
• • Точка принадлежит плоскости проекций. Точка А принадлежит горизонтальной плоскости проекций (x≠ 0, y≠ 0, z=0) - фронтальная проекция точки лежит на оси x, а профильная на оси y. Точка B принадлежит фронтальной плоскости проекций (x≠ 0, y=0, z≠ 0) - горизонтальная проекция точки лежит на оси x, а профильная на оси z. Точка С принадлежит профильной плоскости проекций (x=0, y≠ 0, z≠ 0) - горизонтальная проекция точки лежит на оси y, а фронтальная на оси z.
Точка принадлежащая одновременно двум плоскостям проекций - точка на оси . Точка D лежит на оси x, принадлежит одновременно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций (x≠ 0, y=0, z=0). Точка E лежит на оси y, принадлежит одновременно горизонтальной и профильной плоскостям проекций (x=0, y≠ 0, z=0). Точка F лежит на оси z, принадлежит одновременно фронтальной и профильной плоскостям проекций (x=0, y=0, z≠ 0). Точка принадлежит одновременно трем плоскостям проекций - 0(x=0, y=0, z=0) - начало координат.
Взаимное расположение точек Три основных варианта взаимного расположения точек, в зависимости от соотношения координат определяющих их положение в пространстве: 1. Рассмотрим точки А и В, все три координаты которых отличаются, их взаимное расположение можно оценить по удаленности к плоскостям проекций: - YА>YВ. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П 2 и ближе к наблюдателю, чем точка В; - ZА>ZВ. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П 1 и ближе к наблюдателю, чем точка В; - XА<XВ. Тогда точка В расположена дальше от плоскости П 3 и ближе к наблюдателю, чем (при взгляде слева) точка А.
2. Точки А, В, С, D, у которых одна из координат совпадает, а две другие отличаются, их взаимное расположение можно оценить по удаленности к плоскостям проекций следующим образом: – YА=YВ=YD, то точки А, В и D равноудалены от плоскости П 2 и их горизонтальные и профильные проекции расположены, соответственно, на прямых А 1 В 1//x 12 и А 3 В 3// z. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 2; – ZА=ZВ=ZС, то точки А, В и С равноудалены от плоскости П 1 и их фронтальные и профильные проекции расположены, соответственно, на прямых А 2 В 2//x 12 и А 3 С 3// y. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 1; – XА=XC=XD, то точки А, C и D равноудалены от плоскости П 3 и их горизонтальные и фронтальные проекции расположены, соответственно, на прямых А 1 C 1// y и А 2 D 2//z. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 3.
3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной XА=XD; YА=YD; ZD>ZА; проецирующей прямой. XA=XC; ZA=ZC; YC>YA; YA=YB; ZA=ZB; XB>XA. Соответствующие проекции конкурирующих точек совпадают. -горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD ; - фронтально конкурирующие точки A и C расположенные на фронтально проецирующей прямой AC; -- профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB. При проецировании на соответствующую плоскость проекций одна точка «закроет» другую точку, конкурирующую с ней, соответствующая проекция которой окажется невидимой.
Прямая линия Способы задания прямой линии Прямая линия - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим. Прямая линия - алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением 1 - ой степени (линейное уравнение). Общее уравнение прямой (полное): Ах+Ву+С=0, где А, В и С - любые постоянные, причем А и В одновременно не равны нулю. Если один из коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным. Для определения положения прямой в пространстве существуют следующие методы: 1. Двумя точками (А и В). 2. Двумя плоскостями ( . 3. Двумя проекциями. 4. Точкой и углами наклона к плоскостям
1. Задание прямой двумя точками А и В. Рассмотрим две точки в пространстве А и В. Через эти точки можно провести прямую линию. Для того чтобы найти проекции отрезка АВ на плоскости проекций необходимо найти проекции точек А и В и соединить их прямой. Каждая из проекций отрезка на плоскости проекций меньше самого отрезка. Модель определения прямой по двум точкам Эпюр прямой, заданной двумя точками
Поэтапное превращение модели определения прямой по двум точкам в эпюр прямой Точки А и В Проекции прямой АВ на плоскости проекций Прямая АВ Совмещение плоскостей проекций с фронтальной плоскостью Проекции точек А и В на плоскости проекций Эпюр прямой АВ
2. Задание прямой двумя плоскостями ( . Этот способ задания определяется тем что две непараллельные плоскости пересекаются в пространстве по прямой линии (этот способ подробно рассматривается в курсе элементарной геометрии). 3. Задание прямой двумя проекциями. Пусть в плоскостях П 1 и П 2 даны проекции прямых заданных отрезками А 1 В 1 и 2 2. Проведем через эти прямые плоскости и перпендикулярные плоскостям проекций. В том случае если эти плоскости непараллельные, линией их пересечения будет прямая заданная отрезком АВ , проекциями которой являются отрезки А 1 В 1 и А 2 В 2. Плоскости и могут слиться в одну плоскость , если, например, проекции А 1 В 1 и А 2 В 2 перпендикулярны оси x и пересекают ее в одной точке. Прямая линия в этом случае будет однозначно определена своими проекциями, если на каждой из них обозначить две какие-либо точки. Если же обозначений не делать, то за искомую прямую можно принять любую прямую, лежащую в этой плоскости при условии, что она непараллельная ни одной из плоскостей проекций. Точка К, в данном случае - точка пересечения прямой с плоскостью П 2.
4. Задание прямой точкой и углами наклона к плоскостям проекций. Зная координаты точки принадлежащей прямой и углы наклона ее к плоскостям проекций можно найти положение прямой в пространстве.
Положение прямой линии относительно плоскостей проекций Прямая по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения. Проекции прямой общего положения на плоскости проекций представляют собой отрезки, непараллельные ни одной из координатных осей. Модель прямой общего положения Эпюр прямой общего положения
Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. Если прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций, то они называются горизонтальными прямыми уровня или горизонталями и обозначаются – h. Свойства проекций горизонтали : на горизонтальную плоскость проекций (П 1) горизонталь проецируется в натуральную величину, а на фронтальную (П 2) и профильную (П 3) плоскости проекций – в отрезки параллельные осям Х и У соответственно. Преобразование модели горизонтали в комплексный чертеж (эпюр) горизонтали.
Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называются фронтальными прямыми уровня или фронталями и обозначаются - f. Свойства проекций фронтали: на фронтальную плоскость проекций (П 2 ) фронталь проецируется в натуральную величину, а на горизонтальную (П 1) и профильную (П 3) плоскости проекций в отрезки параллельные осям Х и Z соответственно. Преобразование модели фронтали в комплексный чертеж (эпюр) фронтали.
Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными прямыми уровня и обозначаются - р. Свойства проекций профильной прямой уровня: на профильную плоскость проекций (П 3 ) профильная прямая уровня проецируется в натуральную величину, а на горизонтальную (П 1) и фронтальную (П 2) плоскости проекций в отрезки параллельные осям У и Z соответственно. Различают восходящую и нисходящую профильные прямые. Первая по мере удаления от зрителя поднимается, вторая - понижается. Преобразование модели профильной прямой уровня в комплексный чертеж (эпюр).
Прямые перпендикулярные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна прямая, различают: горизонтально-проецирующая прямая – АВ П 1, фронтально- проецирующая прямая – АВ П 2, профильно-проецирующая прямая - АВ П 3. Свойства проекций проецирующих прямых: на одну из плоскостей проекций проецирующая прямая проецируется в точку, а на две остальные - в отрезки параллельные одной координатной оси и в натуральную величину, так как прямая, перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим. Модель и эпюр горизонтально-проецирующей прямой
Модель и эпюр фронтально-проецирующей прямой Модель и эпюр профильно-проецирующей прямой
Взаимное расположение точки и прямой Если точка принадлежит прямой, то её проекции должны принадлежать одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой). Из четырех предложенных на рисунке точек, только одна точка С лежит на прямой АВ.
Из свойств параллельного проецирования известно, что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же соотношении. Зная это условие можно определить принадлежность точки К прямой АВ: А 2 К 2 /К 2 В 2 А 1 К 1/К 1 В 1 К АВ Точка и прямая, расположенные в профильной плоскости уровня
Взаимное расположение прямых Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. 1. Параллельные прямые линии. Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) - параллельны. Если AB CD то A 1 B 1 C 1 D 1; A 2 B 2 C 2 D 2; A 3 B 3 C 3 D 3. В общем случае справедливо и обратное утверждение.
2. Пересекающиеся прямые. Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку. Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи.
3. Скрещивающиеся прямые Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости. Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи. Точке пересечения фронтальных проекций прямых соответствуют две точки А и В, из которых одна принадлежит прямой а, другая в. Их фронтальные проекции совпадают лишь потому, что в пространстве обе точки А и В находятся на общем перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет установить, какая из двух точек ближе к наблюдателю. На предложенном примере ближе точка В, лежащая на прямой а, следовательно, прямая а проходит в этом месте ближе прямой в и фронтальная проекция точки В закрывает проекцию точки А. (Для точек С и D решение аналогично). Этот способ определения видимости по конкурирующим точкам. В данном случае точки А и В- фронтально конкурирующие, а С и D -горизонтально конкурирующие.
Плоскость При систематическом изложении геометрии понятие плоскость обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства плоскости: u 1. Плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки. u 2. Плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек. 3. Плоскость в линейной алгебре - поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением 1 -ой степени: Ax+By+Cz+D=0, где А, В, С, и D - постоянные, причем А, В и С одновременно не равны нулю. u u 4. Плоскость в кинематике – поверхность, образованная перемещением линейной образующей вдоль линейной направляющей
Способы задания плоскостей 1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой. В частных случаях – треугольником или любой плоской фигурой.
2. Прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой
3. Двумя пересекающимися прямыми
4. Двумя параллельными прямыми
5. Следами Следом плоскости называется прямая линия, по которой плоскость пересекается с плоскостью проекций. В зависимости от того, какую плоскость проекций пересекает данная a плоскость различают горизонтальный a. П 1, фронтальный a. П 2 и профильный a. П 3 следы. Следы плоскости общего положения пересекаются попарно на осях в точках ax, ay, az. Эти точки называются точками схода следов, их можно рассматривать как вершины трехгранных углов, образованных данной плоскостью с двумя из трех плоскостей проекций.
Положение плоскости относительно плоскостей проекций Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. Такая плоскость пересекает все плоскости проекций и имеет три следа: горизонтальный П 1; фронтальный П 2; профильный П 3.
Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П , называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальные проекции всех точек этой плоскости совпадают с горизонтальным следом
Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций ( П 2)- фронтально проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости является прямая линия, совпадающая со следом П 2
Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости ( П 3) - профильно проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость
Плоскости, параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. Горизонтальная плоскость - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций ( П 1) - ( П 2, П 3). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П 1 без искажения, а на плоскости П 2 и П 3 в прямые - следы плоскости П 2 и П 3
Фронтальная плоскость - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций ( П 2) - ( П 1, П 3). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П 2 без искажения, а на плоскости П 1 и П 3 в прямые следы плоскости П 1 и П 3
Профильная плоскость - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций ( П 3) - ( П 1, П 2). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П 3 без искажения, а на плоскости П 1 и П 2 в прямые - следы плоскости П 1 и П 2
Взаимное расположение плоскостей Две плоскости в пространстве могут быть либо параллельны, в частном случае совпадать друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Плоскости пересекаются по прямой линии, для построения которой достаточно определить две её точки, общие для обеих плоскостей, либо одну точку и направление. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью
Принадлежность прямой плоскости Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости. Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости.
Главные линии плоскости Горизонтали h - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций (h АВС h h Ох, h Оy) Фронтали f - прямые, расположенные в плоскости и параллельные фронтальной плоскости проекций (f АВС f f Ох, f Оz)
Профильные прямые р - прямые, которые находятся в данной плоскости и параллельны профильной плоскости проекций (р АВС р р1 Ох р Ох) Следы плоскости можно отнести тоже к главным линиям. Горизонтальный след - это горизонталь плоскости, фронтальный - фронталь и профильный - профильная линия плоскости. Прямые, принадлежащие плоскости и образующие с плоскостью проекций наибольший угол называются линиями наибольшего наклона данной плоскости к плоскости проекций. Линия наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций называется линией ската.
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости и не принадлежит этой плоскости.
Пересечение прямой с плоскостью (первая позиционная задача) Алгоритм решения задачи методом вспомогательной секущей плоскости : 1. а ; - вспомогательная горизонтальнопроецирующая плоскость. 2. Находим линию пересечения с - в. 3. Определяем точку К пересечения прямых а и в.
Методы решения метрических задач Определим расстояние от точки А до прямой m, когда прямая является горизонтально проецирующей линией, т. е. m П 1, m//П 2, m//П 3. Согласно, теореме о проецировании прямого угла, перпендикуляр из проекций точки А можно проводить к фронтальной и профильной проекции прямой m, при этом полученный отрезок АК- горизонталь, т. е. параллелен горизонтальной плоскости проекций и на эту плоскость проецируется в натуральную величину.
Определение длины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций (Метод прямоугольного треугольника)
Метод плоско-параллельного перемещения Перемещение в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве осуществляется путем изменения положения геометрического объекта так, чтобы траектория движения её точек находилась в параллельных плоскостях. Плоскости носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций. Траектория произвольная линия. Свойства плоскопараллельного перемещения: 1. При всяком перемещении точек в плоскости параллельной плоскости П 1, её фронтальная проекция перемещается по прямой линии, параллельной оси х. 2. В случае произвольного перемещения точки в плоскости параллельной П 2, её горизонтальная проекция перемещается по прямой параллельной оси х.
Метод вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций Траектория - дуга окружности, центр которой находится на оси перпендикулярной плоскости проекций. Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения АВ , выбирается ось вращения перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через В. Отрезок вращается так, чтобы он стал параллелен фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция отрезка параллельна оси x). Точка А переместиться в А*, а точка В не изменит своего положения. Положение проекции А*2 находится на пересечении фронтальной проекции траектории перемещения точки А (прямая линия параллельная оси x) и линии связи проведенной из проекции А*1. Полученная проекция отрезка В 2 А*2 определяет его действительные размеры.
Метод вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций Определение угла между пересекающимися прямыми. Траектория движения всех точек при вращении вокруг горизонтали - окружность, которая проецируется на плоскость П 1 в виде прямой линии перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали. траектория движения точки К 1 определена прямой К 1 О 1, точка О центр окружности - траектории движения точки К.
Метод замены плоскостей проекций Изменение взаимного положения изучаемого объекта и плоскостей проекций достигается путем замены одной из плоскостей П 1 или П 2 новой плоскостями П 4. Новая плоскость всегда выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций. Задача 1: Определение натуральной величины отрезка АВ прямой общего положения
Задача 2: Определение расстояния от точки А до прямой общего положения АВ
Поверхности Рассматривая поверхности как непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x, y, z)=0, можно выделить алгебраические поверхности (F(x, y, z)- многочлен n-ой степени) и трансцендентные (F(x, y, z)- трансцендентная функция). Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n-й степени, то поверхность считается поверхностью n-го порядка. Произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка ( иногда распадающейся или мнимой), какой имеет исследуемая поверхность. Порядок поверхности может быть определен также числом точек ее пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые). Поверхность можно рассматривать, как совокупность последовательных положений l 1, l 2… линии l перемещающейся в пространстве по определенному закону. Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа закон перемещения линии l целесообразно задавать графически в одной линии или целого семейства линий (m, n, p. . . ) Подвижную линию принято называть образующей, неподвижные - направляющими. Такой способ образования поверхности принято называть кинематическим.
Классификация поверхностей По виду образующей различают поверхности линейчатые и нелинейчатые, образующая первых – прямая линия, вторых – кривая. Линейчатые поверхности в свою очередь разделяют на так называемые развертывающие, которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость и неразвертывающиеся. По закону движения образующей линии и производящей поверхности большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на: гранные поверхности; поверхности вращения; винтовые поверхности. Еще один класс поверхностей формируется движением окружности постоянного или переменного радиуса. Это так называемые циклические поверхности. Для графического изображения поверхности на чертеже используется её каркас. Множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае одна линия этого множества, называется каркасом поверхности.
Многогранники Многогранник, полиэдр, - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками - гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер - вершинами. По числу граней различают 4 -гранники, 5 -гранники и т. д. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Виды многогранников Пирамида - это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью
Призма - многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипед. Призматоид - многогранник, ограниченный двумя многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях (они являются его основаниями); его боковые грани представляют собой треугольники или трапеции, вершины которых являются и вершинами многоугольников оснований.
Тела Платона Многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой. Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название. Тетраэдр - правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это - правильная треугольная пирамида). Гексаэдр - правильный шестигранник. Это куб состоящий из шести равных квадратов.
Октаэдр - правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины. Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины. Икосаэдр - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины
Звездчатые формы и соединения тел Платона Кроме правильных выпуклых многогранников существуют и правильные выпукловогнутые многогранники. Их называют звездчатыми (самопересекающимися). Звездчатый октаэдр - восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра отделяют от пространства новые "куски", внешние по отношению к октаэдру. Все вершины звездчатого октаэдра совпадают с вершинами некоторого куба, а ребра его являются диагоналями граней (квадратов) этого куба. Октаэдр имеет только одну звездчатую форму. Такой звездчатый многогранник в 1619 году описал Кеплер (1571 -1630) и назвал его stella octangula - восьмиугольная звезда. Малый звездчатый додекаэдр - звездчатый додекаэдр первого продолжения. Он образован продолжением граней выпуклого додекаэдра до их первого пересечения. Каждая грань выпуклого додекаэдра при продолжении образует правильный звездчатый пятиугольник. При дальнейшем продолжении граней до нового пересечения образуется средний звездчатый додекаэдр - звездчатый додекаэдр второго продолжения. Последней же звездчатой формой правильного додекаэдра является звездчатый додекаэдр третьего продолжения - большой звездчатый додекаэдр. Он образован продолжением граней звездчатого додекаэдра второго продолжения до их нового пересечения
Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i. Каркас поверхности создается из множества окружностей (параллелей), плоскости которых расположены перпендикулярно оси i. ; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором. Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства: 1. Плоскость перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – параллели. 2. Плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – меридианам. Плоскость, проходящая через ось параллельно фронтальной плоскости проекций называется плоскостью главного меридиана, а линия, полученная в сечении, – главным
Сфера – образуется вращением окружности вокруг её диаметра. При сжатии или растяжении сферы она преобразуется в эллипсоиды, которые могут быть получены вращением эллипса вокруг одной из осей: если вращение вокруг малой оси, то эллипсоид называется сжатым или сфероидом, если вокруг большой – вытянутым. Тор – образуется при вращении окружности вокруг оси, не проходящей через центр окружности.
Параболоид вращения – образуется при вращении параболы вокруг своей оси Гиперболоид вращения – различают одно и двух полостной гиперболоиды вращения. Первый получается при вращении вокруг мнимой оси, а второй – вращением гиперболы вокруг действительной оси.
Цилиндрическая поверхность вращения может быть образована вращением прямой l вокруг оси i Коническая поверхность вращения может быть образована вращением прямой l, пересекающей ось вращения i под некоторым углом Пространственная ломаная линия 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . Ее стороны продолжены. Свойства: 1) пространственная ломаная линия 1, 2, 3, 4, 5, б, . . . преобразуется в пространственную кривую линию m; 2) ребра многогранной поверхности преобразуются в касательные к пространственной кривой m; 3) многогранная поверхность преобразуется в линейчатую двухполую развертывающуюся кривую поверхность, которая называется торсом.
Конические сечения В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической поверхности могут быть: эллипс, парабола, гипербола и окружность а в частных случаях: прямая, две пересекающиеся прямые и точка
Пересечение плоскости с многогранником Пересечение треугольной призмы с фронтальнопроецирующей плоскостью
Пересечение прямой линии с многогранником Алгоритм решения задачи: 1. Через заданную прямую m провести вспомогательную секущую плоскость m . 2. Построить сечение многогранника с вспомогательной секущей плоскостью . 3. Определить искомые точки К, М - пересечения полученного сечения с прямой m. 4. Определить видимость прямой по отношению к пирамиде.
Пересечение прямой линии с поверхностью конуса Задача: Определить точки пересечения прямой линии с поверхностью конуса вращения и определить видимость прямой по отношению к конусу.
В качестве вспомогательной секущей плоскости целесообразно выбрать такую плоскость, которая бы включала прямую l и пересекала конус по образующим. Такая плоскость определяется прямой l и точкой S - вершиной конуса. Линия пересечения вспомогательной секущей плоскости и горизонтальной плоскости проекций ВС пересекает основание конуса в точках D и F. В сечении конуса вспомогательной секущей плоскостью получится треугольник DFS. Так как полученный треугольник и прямая l лежат в одной плоскости, точки их пересечения К и М и есть точки
Плоскость касательная к поверхности Виды касания Построение касательной плоскости к поверхности представляет частный случай пересечения поверхности плоскостью. Плоскость α, представленную двумя касательными, проведенными в точке А поверхности Ф, называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке. Любая кривая поверхности, проходящая через точку А, имеет в этой точке касательную линию, принадлежащую плоскости α. Прямую линию, проходящую через точку касания и перпендикулярную касательной плоскости, называют нормалью поверхности в данной точке. Если касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку, то все принадлежащие поверхности линии, проходящие через эту точку, будут расположены по одну сторону от касательной плоскости. Такие точки называются эллиптическими.
В случае проведения касательной плоскости к торсовой поверхности, образованной непрерывным перемещением касательной прямой к некоторой пространственной кривой линии (частный случай - коническая поверхность), плоскость будет касаться поверхности по прямой линии – образующей. Точки, принадлежащие этой образующей, называются параболическими Точки поверхности, в которых касательная плоскость пересекает поверхность, называют гиперболическими. Гиперболическая точка принадлежит линии, по которой касательная плоскость пересекает поверхность.
Построение линии пересечения поверхностей вращения Линией пересечения двух поверхностей является множество точек, общих для данных поверхностей. Из этого множества выделяют характерные (опорные или главные) точки. Для определения этих точек пользуются вспомогательными секущими поверхностями-посредниками. В общем случае решение задачи по построению линии пересечения двух поверхностей может быть сведено к рассмотренным ранее задачам по определению: Поверхности-посредники 1. точек пересечения линии с поверхностью; выбирается так, чтобы при 2. линии пересечения плоскости и поверхности; пересечении с заданными 3. комбинации первой и второй задачи. поверхностями получались простые к построению линии (окружность, прямая). Линия пересечения двух поверхностей в проекциях всегда располагается в пределах контура наложения проекций двух пересекающихся поверхностей.
Способ секущих плоскостей-посредников, параллельных плоскостям проекций α пересекается с поверхностями по дуге окружности a и прямой линии b и определяет положение точки 1 , принадлежащей искомой кривой. β -плоскость главного фронтального меридиана полусфере дает возможность найти точки 2 и 3, как точки пересечения главного фронтального меридиана полусферы - дуги окружности с линиями d и g. γ - плоскость главного фронтального меридиана цилиндра определяет положение точек 4 и 5. С помощью плоскости φ найдены точки 6 и 7. Точка 8 найдена с помощью фронтально проецирующей плоскости ω, параллельной Характерными точки 1 - 5 и 8, лежащие на горизонтальной плоскости проекций, очерках проекций поверхностей. Точки 1 и 8 которая пересекает полусферу по определяют границу зоны видимости кривой на окружности - экватору h, а цилиндр плоскость П 1, а точки 4 и 5 –на плоскость П 2. по окружности основания s.
Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют биквадратной кривой. В некоторых случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка, причем одна из них может быть мнимой. Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются. Фронтальные проекции Θ 2 сферы Θ и Ω 2 эллиптического цилиндра Ω, имеющих общую окружность m(m 2) с центром О(О 2) Плоскость, определяемая центром сферы С и осью i цилиндра, является плоскостью симметрии заданных поверхностей, и параллельна фронтальной плоскости проекций. Общая окружность радиуса r – это одна из плоских кривых второго порядка распавшейся линии пересечения. Вторая линия пересечения (окружность) проецируется на П 2 в виде отрезка прямой n 2. Для ее построения следует воспользоваться точками А и В, принадлежащими очеркам заданных поверхностей. Плоскость α должна быть в условиях данного примера перпендикулярна плоскости симметрии, а следовательно и П 2.
Теорема 2 (о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскость которых проходит через отрезок АВ, соединяющий точки касания. По двум окружностям m и n пересекается сфера Σ и эллиптический цилиндр Θ. Точки касания и касательные плоскости обозначены соответственно через А, В, α, β. Окружности, на которые распалась линия пересечения поверхностей, расположены во фронтально проецирующих плоскостях γ и δ. Теорема 3 (теорема Г. Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания. Теорема Монжа находит эффективное применение при конструировании трубопроводов.
Теорема 4. Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка. Плоскость симметрии определена осью симметрии цилиндра Θ и центром сферы Σ. Плоскости принадлежат и симметрич-ные сами себе точки A, B, C и D линий пересечения. Проекция же линий на фронтальную плоскость имеет форму параболы m 2. Частный случай пересечения поверхностей – касание. Две поверхности могут соприкасаться одна с другой в точке, по прямой или по кривой линии. Касание может быть внешнее или внутреннее.
Скачать презентацию Начертательная геометрия курс лекций СИМВОЛЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Инж.графика.ppt