НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ИНЖЕНЕРНАЯ и КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА Курс лекций

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ и КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА Курс лекций Автор: Демидова Г. П. , доцент кафедры инженерной графики КГЭУ 08. 02. 2018 1

Цель электронного курса лекций p Демонстрация последовательных графических построений при решении задач начертательной геометрии n 08. 02. 2018 Подробное изложение курса Вы найдете в приведенном в разделе «Основная и дополнительная литература» 2

Лекция № 1. Часть 1 1. 1. Основная и дополнительная литература p 1. 2. Цели и задачи курса «НГ. И и КГ. » Введение p 1. 3. Принятые обозначения p 1. 4. Метод проецирования. Виды проецирования p 1. 5. Изображение точки в системе 3 -х плоскостей проекций. Эпюр Монжа. p 1. 6. Инвариантные свойства параллельного проецирования. Точки частного положения p 08. 02. 2018 3

Пояснения к использованию данного курса p Управляющие кнопки в данной лекции обеспечат Вам переход n - к разделу «Содержание» n - к следующему слайду n 08. 02. 2018 - к началу рассматриваемого примера или к последнему показанному слайду 4

1. 1 Основная литература 1. 2. 3. 4. Фролов С. А. Начертательная геометрия. М. : Машиностроение, 2003 Гордон В. О. , Семенцов-Огиевский М. А. Курс начертательной геометрии. М. : Наука, 2004 Лагерь А. Г. И. Основы начертательной геометрии. М. : Высшая школа, 2009 Демидова Г. П. Учебно-методическое пособие по дисциплине: «Начертательная геометрия. Инженерная и компьютерная графика» Казань. КГЭУ, 2012 08. 02. 2018 5

Дополнительная литература 5. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 711 кл. общеобразоват. учреждений. -5 -е изд. М. : 2006, 383 с. 08. 02. 2018 6

1. 2. Цели и задачи курса «НГ. И и КГ. » p p Изучение методов отображения пространственных объектов на плоскости Научится: 1) выполнять графические изображения предметов и мысленно воспроизводить их в пространстве по изображениям. 2) способы преобразования и исследования геометрических свойств объекта. 3) основы моделирования геометрических объектов. 08. 02. 2018 7

Цели инженерной и компьютерной графика Инженерная графика – научиться разрабатывать технические чертежи изделий и конструкторскую документацию в соответствии требованиями ГОСТов ЕСКД p Компьютерная графика – технологию создания двух-, трехмерных геометрических моделей технических чертежей и конструкторской документации с применением стандартных пакетов программ p 08. 02. 2018 8

Введение Основные понятия начертательной геометрии (НГ) p Одним из методов познавания природы является моделирование p При этом человек создает физическую или абстрактную (математическую) модель изучаемого процесса или объекта p В инженерной практике рассматриваются геометрические модели - чертежи 08. 02. 2018 9

Введение p p Начертательная геометрия (НГ) - область науки и техники, занимающаяся разработкой научных основ построения и исследования геометрических моделей пространственных инженерных объектов и их графического отображения Начертательная геометрия - один из разделов геометрии, в котором пространственные формы с их геометрическими закономерностями изучаются в виде их изображения на плоскости и 3 -х мерном моделировании 08. 02. 2018 10

1. 3. Принятые обозначения 1. 2. 3. 4. Точки в пространстве – прописными буквами латинского алфавита А, В, С, …, а также цифрами Линии в пространстве – по точкам, определяющим линию, и строчными буквами латинского алфавита а, b, c … Углы – строчными буквами греческого алфавита φ, ψ, ω, σ Плоскости - α, β, γ, δ 08. 02. 2018 11

Принятые обозначения 5. Плоскости проекций – строчной буквой греческого алфавита π p Горизонтальная плоскость π1 p Фронтальная плоскость π2 p Профильная плоскость π3 p Любая дополнительная плоскость π4, π5, … 08. 02. 2018 12

Принятые обозначения 6. Оси проекций – строчными буквами x, y, z p При введении дополнительных плоскостей π 2/ π 4, π 1/ π 4, π 4/ π 5, … 7. Проекции точек: 7. На плоскость α – Аα На горизонтальную плоскость π1 – А 1 8. На фронтальную плоскость π2 – А 2 9. На профильную плоскость π3 – А 3 6. 10. На А 4 08. 02. 2018 дополнительную плоскость π4 – 13

Принятые обозначения 8. Проекции линий – по проекциям точек, определяющих линию; кроме того, строчными буквами: p На горизонтальную плоскость π1 – m 1, n 1, p p 08. 02. 2018 k 1 , … На фронтальную плоскость π2 – m 2, n 2, k 2 , … На профильную плоскость π3 – m 3, n 3, k 3 , … 14

Принятые обозначения 9. Обозначение плоскостей, заданных следами: p Горизонтальный след плоскости α- απ1 p Фронтальный след плоскости α- απ2 10. Точка схода следов плоскости – строчными буквами обозначения плоскости α, β, γ, δ с индексом соответствующей оси: αX, αY, αZ; βX, βY, βZ, … 08. 02. 2018 15

Принятые обозначения 11. При преобразовании чертежа в новом положении точки – А', следующем преобразовании - А'' 08. 02. 2018 16

1. 4. Метод проецирования. Виды процирования p p p Проецирование – замена реально существующего объекта его изображением на плоскости, выполненным по определенным правилам с помощью проецирующего луча Проецирование предмета из данного центра называют центральным. Чтобы спроецировать точку В на плоскость α из данного центра А, надо провести прямую линию (проецирующий луч) из точки А через точку В до пересечения с плоскостью проекций. Проецирование предмета из бесконечно удаленного центра называют параллельным. Чтобы спроецировать точку А на плоскость α, надо провести через эту точку параллельно направлению проецирования S прямую линию (проецирующий луч) до пересечения с плоскостью проекций. 08. 02. 2018 17

1. 4. 1. Центральное проецирование! Любая точка, расположенная на линии АВ и её продолжении, совпадет с проекцией Аα Центральное проецирование не определяет однозначно положение точки в пространстве 08. 02. 2018 18

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ 08. 02. 2018 19

1. 4. 2. Параллельное проецирование Любая точка, расположенная на линии АВ и её продолжении, совпадет с проекцией Аα Параллельное проецирование не определяет однозначно положение точки в пространстве 08. 02. 2018 20

4. 2. 1 Ортогональное проецирование p p Ортогональное проецирование – прямоугольное, параллельное проецирование на 3 взаимно перпендикулярные плоскости. Это единственный способ построения технических чертежей Прямоугольные (ортогональные) проекции являются наиболее распространенными в конструкторской практике. Они не дают наибольшей наглядности изображения, но являются простыми с точки зрения графических построений. Они обеспечивают точное соотношение размеров изображений предметов на плоскости 08. 02. 2018 21

Ортогональное проецирование (пример) 08. 02. 2018 22

Пространственная модель трех координатных плоскостей проекций Плоскости координат в своем пересечении образуют 8 трехгранных углов – 8 октантов 08. 02. 2018 23

1. 5. Изображение точки в системе трех плоскостей проекций π1, π2, π3 x. A X – ось абсцисс Y – ось ординат Z – ось аппликат z. A y. A x. A Координаты точки А(x, y, z) полностью и однозначно определяют её положение Проекции А 1 и А 2 построены по 3 -м координатам: x, y, z, т. е. двух проекций достаточно для однозначного определения положения точки 08. 02. 2018 24

Проекции точки Повернув плоскости π1 и π3 (см. предыдущий слайд) вокруг осей проекций на угол 90º, совместим их с плоскостью π2 При этом получаем изображения объекта на чертеже 08. 02. 2018 25

1. 5. 1 Проекции точки. Эпюр Монжа Чертеж в системе π1, π2 известен под названием эпюр Монжа 08. 02. 2018 26

Выводы p Ортогональное проецирование – прямоугольное, параллельное проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости – единственный способ построения технических чертежей 08. 02. 2018 27

Выводы p p Положение точки определяется её ортогональными проекциями на две плоскости По двум проекциям всегда можно построить третью 08. 02. 2018 28

Пример. Проекции точки Дано: А(50, 20, 30) Построить проекции точки А 08. 02. 2018 29

Вопросы «на засыпку» p Метод проецирования, используемый для создания чертежей 1. 2. 3. 08. 02. 2018 Параллельный Центральный Ортогональный 30

Вопросы «на засыпку» p Минимальное количество проекций, определяющее положение точки Одна 2. Две 3. Три 1. 08. 02. 2018 31

Вопросы «на засыпку» p Эпюр – это … 1. 2. 3. 4. 08. 02. 2018 Аксонометрическое изображение Рисунок Схема Чертеж 32

1. 6. Инвариантные свойства ортогонального проецирования 1. 2. 3. 4. 5. Проекция точки – точка Если точка принадлежит прямой, то и проекция точки принадлежит проекции этой прямой Проекции точек, расположенные на одном проецирующем луче, совпадают Точки, принадлежащие плоскости проекций, то две другие проекции лежат на осях проекций Проекция прямой – прямая (кроме прямых частного положения) 08. 02. 2018 33

Инвариантные свойства ортогонального проецирования 6. 7. 8. 9. Если прямые параллельны, то их проекции также параллельны Отношения длин отрезков прямой или параллельных отрезков равны отношениям их проекций Проекции пересекающихся прямых – пересекаются, а проекции точек пересечения лежат на одной линии связи Проекция многоугольника – многоугольник 08. 02. 2018 34

Инвариантные свойства ортогонального проецирования 10. 11. 12. Отрезок прямой, параллельный плоскости проекций, проецируется на неё в натуральную величину Плоская фигура проецируется в натуральную величину на некоторую плоскость проекций, если она параллельна этой плоскости проекций Прямой угол, у которого хотя бы один луч параллелен плоскости проекций, проецируется на неё в натуральную величину 08. 02. 2018 35

Инвариантные свойства ортогонального проецирования Точка А принадлежит прямой k А 1 принадлежит k 1 А 2 принадлежит k 2 08. 02. 2018 36

Инвариантные свойства ортогонального проецирования Проекции точек, расположенные на одном проецирующем луче, совпадают Направление взгляда при определении видимости на π1 08. 02. 2018 37

Инвариантные свойства ортогонального проецирования Проекция многоугольника АВСDE многоугольник 08. 02. 2018 38

Инвариантные свойства ортогонального проецирования Точка А принадлежит горизонтальной плоскости проекций (π1) Точка А и её проекция А 1 совпадают 08. 02. 2018 39

Инвариантные свойства ортогонального проецирования Прямые m и n - параллельны Параллельны их проекции: m 1//n 1 m 2//n 2 08. 02. 2018 40

Инвариантные свойства ортогонального проецирования Точка В делит отрезок АС пополам А 1 В 1=В 1 С 1 А 2 В 2=В 2 С 2 08. 02. 2018 41

Инвариантные свойства ортогонального проецирования Прямые k и d пересекаются в точке С Проекции их пересекаются и точки пересечения находятся на одной линии связи 08. 02. 2018 42

Инвариантные свойства ортогонального проецирования АВ параллельна горизонтальной плоскости проекций (π1) A 2 B 2 // x A 1 B 1 = IАВI НВАВ 08. 02. 2018 43

Инвариантные свойства ортогонального проецирования АВС параллелен горизонтальной плоскости проекций (π1) Δ IΔАВСI= ΔА 1 В 1 С 1 08. 02. 2018 44

ПРИМЕР к п. 11 инвариантных свойств Дано: Угол АСВ равен 90° Катет АС параллелен ₁ 08. 02. 2018 45

ЧАСТЬ 2. Прямая 2. 1. Изображение прямой p 2. 2. Прямые общего положения. Пример прямой общего положения p 2. 3. Прямые частного положения p 2. 4. Следы прямой p 2. 5. Определение н. в. прямой. Способ прямоугольного треугольника p 2. 6. Взаимное положение прямых p 08. 02. 2018 46

2. 1. Изображение прямой p Прямая на чертеже может быть задана проекциями двух точек этой прямой (проекциями отрезка прямой) A 2 В 2 k 2 x A 1 08. 02. 2018 В 1 k 1 47

2. 2. Прямые общего и частного положения p p Прямая общего положения не имеет проекций, параллельных или перпендикулярных осям координат Прямые частного положения 1. Прямая параллельна одной плоскости проекций* 2. Прямая параллельна двум плоскостям проекций* *В первом случае одна проекция отрезка прямой равна самому отрезку. Во втором случае две проекции отрезка равны ему 08. 02. 2018 48

Пример построения проекций прямой общего положения АВ - отрезок прямой общего положения 08. 02. 2018 49

2. 3. Прямые частного положения. Прямая параллельная одной плоскости проекций p p p Горизонтальная прямая – параллельна горизонтальной плоскости проекций Фронтальная прямая – параллельна фронтальной плоскости проекций Профильная прямая – параллельна профильной плоскости проекций n 08. 02. 2018 Перечисленные прямые также называют прямыми уровня 50

Горизонтальная прямая Z = const ψ- угол между АВ и π2 08. 02. 2018 АВ параллельна горизонтальной плоскости проекций 51

Фронтальная прямая y = const φ – угол между АВ и π1 АВ параллельна фронтальной плоскости проекций 08. 02. 2018 52

Профильная прямая x = const АВ параллельна профильной плоскости проекций 08. 02. 2018 53

2. 3. 1 Прямая параллельна двум плоскостям проекций 1. 2. 3. Прямая параллельна плоскостям π1 и π2 , т. е. перпендикулярна плоскости π3 – профильно-проецирующая прямая Прямая параллельна плоскостям π1 и π3 , т. е. перпендикулярна плоскости π2 – фронтально-проецирующая прямая Прямая параллельна плоскостям π2 и π3 , т. е. перпендикулярна плоскости π1 – горизонтально-проецирующая прямая 08. 02. 2018 54

Горизонтально-проецирующая прямая АВ перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций АВ - горизонтальнопроецирующая прямая 08. 02. 2018 55

Фронтально-проецирующая прямая АВ перпендикулярна фронтальной плоскости проекций АВ - фронтально-проецирующая прямая 08. 02. 2018 56

Профильно-проецирующая прямая АВ перпендикулярна профильной плоскости проекций 08. 02. 2018 АВ - профильно-проецирующая прямая 57

2. 4. Следы прямой p p p Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекции называются следами прямой. Точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным следом прямой. Точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций называется фронтальным следом прямой. 08. 02. 2018 58

2. 4. 1 Следы прямой Nфронтальный след прямой АВ Мгоризонтальный след прямой АВ 08. 02. 2018 59

Следы прямой N - фронтальный след прямой АВ 08. 02. 2018 М - горизонтальный след прямой АВ 60

Способы задания прямой 1. По координатам точек концов отрезка прямой (проекциям отрезка прямой). p 2. Параметрами отрезка прямой линии: - натуральной величиной отрезка (НВ); - углами наклона к плоскостям проекций - ( ₁) и ( ₂); - угол между линией отрезка и горизонтальной плоскостью ( ₁); - угол между линией отрезка и фронтальной плоскостью ( ₂). p 08. 02. 2018 61

2. 5. Способ прямоугольного треугольника p Натуральная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка на любую плоскость проекций, другим – разность расстояний концов отрезка до той же плоскости проекций. 08. 02. 2018 62

Способ прямоугольного треугольника АВ - разность расстояний до плоскости точек 08. 02. 2018 А и В. 63

Способ прямоугольного треугольника 08. 02. 2018 64

5. 1 Пример: определить натуральную величину отрезка АВ Дано: А₁В₁ и А₂В₂. Определить: НВАВ и углы наклона отрезка АВ к П₁ , к П₂ - . 08. 02. 2018 65

6. Взаимное положение прямых p По расположению относительно друга прямые могут: n n n p быть параллельными пересекаться скрещиваться У скрещивающихся прямых одноименные проекции прямых пересекаются, но точки пересечения не лежат на одной линии связи 08. 02. 2018 66

Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые. Определение участков видимости линий 52 k 2 mи nскрещивающиеся прямые. 1 и 2, 3 и 4 - взаимно конкурирующие точки. k 1 08. 02. 2018 kи mпересекающиеся прямые. 51 Точка 5 - точка пересечения. 67

ВЫВОДЫ p По положению относительно плоскостей проекций различают: n n p прямые общего положения (непараллельные и неперпендикулярные плоскостям проекций), прямые частного положения: параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций. Способ прямоугольного треугольника позволяет решать метрические и позиционные задачи в отношении отрезков прямой общего положения 08. 02. 2018 68

ВЫВОДЫ p p Прямые частного положения и их отрезки на соответствующих проекциях дают натуральные величины и углы расположения относительно плоскостей проекций Плоскости частного положения позволяют получить натуральную величину или угол наклона к плоскости проекций 08. 02. 2018 69

Контрольные вопросы 1. 2. Как по заданным проекциям отрезка определить его натуральную величину? Как по заданным проекциям отрезка определить углы наклона его к плоскостям проекций? 08. 02. 2018 70

Контрольные вопросы 3. 4. 5. Какое положение прямой дает проекцию отрезка этой прямой, равную натуральной величине? Что такое «след прямой» ? Как его построить? 08. 02. 2018 71

ЗАДАНИЕ НА ИГР-1 (ЭПЮР № 1) 1. По заданным координатам точек A, B, C, D построить 3 проекции пирамиды на формате A 3. ABC-основание пирамиды, D -вершина. 2. Определить видимость ребер пирамиды. 3. Определить натуральную величину ребра или грани по указанию преподавателя. 08. 02. 2018 72