НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КУРС ЛЕКЦИЙ Автор канд техн наук

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КУРС ЛЕКЦИЙ Автор: канд. техн. наук, доцент Горетый Владимир Васильевич Gorety@mail. ru 2010 г.

СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИЯ 1, 2 ВВЕДЕНИЕ 1 МЕТОД ПРОЕКЦИЙ 1. 1 Центральное проецирование. 1. 2 Параллельное проецирование. 1. 3 Инварианты (свойства) параллельного проецирования. 1. 4 Комплексный чертеж. Эпюр Г. Монжа. 2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ 2. 1 Следы прямой линии. 2. 2 Прямые частного положения. 2. 3 Взаимное положение прямых. 2. 4 Теорема о проецировании прямого угла. 2

Рекомендуемая литература Основная литература 1. Соломонов К. Н. , Чиченёва О. Н. , Бусыгина Е. Б. Основы начертательной геометрии. -М. : МИСи. С, 2003. 2. Чекмарев А. А. Инженерная графика. М. : Высшая школа, 2000. 3. Горетый В. В. Начертательная геометрия. Конспект лекций. Учебное пособие. – Ст. Оскол, ООО «ТНТ» , 2010. 4. Горетый В. В. Начертательная геометрия. Практикум. – Ст. Оскол, ООО «ТНТ» , 2010. 5. Горетый В. В. Начертательная геометрия. Рабочая тетрадь. – Ст. Оскол, ООО «ТНТ» , 2008. 6. Горетый В. В. , Зонина О. Ф. Начертательная геометрия. Рабочая тетрадь для практических занятий. Учебное пособие. – Ст. Оскол, СТИ МИСи. С, 2009. 7. Сборник «Национальные стандарты» . ЕСКД. ГОСТ 2. 301 -68 2. 321 -84. -М. : ИПК Издательство Стандартов, 2008. Средства обеспечения освоения дисциплины 1. Пакет Auto. CAD, Компас 3 D, Симплекс. 2. Курс лекций, созданный с использованием графического «Power Point « и средств Internet. редактора 3

ВВЕДЕНИЕ • • • Курс инженерной графики включает в себя элементы начертательной геометрии (теоретические основы построения чертежей геометрических фигур), технического (машиностроительного) черчения (составление чертежей деталей и изделий) и строительного черчения (изображение зданий и сооружений). Начертательная геометрия представляет собой один из разделов геометрии, в котором пространственные формы материального мира с их геометрическими закономерностями изучаются при помощи отображений на плоскости. Инженер обязан мастерски владеть международным языком - языком чертежа, который был и остается одним из наиболее информативных языков мира. Если чертеж является языком техники, одинаково понятным всем народам, то начертательная геометрия - грамматика языка, так как она учит нас правильно читать чужие и излагать свои мысли, пользуясь в качестве слов только линиями и точками как элементами всякого изображения. Важное прикладное значение дисциплины состоит в том, что она учит грамотно владеть выразительным техническим языком, создавать чертежи и свободно читать их. 4

Чертежом называют изображение предмета, построенное по особым правилам с помощью чертежных инструментов и в точном соответствии с размерами. Чертеж - это основной конструкторский документ. Самое подробное описание объекта не может заменить чертежа, построенного по определенным геометрическим правилам. Построение чертежа – процесс творческий, основанный на знании специальных законов и умении использовать эти законы на практике. Чертежи необходимы в самых разнообразных сферах деятельности человека. Они должны не только определять форму и размеры предметов, но и быть достаточно простыми для чтения и понимания. Эти требования к чертежам и привели к созданию теории изображений, составляющей основу начертательной геометрии. Начертательная геометрия является наилучшим средством развития у человека его пространственного воображения, без которого немыслимо никакое техническое творчество. Согласно последним исследованиям в области психологии и медицины, решение задач начертательной геометрии способствует согласованию межполушарных взаимоотношений мозга, поскольку в процессе творчества координируется конкретно-образное мышление, связанное в основном с работой правого полушария мозга, и абстрактно-логическое, за которое отвечает левое полушарие. 5

Кроме этого, занятия графикой – превосходное профилактическое средство от нервных шоков и стрессов. Гонконгские врачи, например, утверждают, что когда человек старательно выписывает цифры и знаки, он полностью расслабляется, частота его пульса снижается. Со времен основоположника Гаспара Монжа (1746 -1818 г. г. ) начертательная геометрия завоевала себе достойное место в высшей школе как наука, без которой немыслимо формирование инженера. Потребность в изображении трехмерных форм материального мира на плоскости возникла из практических задач техники и искусства с древнейших времен и стала насущной необходимостью во многих областях культурной деятельности человека. Однако только Г. Монжу удалось собрать отдельные приемы решения задач геометрическими построениями на плоскости в двух проекциях, обобщить многочисленные отдельные операции на основе строгой теории и дать общие методы решения, фактически создав тем самым новую науку – начертательную геометрию. Его труд "Geometrie descriptive" изданный в 1799 году, является первым учебником, с которого собственно и началось преподавание данной дисциплины. В России начертательную геометрию начали преподавать с 1810 г. в Петербургском институте путей сообщения. Ученик Г. Монжа, французский инженер, математик К. Потье издал в Петербурге на французском языке учебник (1816 г. ), переведенный в этом же году на русский язык О. А. Севастьяновым (17961848) – первым русским профессором по начертательной геометрии. 6

В 1821 году в возрасте 25 лет О. А. Севастьянов издает первый оригинальный учебник на русском языке, основные положения, которого сохранились и в современных учебниках. Большой вклад в становление преподавания начертательной геометрии внесли российские ученые: Николай Иванович Макаров (1824 -1904), Валериан Иванович Курдюмов (1863 -1904), Николай Алексеевич Рынин (1877 -1942), Алексей Константинович Власов (1869 -1921), Александр Иванович Добряков (1895 -1947), Дмитрий Иванович Каргин (1880 -1949), Михаил Яковлевич Громов (1884 -1963), Владимир Осипович Гордон (1892 -1971), Николай Федорович Четверухин (18811974), Иванович Котов (1909 -1976), Сергей Аркадьевич Фролов, Александр Васильевич Бубенников, Геннадий Сергеевич Иванов, Христофор Артемьевич Арустамов, Николай Николаевич Крылов, Вячеслав Иванович Якунин и многие другие Начертательная геометрия – одна из дисциплин, которая составляет основу инженерного образования. Без глубоких знаний начертательной геометрии невозможно успешное выполнение курсовых проектов, а также дипломное проектирование, где будущий инженер должен грамотно излагать свои конструктивные решения в виде чертежей. Начертательная геометрия – первая инженерная дисциплина, с которой студенты сталкиваются в техническом вузе. В связи с этим необходимо уделить изучению курса достаточное внимание. 7

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ Цели и задачи современной начертательной геометрии можно свести к трем основным вопросам: • 1) Разработка способов построения изображений пространственных фигур на плоскости. (научиться создавать чертежи). • 2) развитие навыков представления формы и положения пространственных объектов по их отображениям на плоскости. (научиться читать чертежи). • 3) изучение способов решения и исследования пространственных задач при помощи изображений на плоскости (научиться решать задачи). 8

1 МЕТОД ПРОЕКЦИЙ • • Изображения объектов трехмерного пространства на плоскости получают методом проецирования. Метод проецирования (от латинского projection – бросание вперед, вдаль) является основным методом начертательной геометрии. Для освоения метода проецирования необходимо рассмотреть аппарат проецирования. Аппарат проецирования включает в себя: центр проецирования (точка зрения), проецирующие лучи, проецируемый объект и плоскость проекций, на которой получается изображение. По способу получения изображения на плоскости различают центральное и параллельное проецирование. Рассмотрим эти способы и отметим их достоинства и недостатки. 9

1. 1 Центральное проецирование При центральном проецировании проецирующие лучи исходят из одной точки S – центра проецирования, находящейся на конечном расстоянии от плоскости проекций Пi. . • П 1 – плоскость проекций; S l 1 А П 1 • S – центр проецирования; • А и В – объекты проецирования ; l 2 • А 1 и В 1 – проекции А и В на плоскость проекций П 1. В A 1 В 1 Рис. 1. 1 Для проецирования произвольной точки А, через нее и центр проецирования проводят прямую линию - проецирующий луч SA. Точка пересечения проецирующего луча c плоскостью проекций и является центральной проекцией точки А. 10

Проекция прямой линии АВ представляет собой совокупность точек этой линии А i. Вi. ПОЛУЧИЛИ: Отображение отрезка прямой линии АВ на плоскость проекций П 1. Такое геометрическое толкование процесса образования изображения соответствует явлениям, имеющим место в природе. Изображение, получающееся на сетчатке глаза или на пластинке фотоаппарата, является центральными проекциями с полюсами в оптическом центре глаза или объектива. Центральное проецирование используется там, где от изображения в первую очередь требуется наглядность, то есть способность производить такое впечатление, как сам оригинал. При центральном проецировании происходит искажение объекта проецирования, однако, устанавливается определенное соответствие между проекцией и оригиналом. Проекция любой фигуры может быть получена проецированием всех точек, принадлежащих данной фигуре. Часто при проецировании какой-либо фигуры достаточно построить проекции ее характерных точек, Например, для проецирования треугольника ΔАBC - проекции трех его точек Аi, Вi, Сi. Примером центральной проекции может служить перспективное изображение, которое широко применяется в живописи, графике, а также в строительной практике. Однако, отметим, что центральные проекции не обеспечивают однозначного соответствия оригиналу, то есть по изображению не всегда можно определить форму, размеры и положение объекта в пространстве. Таким образом, при центральном проецировании не обеспечивается обратимость чертежей. 11

1. 2 Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования, при котором центр проецирования удален в бесконечность (S∞), т. е. является несобственной точкой. а) Косоугольное l 1 б) Ортогональное l 1 А А В В С α А 1=(С 1) α В 1 П 1 α = 90° В 1 П 1 Рис. 1. 2 α = 90° Рис. 1. 3 12

При этом все проецирующие лучи параллельны. АА 1 // ВВ 1 // СС 1. При параллельном проецировании удается получить изображение с меньшими искажениями, например, получить проекцию отрезка прямой линии или плоской фигуры в натуральную величину. Параллельные проекции менее наглядны, но более удобны для измерений и поэтому находят наибольшее применение в технике. Примером применения параллельного проецирования могут служить известные аксонометрические проекции (наглядные изображения), которые вам приходилось строить в школе. При изучении инженерной графики также используются аксонометрические проекции, как косоугольные, так и прямоугольные. При построении проекционных чертежей следует учитывать не только наглядность изображения, но и обратимость чертежей, т. е. возможность определить все геометрические свойства объекта, его форму, размеры и положение в пространстве. Центральные проекции, как мы убедились, не отвечают этим требованиям, они не определяют размеры и положение в пространстве. Параллельные проекции также не всегда обладают свойствами обратимости. 13 Отсюда можно сделать вывод: только по одной проекции нельзя установить форму, размеры и положение предмета в пространстве.

1. 3 Свойства (инварианты) параллельного проецирования 1. Проекция точки – есть точка; 2. Проекция прямой линии – есть прямая, кроме прямых, совпадающих с направлением проецирования; l 1 3. Если точка принадлежит прямой линии, то проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой: А С В если К ВС, то Кј Вј С ј; 4. Плоская (двумерная) фигура проецируется также плоской фигурой; А 1 ≡ ( С 1 ) В 1 П 1 5. Если отрезок прямой линии делится точкой в каком-либо отношении, то и проекции отрезка делятся проекцией точки в том же отношении; АК/КВ = А 1 К 1/К 1 В 1 Рис. 1. 4 14

6. Проекции отрезков параллельных прямых параллельны. 7. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется в такую же фигуру; 8. Ортогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельна плоскости проекций, взаимно перпендикулярны. Следствие: Прямой угол проецируется в натуральную величину, если одна его сторона параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей. Последнее следствие очень важно, так как на его основе решаются очень многие задачи начертательной геометрии. Как уже отмечалось, центральные и параллельные проекции не обладают свойствами обратимости. Чтобы сделать изображение однозначным, обратимым, применяют различные способы: - Двойное проецирование (две точки зрения); - Проекции с числовыми отметками (задается высота от нулевого уровня); - Смешанное проецирование (перспектива); - Проецирование на две и три плоскости проекций. Рассмотрим ортогональное проецирование на две или три плоскости проекций, впервые предложенное Г. Монжем. Полученные изображения получили название «комплексный чертеж Монжа» , 15 или «эпюр Монжа» .

1. 4 Комплексный чертеж а) Проецирование на две плоскости П 2 Z А –горизонтальная проекция точки А; 1 А 2 l 1 А А 2 –фронтальная проекция точки А. Ах0 =ХА; l 2 АА 1=А 2 Ах =ZА ; АА 2 =А 1 Ах =YА ; ZА Х ХА Ах YА А 1 П 1 Рис. 1. 5 0 Таким образом можно записать: А (Х, Y, Z). И сделать вывод: Положение точки А в пространстве определилось. Полученный комплексный чертеж получил название эпюр Монжа. Y Отметим, что на эпюре сама точка А отсутствует, а имеются только ее 16 проекции.

Повторим путь Г. Монжа и построим комплексный чертеж – эпюр Монжа. • • • Проекции точки А 1 и А 2 располагаются на одном перпендикуляре. Этот перпендикуляр называют линией проекционной связи, или линией связи (ее длина равна сумме координат ZA+YA). Эпюр точки, состоящий из двух проекций А 1 и А 2, обеспечивает точность и обратимость чертежа. Отметим: A 2 Z ZA П 2 X 0 П 1 - Две проекции однозначно определяют положение точки (объекта) в пространстве. - Точка А на эпюре отсутствует Вывод: - Эпюр Монжа позволяет исследовать объекты материального мира по их отображениям на плоскости. YA A 1 Рис. 1. 6 Y 17

б) Расположение точек относительно плоскостей проекций Если продолжить плоскости проекций П 1 и П 2 за ось ОХ, то получим пространство, поделенное на квадранты (или четверти). II А 2 В I В 2 С 1 А В 1 На рис. 1. 7 изображены квадранты (четверти) пространства. Построим точки А, В, С и D в разных четвертях пространства. Точка А находится в первой четверти. Точка В – во второй. Точка С – в третьей. Точка D – в четвертой. D 1 С А 1 D 2 III Запишем знаки координат точек в таблицу. С 2 Четверти пространства I Точка D Знаки координат x y z Точка С IV Рис. 1. 7 Точка В III D Точка А II IV 18

Построим эпюр Монжа для точек А, В, С и D на рис. 1. 8. Размеры снимем с наглядного изображения в масштабе. Z (-Y) Измерим координату Х =10 мм точки А и отложим по оси ОХ. Проведем линию связи, перпендикулярно оси ОХ и отложим на ней значения Ya=20 и Za=30 мм. Получим эпюр точки А (точка А находится в первой четверти). X A 2 Za Ах Ya Выполнив аналогичные построения получим эпюр точек В, С и D. A 1 Не забудем про знаки координат. Y (-Z) Рис. 1. 8 19

в) Проецирование на три плоскости проекций Z П 2 А 2 ХА АZ YА l 1 l 3 • АА 2=А 1 Ах =А 3 АZ= Ау0 = YА • АА 1=А 2 Ах =А 3 АY= АZ 0 =ZА А 3 А l 2 П 3 ZА Х • АА 3=А 1 АY=А 2 АZ= АХ 0 = ХА Ах 0 П 1 YА А 1 АY Рис. 1. 9 Y 20

Трехпроекционный комплексный чертеж (или как от пространства перейти к плоскому чертежу) Z Z П 2 А ХА А А 22 П 3 YА АZ А 3 YА А П 3 А 3 ZА Ах Ах Х 0 Y П 1 YА YА АY А 1 Y П 1 А 1 Y Рис. 1. 10 21

1. 5 Построение третьей проекции точки. Основная задача проекционного черчения Z AZ A 2 YA A 3 Задача имеет 4 способа решения. ZA X Ax XA 0 AY Y YA A 1 AY K 0 Y Рис. 1. 11 22

2 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ Прямая линия - множество всех последовательных положений движущейся точки. Отрезок прямой линии определяется двумя точками, поэтому прямая линия считается заданной, если на чертеже даны проекции двух ее точек. Прямая может занимать в пространстве общее или частное положение. Z П 2 В Если отрезок прямой линии не параллелен ни одной из плоскостей проекций, то такая прямая называется прямой общего положения. Проекции прямой общего положения - прямые линии. Величина проекции прямой зависит от наклона отрезка к плоскости проекций. Проекция отрезка прямой линии общего положения не может быть больше самого отрезка. А 2 Х 0 А А 1 В 1 =AB x cos , А 2 В 2 =АВ х соs β. В 1 Если =0, то АВ||П 1, А 1 В 1=АВ. А 1 Y П 1 Рис. 2. 1 Если =90°, то AB П 1 23 А 1 В 1.

2. 1 Следы прямой линии Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называются следами прямой. На трех плоскостях проекций прямая общего положения может иметь три следа – горизонтальный, фронтальный и профильный. Построим горизонтальный (М) и фронтальный (N) следы прямой АВ на эпюре. След прямой – это точка на плоскости проекций, следовательно, одна из проекций следа прямой должна находиться на оси проекций. Поэтому, чтобы построить горизонтальный след М, надо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью ОХ, эта точка – фронтальная М 2 ≡ ОХ следа М 2. проекция N N 2 В 2 А 2 П 2 X Горизонтальная проекция следа М 1 совпадает с горизонтальным следом прямой М и располагается на линии связи с фронтальной проекцией М 2. М 1 М 2 ОХ Аналогично строится фронтальный след N. М 2 0 П 1 N 1 В 1 А 1 М 1 М Рис. 2. 2 Таким образом, М М 1 , а N N 2. М = АВ ∩ П 1; N = АВ ∩ П 2. 24

2. 2 Проецирование прямых частного положения Прямые уровня Это прямые, параллельные одной плоскости проекций а) Прямая параллельная горизонтальной плоскости проекций П 1 – горизонталь (h): h) Z П 2 А 2 В 2 ZА β А Х Ах В А 1 0 β ZВ Х ZВ П 1 В 2 ZА Вx А 1 h 2 А 2 h 1 β В 1 Y Рис. 2. 3 Рис. 2. 4 25

б) Прямая параллельная фронтальной плоскости проекции П 2 – фронталь (f): D 2 С 2 YD α YC D D 2 α С 2 С α Х Х YC С 1 C 1 YD D 1 Рис. 2. 5 Рис. 2. 6 26

в) Прямая, параллельная профильной плоскости проекций П 3 – профильная прямая (р): E 2 Z E 3 β П 2 EZ E 2 E F 2 FZ α П 1 EY F 3 E 1 FY F 1 Y Х α F FХ=(EХ) F 3 П 3 β β α F 2 E 3 E 1 F 1 Y Рис. 2. 7 Рис. 2. 8 27

Проецирующие прямые. Это прямые, перпендикулярные одной плоскости проекций (параллельные двум плоскостям проекций) а) Горизонтально - проецирующая прямая, перпендикулярная П 1: А 2 П 2 А 2 В 2 А П 3 В 2 В Х АХ ≡ (ВХ) А 1 ≡ ( В 1) П 1 А 1 ≡ ( В 1) Рис. 2. 9 Рис. 2. 10 28

б) Фронтально - проецирующая прямая, перпендикулярная П 2: C 2 ≡ (D 2) П 2 C 2 ≡ (D 2) D П 3 Х СХ ≡ (DХ) С СХ ≡(DХ) D 1 C 1 П 1 C 1 29 Рис. 2. 11 Рис. 2. 12

в) Профильно-проецирующая прямая, перпендикулярная П 3. П 2 D 2 ν l 3 Z С 2 (CZ)=DZ С D ν D 2 П 3 CХ D 1 (CZ)=DZ (C 3) ≡D 3 (C 3)=D 3 (СY ) =DY DХ ν С 2 ν Х DХ 0 CХ Y C 1 П 1 D 1 ν C 1 Y Рис. 2. 13 Рис. 2. 14 30

2. 3 Взаимное положение прямых 2) Скрещивающиеся прямые: 1) Параллельные прямые: Если n -- f, то точки пересечения проекций мнимые. Если а//b, то аi // bi а 2 n 2 b 2 C 2 A 2=(B 2) f 2 Х D 2 Х a 1 b 1 B 1 f 1 A 1 C 1 =(D 1) n 1 Обратное утверждение справедливо только для прямых общего положения. Рис. 2. 15 Рис. 2. 16 31

3) Пересекающиеся прямые: Если с∩d = К , то с2 ∩d 2 = К 2 , а с1∩d 1= К 1. G 2 • Линия связи К 2 К 1 OХ. К 2 d 2 с2 Х G 1 d 1 с1 К 1 32 Рис. 2. 17

2. 4 Длина отрезка прямой. Как мы убедились ранее, в общем случае проекции отрезка прямой всегда короче самого отрезка. Однако по двум проекциям отрезка нетрудно определить его истинную величину. Пусть заданы отрезок прямой АВ общего положения и горизонтальная плоскость В А проекций П 1 (рис 2. 18). К α В 1 П 1 α А 1 α н. в. В 0 Рис. 2. 18 1) Построим на плоскости ортогональную проекцию отрезка А 1 В 1. 2) Через точку А проведем прямую линию АК параллельно плоскости П 1. 3) В прямоугольном треугольнике АКВ один из катетов равен проекции отрезка АВ на плоскость П 1, т. е. АК = А 1 В 1, а другой катет равен разности удалений (ΔZ) точек А и В отрезка АВ от плоскости проекций, т. е. ВК = ВВ 1 – АА 1 =Zв – Zа. 4) Гипотенуза АВ треугольника составляет с катетом АК угол , равный углу наклона отрезка АВ к горизонтальной плоскости проекций П 1. 5) Построением в плоскости П 1 прямоугольного треугольника А 1 В 1 В 0 определяется длина отрезка АВ и угол наклона его к горизонтальной плоскости проекций. Таким образом, А 1 В 0 = АВ. Рассмотренная схема указывает путь к решению аналогичной задачи на эпюре Монжа, для этого достаточно построить прямоугольный треугольник, равный пространственному треугольнику АВК по двум катетам, величина которых известна. 33

На рисунке 2. 19 задан отрезок прямой АВ. Найдем его длину и углы наклона к плоскостям проекций. Решение: На горизонтальной проекции А 1 В 1 отрезка, как на катете, строим прямоугольный треугольник. Второй катет этого треугольника равен разности удалений концов отрезка от горизонтальной плоскости проекций. На чертеже эта разность определяется А 0 величиной ΔZ= Zв – Za, превышением точки В над точкой А. В 2 В результате получим прямоугольный треугольник β А 1 В 1 В 0. ΔY Гипотенуза А 1 Bвеличина отрезка равна длине Истинная 0 этого треугольника прямой есть отрезка АВ. гипотенуза прямоугольного треугольника, А 2 В 1 ΔY н. в. А 1 α Рис. 2. 19 один катет которого - проекция отрезка, а второй катет - разность удалений концов отрезка от этой плоскости проекций. Углом наклона прямой к плоскости проекций В 0 считают угол между натуральной величиной отрезка (гипотенузой прямоугольного треугольника) и проекцией отрезка на эту плоскость. Так, =В 1 А 1 В 0 – угол наклона отрезка АВ к горизонтальной плоскости проекций. Угол наклона отрезка к фронтальной плоскости проекций будем обозначать – . Для определения угла на фронтальной плоскости проекций необходимо выполнить аналогичные построения. Удаление концов отрезка АВ от плоскости П 2 обозначим ΔY. Отрезок А 0 В 2 также равен истинной длине отрезка АВ. Измерим полученные отрезки А 0 В 2 и А 1 B 0, и убедимся, что они равны. 34 Угол β= А 0 В 2 А 2– угол наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций.

2. 5 Теорема о проецировании прямого угла Угол между пересекающимися прямыми может быть тупой, острый или прямой. Для того, чтобы острый или тупой угол отобразился на плоскости проекций в натуральную величину, необходимо, чтобы обе стороны угла были параллельны этой плоскости проекций. Для того чтобы прямой угол проецировался в истинную величину, необходимо и достаточно, из его сторон была параллельна, а чтобы одна <( АВ ∩ ВС) = 90° другая не перпендикулярна плоскости проекций. Рис. 2. 18 Пусть сторона прямого угла ВС параллельна плоскости проекций П 1. Докажем, что проекция этого угла = 90 о. В 2 С 2 А 2 1) Прямая ВС (рис. 2. 18) перпендикулярна плоскости АВВ 1 А 1, т. к. она перпендикулярна двум прямым этой плоскости BС АВ по условию, ВС ВВ 1 - по построению. 2) Прямая ВС и ее проекция В 1 С 1 - две параллельные прямые, а потому В 1 С 1 также перпендикулярна плоскости. В 1 С 1 АBВ 1 А 1. 3) Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Х В 1 h 1 900 А 1 Рис. 2. 19 Доказательство : С 1 Следовательно, A 1 B 1 В 1 С 1, а значит угол А 1 В 1 С 1 - прямой Построим прямой угол на эпюре (рис. 2. 19) 35