НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть 1 Изображение точек, прямых и плоскостей. Решение основных позиционных задач Слайд-фильм V z " A y ''' A W A x z o x ' A H 2013 г. y
1. Предмет и метод начертательной геометрии 2 Начертательная геометрия - раздел геометрии, в котором изучаются методы изображения пространственных фигур на чертеже и алгоритмы решения позиционных, метрических и конструктивных задач. Для того чтобы чертеж был геометрически равноценным изображаемой фигуре (оригиналу), он должен быть построен по определенным геометрическим законам. В начертательной геометрии чертеж строится при помощи метода проецирования, поэтому чертежи носят название проекционных чертежей. При построении этих чертежей широко используются проекционные свойства фигур, благодаря чему изображение обладает такими геометрическими свойствами, по которым можно судить о свойствах самого оригинала. Чертежи должны не только определять форму и размеры предмета, но и быть достаточно простыми и точными в графическом исполнении, помогать всесторонне исследовать предметы и их отдельные детали. Эти требования к чертежам и привели к созданию теории изображений, составляющей основу начертательной геометрии. Правила построения изображений основаны на методе проекций. Поэтому проекционный метод построения изображений является основным методом на чертательной геометрии.
3 1. 1. Методы проецирования Аппарат проецирования включает в себя проецирующие лучи, проецирумый объект и плоскость, на которой получается изображение оригинала. Изображение точки А на плоскости П' - точка А' получается в пересечении проецирующего луча, проходящего через точку А, с плоскостью П'. Все лучи проецирующие геометрическую фигуру, исходят из одной точки S, называемой центром проекций. Если эта точка находится на определенном расстоянии от плоскости проекций, то такое проецирование называется центральным. C B C' П' S A' A П' B' A B B' C A' C' S
4 Если центр проекций удален в бесконечность, то все проецирующие лучи становятся параллельными и проецирование называется параллельным. В этом случае задается направление проецирования S. Ортогональное (прямоугольное) проецирование есть частный случай параллельного проецирования, когда все проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций П'. Ортогональная проекция получила наибольшее распространение в технических чертежах. Чертежи, полученные рассмотренными методами A' проецирования, s не обладают свойством обратимости, т. е. П' A по данному чертежу воспроизвести оригинал не решается однозначно. B' C' B C
5 Основные свойства параллельного проецирования 1. Свойство однозначности. Проекцией точки на плоскость есть точка. 2. Свойство прямолинейности. Проекцией прямой линии на плоскость есть прямая. 3. Свойство принадлежности. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции этой линии. 4. Свойство сохранения параллельности. Проекциями параллельных прямых я вляются параллельные прямые. 5. Свойство деления отрезка в отношении. Если отрезок прямой линии делится точкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки в том же отношении. 6. Свойство параллельного переноса. Проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций. Три последние свойства обеспечивают более простое построение изображения и меньше искажают форму и размеры оригинала по сравнению с центральной проекцией.
6 Метод Монжа • Гаспар Монж (1746 -1818) – французский инженер, геометр, изложил метод параллельного проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций. • Эпюр Монжа, или чертеж Монжа – это плоский чертеж, в котором проецирование ведется на 2 или 3 взаимно перпендикулярные плоскости. Он образуется в результате совмещения плоскостей П 1 и П 3 с плоскостью П 2 со всем тем, что на эти плоскости спроецировано.
7 1. 2. Комплексный чертеж точки (эпюр точки) Комплексный чертеж (эпюр) точки состоит из двух или трех ортогональных проекций. Эти проекции получают на взаимно перпендикулярных плоскостях проекций. Одна из плоскостей проекций П 1 называется горизонтальной плоскостью проекций, вторая П 2 - фронтальной, а третья П 3 - профильной. z Октанты VI I П 2 II III I П 3 III x + + _ _ y + _ _ VII _ + + _ _ VIII _ + IV V o x Знаки координат VI -x П 1 Линии пересечения плоскостей проекций называются осями координат x, y, z. Плоскости проекций делят пространство на 8 трехгранных углов - четверти или октанты. Зритель, рассматривающий оригинал, находится в первом октанте. z + + _ _ z -y IV y VIII -z x -y 0 -z y -x y
8 Спроецируем точку А на плоскости проекций П 1, П 2 и П 3. Точка А 1 называется горизонтальной проекцией точки А, точка A 2 - ее фронтальная проекция, точка A 3 - ее профильная проекция. Расстояние AA 1 точки А от плоскости П 1 называется высотой точки A (za- аппликата), ее расстояние AA 2 от плоскости П 2 - глубиной точки А (ya ордината), а расстояние AA 3 от плоскости П 3 - широтой точки A (xa - абсцисса). Таким образом, какая-либо точка пространства А будет определяться тремя ее координатами: A (x, y, z). Чтобы получить плоский чертеж точки А, плоскости П 1 z и П 3 вращают до совмещения П 2 с плоскостью П 2. Прямые A 1 A 3 z A 2 y. A и A 2 A 3, соединяющие проекции A 2 A 3 точки А, называются линиями y A x П 3 связи и соответственно перпенz. A z дикулярны к осям x и z. Проекции o x. A o точки А определяются координа x x тами: A 1 (x, y), A 2 (x, z), A 3 (y, z). y. A A 1 Полученный эпюр точки будет A 1 П 1 y обратимым чертежом. . y
9 Задачи
10 Задачи
11 2. Прямая линия 2. 1. Задание и изображение на чертеже Прямая линия в пространстве определяется положением двух ее точек, например А и B. Значит, достаточно выполнить комплексный чертеж этих точек, а затем соединить одноименные проекции точек прямыми линиями, получим соответственно горизонтальную и фронтальную проекции прямой. 1. Прямая общего положения называется прямая не параллельная ни одной из плоскостей проекций. 2. Прямая, параллельная или перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется прямой частного положения. П 2 B 2 B A 2 z B 3 A 2 A 3 A x x A 1 П 1 B 1 y
12 2. 2. Прямая уровня Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, называется прямой уровня. Название зависит от того, какой плоскости она параллельна. Различают: 1. горизонтальную прямую уровня (горизонталь) h, 2. фронтальную прямую уровня (фронталь) f, 3. профильную прямую уровня (профиль) p. Все точки прямых уровня имеют равные или высоты (горизонталь), или глубины (фронталь), или широты (профиль). Поэтому соответствующие проекции прямых параллельны проекциям определенных осей координат П 2 A 2 П 2 h 2 f 2 h f x x x h 1 . в. y A 3 A 2 f 2 . в =н f 3 p 2 x f 1 B 3 z x = н. B B 2 A 1 y Примечание: н. в. - натуральная величина прямой B 1 p . в. x B 1 z h 3 p 3 =н h 2 h 1 A 1 p' П 1 z A 3 p B 2 f 1 П 1 A p 2 B 3 p 1 y
13 Проецирующая прямая Прямая, перпендикулярная какой- либо плоскости проекции, называется проецирующей. Различают: горизонтально проецирующую (AB), фронтально проецирующую (CD) и профильно проецирующую (EF). У проецирующей прямой одна проекция вырождается в точку, а две другие проекции параллельны самой прямой и совпадают с направлением линии связи. П 2 A 2 _ C 2 _ D 2 A D C B 2 x F 2 E F _ C 2 _ D 2 E 2 F 2 E 1 F 1 B 2 x D 1 B _ A 1 _ B 1 П 1 _ A 1 _ B 1 D C 1 E 1 F 1 C 1
14 2. 3. Взаимное положение точки и прямой Если точка в пространстве принадлежит прямой, то её проекции принадлежат соответствующим проекциям этой прямой.
2. 5. Взаимное расположение точки и прямой 15 Из свойств параллельного проецирования (свойство принадлежности) известно, что если точка лежит на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой. Поэтому, из четырех точек A, B, C и D, приведенных на чертеже, лишь одна точка А лежит на прямой. Точка В находится над прямой, так как она расположена выше, чем горизонтально конкурирующая с ней точка прямой a (фронтальная проекция этой точки прямой a отмечена крестиком). Аналогично, точка С находится перед прямой a, точка D расположена ниже и дальше точки прямой a. Определение взаимного положения точки и профильной прямой выполняется с помощью построения профильной проекции. На чертеже точка С расположена над и перед прямой AB. A 2 B 2 C 2 D 2 A 2 a 2 z A 3 C 2 p 3 p 2 B 3 x D 1 a 1 A 1 B 1 C 1 A 1 С 1 p 1 B 1 y
16 2. 4. Следы прямой Точка пересечения прямой с плоскостью называется её следом. Точка m – горизонтальный след прямой, n – фронтальный.
2. 5. Взаимное расположение двух прямых 17 1. Пересекающиеся прямые. В этом случае прямые a и b имеют одну общую точку, проекции которой К 1 и К 2 расположены на одной линии связи. 2. Параллельные прямые. По свойству параллельного проецирования проекции параллельных прямых на любую плоскость параллельны, т. е. если е // m, то e 1 // m 1, e 2 // m 2 3. Скрещивающиеся прямые. Если две прямые скрещиваются, то их одноименные прекции могут пересекаться в точках, не лежащих на одной линии связи: две точки А и В - горизонтально конкурирующие точки, две точки 1 и 2 - фронтально конкурирующие. Как видно из чертежа , точка 1 расположена над точкой 2; следовательно, прямая n проходит над прямой b. Точка 4 расположена перед (ближе к зрителю) точкой 3, следовательно, прямая b проходит в этом месте впереди прямой n. Правило определения видимости на комплексном чертеже: из двух горизонтально конкурирующих точек на поле П 1 видна та точка, которая расположена выше, а из двух фронтально конкурирующих точек на поле П 2 видна та точка, которая расположена ближе (по отношению к наблюдателю).
18 Скрещивающиеся прямые могут проецироваться на одну плоскость проекций в параллельные прямые, а на другую плоскость проекций – пересекающиеся прямые. z А 3 А 2 C 3 С 2 В 3 В 2 D 3 D 2 x B 1 y C 1 D 1 А 1 y
2. 6. Определение натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций способом прямоугольного треугольника 19 Возьмем отрезок АВ и построим его ортогональную проекцию на горизонтальной плоскости проекций П. В пространстве при этом образуется прямоугольный треугольник A'BB', в котором одним катетом является горизонтальная проекция этого отрезка, вторым катетом разность высот точек А и В отрезка, а гипотенузой является сам отрезок. На чертеже прямоугольный треугольник построен на горизонтальной проекции отрезка АВ, второй катет треугольника B 1 Bo равен разности высот точек АВ, замеренную на плоскости П 2, гипотенуза его и будет натуральной величиной отрезка АВ. Угол между горизонтальной проекцией A 1 B 1 и гипотенузой A 1 Bo треугольника A 1 В 1 Bo это угол наклона данного отрезка AB к плоскости П 1. Аналогичное построение можно сделать на фронтальной проекции отрезка , только в качестве второго катета надо взять разность глубин его концов, замеренную на плоскости П 2. B 2 B A 2 _ A_A' a П B' A 1 a B 1 Bo
20 Натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, один катет которого равен одной из проекций отрезка, а другой разности расстоянии концов второй проекции от оси проекций. Угол α — угол наклона отрезка АB к плоскости П 1. Угол β — угол наклона отрезка АB к плоскости П 2. Угол γ — угол наклона отрезка АB к плоскости П 3.
21 2. 7 Деление отрезка в заданном соотношении Если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же отношении. • • • На основе теоремы Фалеса в делим фронтальную проекцию отрезка отношении 2 : 4 , т. е. A 2 К 2 : К 2 B 2 = 2 : 4. Так находим точку К 2. Затем по линии проекционной связи находим К 1. Точка К 1 делит горизонтальную проекцию отрезка в том же отношении A 1 К 1 : К 1 B 1 = 2 : 4
22 2. 8. Взаимно перпендикулярные прямые Для того, чтобы прямой угол проецировался без искажения, необходимо и достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна, а другая не перпендикулярна к плоскости проекций. Пусть сторона AB прямого угла ABC параллельна плоскости П 1. Требуется доказать, что проекция его: угол A'B'C' равен 90°. Прямая АВ перпендикулярна плоскости , так как АВ перпендикулярна двум прямым этой плоскости BC и BB', проходящих через точку В. Прямая АВ и ее прекция А'В' две параллельные прямые, поэтому А'B' также перпендикулярна плоскости. Следовательно, A'B' перпендикулярна B'C'. Две взаимно перпендикулярные прямые (пересекающиюся или скрещивающиеся) тогда сохраняют свою перпендикулярность в горизонтальной проекции, если одна из этих прямых является горизонталью. Две взаимно перпендикулярные прямые сохраняют свою перпендикулярность во фронтальной проекции, если одна из них является фронталью. A 2 B h 2 B 2 A C 2 a B' A' П f 2 C h 1 B 2 B 1 A 1 f 1 C' C 1 B 1
23 3. Плоскость 3. 1. Задание и изображение на чертеже Положение плоскости в пространстве и на чертеже можно определить: 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; 2) прямой и точкой вне ее; 3) двумя пересекающимися прямыми; 4) двумя параллельными прямыми; 5) любой плоской фигурой; 6) следами. Плоскость, не перпендикулярная ни одной плоскости проекций, называется плоскостью общего положения. На комплексном чертеже проекции элементов, задающих плоскость, занимают общее положение. Плоскость, перпендикулярная или параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью частного положения. C 2 A 2 B 2 a 2 A 2 a 2 B 2 b 2 C 2 A 2 b 1 C 1 A 1 a 1 A 1 B 1 1) a 1 C 1 A 1 a 1 B 1 b 1 2) 3) 4) 5)
24 Следы плоскости Прямые, по которым плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами плоскости.
3. 2. Различные положения плоскостей относительно плоскостей проекций Прецирующая плоскость 25 Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей. Различают: a) горизонтально проецирующая плоскость (a ^ П 1 ); б) фронтально проецирующая плоскость (b^ П 2) в) профильно проецирующая плоскость (g ^ П 3). У проецирующих плоскостей одна проекция вырождается в прямую. Поэтому проекция фигуры, принадлежащей такой плоскости (треугольнок ABC), вырождается в прямую (A 1 B 1 C 1). Прецирующая плоскость однозначно задается на чертеже своей линейной проекцией (a 1, b 2, g 3). П 2 B 2 a A 2 C A j B 1 П 1 C 1 b 2 x x A 1 a 2 l C 2 B x A 1 z _ _ b 2_ a 2_ b 2 B 1 a 1 а) y C 1 g 3 x b 1 a 1 б) в)
26 Плоскость уровня Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня. Различают: П 2 A 2 B 2 C 2 a 2 A 2 B A C a x C 2 B 2 x B 1 B A A 1 C П 1 C 1 а) П 2 a 2 g 2 b 2 g x x x _ _ b 1_ a 1_ b 1 g 1 П 1 б) в) a а) горизонтальная плоскость уровня (a // П 1); б) фронтальная плоскость уровня (b // П 2); в) профильная плоскость уровня (g // П 3). Плоскость уровня является частным случаем проецирующей плоскости, поэтому на чертеже задается своей линейной проекцией (a 2, b 1, g 2, g 1). Фигура, принадлежащая плоскости уровня, проецируется на соответствующую плоскость проекций в натуральную велмчину.
27 3. 3. Главные линии плоскости В любой плоскости можно провести бесчисленное множество главных линий: а) горизонтали; б) фронтали; в) профильные прямые; г) линии наибольшего ската. Линии наибольшего ската прямые, проведенные в плоскости перпендикулярно к горизонталям этой плоскости. Построение горизонтали начинают с ее фронтальной проекции h 2; построение фронтали плоскости начинают с ее горизонтальной проекции f 1; линию ската начинают с ее горизонтальной проекции A 2 1 2, которая перпендикулярна h 2. Поэтапное построение горизонтали, фронтали и линии наибольшего ската показано на следующем слайде. A 2 12 h 2 a a 2 b 2 h 1 11 12 22 11 б) 12 b 2 A 1 b 1 a 2 p 2 a 1 b 1 а) f 2 b 2 a 1 A 1 21 22 A 2 a 2 A 1 p 1 f 1 2 A 2 h 2 b 2 a 1 b 1 A 1 h 1 11 b 1 в) г)
28 Поэтапное построение главных линий плоскости а) Горизонтальная прямая уровня A 2 12 a 1 11 A 2 a 2 h 2 b 2 h 1 b 1 в) Профильная прямая уровня б) Фронтальная прямая уровня 12 22 11 f 2 b 2 p 2 a 1 A 1 b 1 2 f 1 A 1 p 1 a 2 12 b 2 a 1 A 1 21 22 A 2 a 2 г) Линия ската b 1 A 2 h 2 b 2 a 1 A 1 h 1 11 b 1
3. 4. Взаимное расположение точки и плоскости 29 Точка лежит в плоскости, если ее проекции находятся на одноименных проекциях какой-либо прямой, принадлежащей данной плоскости. Произвольно выбирают одну проекцию точки M, например, фронтальную ее проекцию M 2. Искомую горизонтальную проекцию M 1 точки M находят по линиям связи на горизонтальной проекции (A 111) прямой A 1 плоскости. Таких вспомогательных прямых в плоскости можно провести через точку M бесчисленное множество. Одна из них и представлена на эпюре. K 2 B 2 M 12 C 2 A 2 B 1 A 1 _ M 1 _ K 1 11 C 1 Если взять точку K горизонтально конкурирующую с точкой M и расположенную над ней, то точка K будет расположена и над плоскостью.
3. 5. Взаимное расположение прямой линии и плоскости 30 Возможны следующие три случая относительного расположения прямой и плоскости: прямая принадлежит плоскости, прямая параллельна плоскости, прямая пересекает плоскость. На основании свойства плоскости: если прямая линия соединяет две точки данной плоскости, то такая прямая всеми своими точками лежит в этой плоскости. Построение прямых, принадлежащих плоскости рассмотрены на слайде (главные линии плоскости). Из стереометрии известно: если прямая параллельна плоскости, то она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости. На эпюре параллельность прямой m и плоскости ABC доказывается тем, что m 2// a 2, m 1 // a 1 ; прямая принадлежит плоскости ABC. B 2 a 2 K 2 C 2 m 2 A 2 B 1 A 1 K 1 a 1 m 1 C 1
31 2 3. 5. 1. Прямая линия, пересекающая плоскость Поставлена задача: Определить точку К пересечения данной прямой а с плоскостью a. Определить видимость прямой. Решение задачи выполняется в три этапа. Алгоритм решения задачи 1 Заключить данную прямую во вспомогательную плоскостьпосредник (проецирующую или уровня) 3 2 Построить линию пересечения вспомогательной плоскостипосредника с заданной Найти точку пересечения полученной линии пересечения с заданной прямой Символическая запись алгоритма aÌS(S') m=SÇa(ABC) K=mÇa Определить видимость прямой a по правилу конкурирующих точек
32 Геометрические образы (пл. АВС, прямая а) спроецированы на плоскость П. a B A А теперь посмотрите как выполняются эти этапы алгоритма на пространственном рисунке и проецировании всех элементов задачи на плоскости П. C Выполняем 1 -й этап алгоритма a' B' A' H C' aÌS(S')
33 Выполняем 2 -й этап алгоритма a B 1 A m 2 C a '= A' '- m = ' B' 1' 2' П C' m=SÇa(ABC)
34 Выполняем 3 -й этап алгоритма a B 1 A K=m Ça m K 2 C Точка К - искомая точка пересечения данной прямой а с плоскостью АВС. a '= A' '- m = ' B' 1' K' 2' H C'
35 Рассмотрим применение данного алгоритма при решении задачи на построение точки К пересечения прямой а с плоскостью a. Возможны три варианта условия данной задачи: - прямая а - общего положения, плоскость a проецирующая (или уровня); - прямая а - проецирующая, плоскость a - общего положения; - прямая а - общего положения, плоскость a - общего положения. Решение первых двух задач можно выполнить, не применяя алгоритма, так как один из заданных образов частного положения.
36 C 2 A 2 K 2 a 2 B 2 a 1 C 1 A 1 K 1 B 1 В первом случае плоскость a (АВС) горизонтально проецирующая. Поэтому горизонтальная проекция К 1 искомой точки К определяется как точка пересечения линейной проекции А'В'С' плоскости a с горионтальной проекцией а 1 данной прямой а. Фронтальная проекция К 2 точки К строится из условия принадлежности точки К прямой а.
37 Во втором случае прямая а - фронтальнопроецирующая. Поэтому фронтальные проекции любой ее точки, а также и искомой К пересечения а с плоскостью a (АВС), совпадает с ее вырожденной проекцией a" К". Построение горизонтальной проекции К' точки К выполняется из условия принадлежности точки К плоскости a: точка К принадлежит плоскости a, так как она принадлежит ее прямой A 1 (К' находится как точка пересечения прямой A' 1' с прямой а' ). Видимость прямой а в этих задачах решается просто - с помощью реконструкции данных образов (по наглядности).
38 a 2 c 2 d 2 c 1 d 1 a 1 В третьем, общем, случае построение искомой точки К пересечения прямой а с плоскостью a (c//d) выполнено по описанному алгоритму. 1) прямую а заключают во вспомогательную горизонтально проецирующую плоскостьпосредник S(S 1); 2) строят прямую m пересечения плоскостей a (c//d) и S(S 1). На чертеже это отразится записью (a 1 S 1 m 1 ). Фронтальную проекцию m 2 строят из условия ее принадлежности данной плоскости a(m и a имеют общие точки 1 и 2); 3) находят точку K 2 , как результат пересечения a 2 с m 2, а K 1 строят по принадлежности прямой m 1. Точка K(K 2, K 1) - искомая точка пересечения прямой a с плоскостью a (c//d).
39 22 a 2 m 2 c 2 32 K 2 12 d 2 c 1 21 d 1 _ _ 11_ 31 _ _ a 1 _ S 1 _ m 1 K 1 Задачу заканчивают определением видимости прямой по правилу конкурирующих точек. Так, на плоскости Н видимость определена с помощью горизонтально конкурирующих точек 1 и 3(11 31), где точка 1 принадлежит плоскости a а точка 3 - прямой a. Точка 3 расположена над точкой 1, поэтому точка 3 и прямая a в этом участке на плоскости П 1 будет видима. На фронтальной плоскости видимость может быть определена или с помощью пары фронтально-конкурирующих точек, или по реконструкции данных образов (при восходящей плоскости видимость одинаковая на плоскостях П 1 и П 2). Данная задача после определения видимости прямой а имеет вид данного рисунка.
40 Если прямая линия пересекает плоскость под прямым углом, то на комплексном чертеже проекции этой прямой располагаются перпендикулярно проекциям соответствующих линий уровня лоскости. Если, например, на плоскость, заданную треугольником ABC, необходимо опустить перпендикуляр из точки К, то построение выполняют следующим образом. K 2 B 2 f 2 h 2 C 2 A 2 B 1 h 1 f 1 A 1 K 1 C 1 На плоскости проводят горизонталь h (h 2, h 1) и фронталь f (f 1, f 2). Затем из заданных проекций K 1 и K 2 точки К опускают перпендикуляры соответственно на h 1 и f 2. Прямая, проведенная таким образом из точки К, будет перпендикулярна плоскости треугольника ABC (так как прямая, перпендикулярная плоскости должна быть перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости).
41 3. 6. Взаимное расположение двух плоскостей Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельными, либо пересе кающимися. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Искомая плоскость b, параллельная заданной плоскости a, определена прямыми k и d соответственно параллельными a и b заданной плоскости и проходящими через произвольную точку пространства A. Пересекающиеся плоскости. Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие обеим плоскостям. Если одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение, то ее вырожденная проекция b 2 включает в себя и проекцию a 2 линии a пересечения плоскостей. Горизонтальную проекцию a' прямой a строят по двум общим с плоскостью точкам 1 и 2. B 2 12 b 2 d 2 22 A 2 a 2 b 1 B 1 k 1 a 1 d 1 b a A 2 k 2 C 2 11 A 1 a 1 21 C 1
42 Определение линии пересечения двух плоскостей общего положения Для определения точек линии пересечения обе заданные плоскости a и b пересекают двумя вспомогательными (параллельными между собой) плоскостями-посредник. Некоторое упрощение можно достичь, если вспомогательные плоскости проводить через прямые, задающие плоскость. Рассмотрим пример. Плоскость a задана (ABC), плоскость b задана (DEK). Точки M и N, определяющие искомую линию пересечения двух данных плоскостей найдем как точки пересечения каких-либо двух сторон (как две прямые) треугольника ABC с плоскостью другого треугольника DEK, т. е. дважды решим позиционную задачу на определение точки пересечения прямой с плоскостью по рассмотренному алгоритму. Выбор сторон треугольников произволен, так как только построением можно точно определить, какая действительно сторона и какого треугольника пересечет плоскость другого. Выбор плоскости-посредник также произволен, так как прямую общего положения, какими являются все стороны треугольников ABC и DEK, можно заключить в горизонтально проецирующую или во фронтально проецирующую плоскости.
43 Построить треугольники по заданным координатам Две чистые страницы тетради. На одной странице записывать ход построения. На второй странице выполнять построение. Порядок построения Начертить посередине страницы ось х. Построить ∆ ABC и ∆ DEK по координатам x; y; z. 1. ∆ АВС А(90; 60; 20) В(45; 5; 60) С(22; 50; 45) 2. ∆ DEK D (60; 70; 60) Е (97; 4; 35) К(22; 25; 5) Соединить точки соответствующих треугольников тонкими линиями.
44 Z B 2 П 2 C 2 N 2 D 2 M 2 Здесь вы видите аксонометрическое изображение решения задачи на определение линии MN пересечения двух плоскостей ABC и DEK. E 2 A 2 B K 2 O D M X E N C A K K 1 B 1 M 1 C 1 П 1 E 1 A 1 N 1 D 1 Y
45 D 2 B 2 12 M 2 E 2 A 2 C 2 22 K 2 B 1 E 1 21 K 1 M 1 11 C 1 A 1 1 D 1 1 -й этап решения Для построения точки M использована горизонтально проецирующая плоскость посредник ( 1), в которую заключена сторона AB ∆ ABC (AB Ì a). 1. Обозначаем горизонтально проецирующую плоскость - 2 -й этап решения Строим линию пересечения (на чертеже она задана точками 1 и 2) плоскости-посредника ( 1) и плоскости DEK. 2. Ставим точки пересечения на плоскости П 1 - 11 и 21 и переносим их на П 2 на одноименные стороны треугольника- 12 и 22 Соединяем точки 12 и 22 тонкой линией. 3 -й этап решения Находим точку M пересечения прямой 1 - 2 с прямой AB. 3. Пересечение проекций прямых 1222 и А 2 В 2 обозначаем М 2 и переносим её на горизонтальную проекцию прямой А 1 В 1 - М 1 Найдена одна точка M искомой линии пересечения.
46 D 2 B 2 32 12 42 M 2 E 2 N 2 C 2 52 A 2 22 K 2 B 1 E 1 21 K 1 M 1 11 N 1 A 1 1 41 31 D 1 1 C 1 Для построения точки N использована горизонтально проецирующая плоскость ( 1 ), в которую заключена сторона AC ∆ABC. Построение аналогично предыдущим. 1. Обозначаем горизонтально проецирующую плоскость 1 2. Ставим точки пересечения 3 1 и 4 1. 3. Переноси точки 3 1 и 4 1 на фронтальную проекцию на одноименные стороны треугольника 32 и 42. 3. Пересечение проекций прямых 3242 и D 2 K 2 обозначаем N 2 и переносим её на горизонтальную проекцию прямой D 1 K 1 N 1. Обращаем внимание, что фактически видимым стало пересечение ∆ABC прямой DK, а не АС! Если повторить решение заключив в проецирующую плоскость DK, то ответ будет таким же.
Направление взгляда для определения видимости на П 1 12 E 2 32 D 2 B 2 42 M 2 _ _ 62 _ 72 N 2 52 82 A 2 C 2 22 K 2 E 1 B 1 71 21 K 1 M 1 11 61 A 1 1 N 1 _ _ 41_ 81 31 D 1 1 C 1 47 Определение видимости на плоскости П 1 выполнено с помощью горизонтально конкурирующих точек. Смотрим на горизонтальную проекцию скрещивающихся прямых АС и DК. На прямой АС есть точка 4, на проекции прямой DK ставим точку 8 (41 81). Точка 4 расположена над точкой 8 (42 и 82), поэтому на плоскости П 1 часть треугольника DEK, расположенная в сторону точки 4, закрывает собой часть треугольника ABC, расположенную от линии пересечения в сторону точки 8. С помощью пары фронтально конкурирующих точек 6 и 7 (62 72) определена видимость на плоскости П 2. Невидимые линии проводим тонкой штриховой линией, а видимые толстой основной.
Способы преобразования чертежа 4. 1. Способ замены плоскостей проекций П 2 A 2 П 4 A x A 1 П 1 x 1 48 Этот способ состоит в том, что заданная фигура неподвижна, а одна из основных плоскостей П 2 или П 1 заменяется новой дополнительной плоскостью П 4 , расположенной параллельно или перпендикулярно заданной геометрической фигуре. Точка A задана в системе П 2/П 1. Плоскость V замерена новой плоскостью П 4 перепендикулярной П 1. Плоскость П 1 является общей в системе П 2/П 1 и П 1/П 4, то координата z. A остается неизменной. Следовательно, расстояние от новой фронтальной проекции до новой оси x 1 равно расстоянию от заменяемой проекции до оси x.
49 Для получения плоского чертежа точки А плоскость П 4 вращают вокруг оси x 1 до совмещения с плоскостью П 1. Новая фронтальная проекция A 4 точки А окажется на общем перпендикуляре к новой оси x 1 с оставшейся без изменения ее проекции A. П 2 A 4 A A 4 x A 1 П 4 П 1 x 1
Решение четырех основных задач способом замены плоскостей проекций П 2 A 2 a 4 a 2 B 2 x Задача 1. Преобразовать чертеж так, чтобы прямая общего положения оказалась параллельной одной из плоскостей проекций. A 4 A 50 П 4 a A 1 a 1 П 1 B 4 B B 1 X 1 4 Новую проекцию прямой, отвечающую поставленной задачи, можно построить на новой плоскости проекций П 4 , расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно плоскости П 1, т. е. от системы плоскостей П 2/П 1 с осью проекций x следует перейти к системе П 1/П 4 с новой осью x 14.
51 B 2 a 2 A 2 x П 2 П 1 X 1 4 П 1 П 4 A 1 A 4 a 1 B 1 a = н. в. a 4 B 4 На плоском чертеже новая ось x 14 проведена параллельно a 1, новые линии связи A 1 A 4 и B 1 B 4 проведены перпендикулярно оси x 1 4. Новые фронтальные проекции A 4 и B 4 точек A и B получают, измерив от оси x на поле П 2 координаты высот z. A и z. B, отложив их от оси x 1 4 на новое поле П 4. Новая проекция a 4 дает натуральную величину отрезка AB и угол a наклона его к плоскости П 1.
52 B 4 = н. в. a 4 b A 4 П 4 x 1 П B 2 2 A 2 x П 2 П 1 A 1 a 1 B 1 б) Угол наклона прямой a к плоскости П 2 можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости П 4 П 2, где П 4// a 2.
Задача 2. Преобразовать чертеж так, чтобы прямая уровня оказалась перпендикулярной одной из плоскостей проекций. f 4 h 2 x 53 П 2 f 2 H 1 h 1 x h 4 а) П 1 П 4 x 1 4 П 2 H 4 П 2 П 1 x 14 f 1 б) Другими словами, в новой системе прямая уровня должна стать проецирующей и изобразится на новую плоскость в точку. Поэтому новую плоскость П 4 располагают перпендикулярно соответственно h или f. Горизонталь h будет иметь своей проекцией точку на плоскости П 4 в системе П 1/П 4 (рис. а), а фронталь f – на плоскости П 4 в системе П 2/П 4 (рис. б). Новую ось x 1 4 проводят перпендикулярно h и f.
54 Для преобразования прямой общего положения в проецирующую необходимо произвести две последовательные замены плоскостей проекций. В 2 А 2 x x 1 4 П 2 П 1 П 4 А 1 В 1 н. в. В 4 П 4 x 4 5 А 5 (В 5) П 5
Задача 3. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей. 55 B 2 A 2 x h 2 П 2 C 2 П 1 C 4 A 4 f 4 h 1 A 1 a B 1 П 4 x 14 B 4 Для этого в плоскости ABC проведена горизонталь h. Новая плоскость проекций П 4 расположена перпендикулярно П 1. Горизонталь на поле П 4 изобразится точкой, а вся плоскость прямой линией C 4 A 4 B 4 с углом a, который определяет угол наклона плоскости ABC к плоскости П 1.
Задача 3. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей. B 4 B 2 b f 2 A 2 П 2 x П 1 56 _ A 4 _ f 4 C 2 П 4 x 14 B 1 f 1 A 1 C 1 Построив изображение плоскости в системе П 2/П 4, где П 4 расположена перпендикулярно фронтали f (рис. б) плоскости, можно определить угол b наклона ABC к плоскости П 2.
Задача 4. Преобразовать чертеж так, чтобы проецирующая плоскость в новой 57 системе плоскостей проекций заняла положение плоскости уровня. B 4 = н. в. A 4 C 4 A 2 B 2 x C 2 П 4 x П 2 14 П 1 A 1 C 1 B 1 Решение этой задачи позволяет определять натуральные величины плоских фигур и углов. Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтально проецирующим , то новое изображение строят в системе П 2/П 4, а если горизонтально проецирующем то в системе П 1/П 4.
Задача 4. Преобразовать чертеж так, чтобы проецирующая плоскость в новой 58 системе плоскостей проекций заняла положение плоскости уровня. B 2 A 2 x C 2 П 1 A 1 C 1 B 1 П 1 x 14 П 1 C 4 A 4 = н. в. B 4 Если исходное положение плоскости горизонтально проецирующем то в системе П 1/П 4.
Если плоскость занимает общее положение, то для определения её натуральной величины необходимо произвести две последовательные замены плоскостей проекций. B 2 A 2 x А 5 C 2 П 1 A 1 C 5 н. в. C 1 C 4 B 1 A 4 B 1 П 4 x 14 П 5 B 4 П 4 x 45 58
Определение расстояния от точки К до плоскости ∆АВС. Проекция К 1 N 1 параллельна оси х14 Расстояния измеряются и откладываются от точек до осей. B 2 K 2 N 2 A 2 x П 2 П 1 A C 2 К 1 C 5 1 C 1 N 1 B 1 K 4 C 4 . A 4 П 1 П 4 x 14 N 4 в н. B 4 59
Определение расстояния от точки К до плоскости ∆АВС. Проекция К 1 N 1 параллельна оси х14 Расстояния измеряются и откладываются от точек до осей. B 2 K 2 N 2 A 2 x П 2 П 1 A C 2 К 1 C 5 1 C 1 N 1 B 1 K 4 C 4 . A 4 П 1 П 4 x 14 N 4 в н. B 4 59
4. 2. Способ вращения вокруг проецирующей оси 59 Сущность этого способа заключается в том, что система плоскостей проекций V/H остается неподвижной, а положение геометрических элементов меняется путем вращения вокруг одной или двух выбранных осей до нужного положения в данной системе. Этим способом решаются задачи на определение: натуральной величины отрезков и углов их наклона к плоскостям проекций V, H или W; для проведения прямой и плоскости под заданными углами; для совмещения оригиналов. V i" A" Вращение точки i A"1 A g A 1 A' i' H A'1 Точка A, вращаясь вокруг горизонтально проецирующей оси i, опишет окружность, плоскость которой g перпендикулярна i и параллельна H. На плоскость H эта окружность проецируется без искажения, а на плоскость V - в виде отрезка прямой, параллельной оси x. Центр окружности расположен в точке пересечения оси вращения i с плоскостью g, а величина радиуса определится как расстояние от точки A до оси i.
51 Если ось вращения горизонтально проецирующая прямая, то точка A вращается в горизонтальной плоскости уровня g. Ее горизонтальная проекция A' будет перемещаться по окружности, а фронтальная A" - по прямой, перпендикулярной линиям связи (рис. а). i" A" A"1 g" A"1 A" a i" i' a A' A'1 а) A'1 i' A' b' б) Наоборот, если ось вращения фронтально проецирующая прямая, то точка A вращается во фронтальной плоскости уровня b. На чертеже горизонтальная проекция A' перемещается по прямой, перпендикулярной линиям связи, а фронтальная A" - по окружности (рис. б). Через A 1 обозначено новое положение точки A, которое она занимает после поворота на угол a.
52 Вращение прямой линии Чтобы построить проекции отрезка AB, повернутого вокруг оси i на угол j, необходимо повернуть две его точки на заданный угол. При построении новых горизонтальных проекций A'1 и B'1 необходимо выполнить условие, что угол A' i ' A'1 равен углу B' i ' B'1 и расстояние между горизонтальными проекциями точек A и B при их повороте остается неизменным. i" B" A" B" 1 A"1 g" Фронтальные проекции A"1 и B"1 точек A и B перемещаются по прямым, перпендикулярным линиям связи, которые являются фронтальными проекциями плоскостей вращения g и b. При вращении вокруг горизонтально проецирующей оси треугольник A'i ' B' конгруэнтен треугольнику A'1 i ' B'1, следовательно конгруэнтны их высоты i ' C ' и i ' C '1. b" A' 1 1' B' 1'1 j j A' i' B'1
Решение четырех основных задач способом вращения вокруг проецирующей прямой 53 Задача 1. Преобразовать чертеж так, чтобы прямая общего положения оказалась параллельной одной из плоскостей проекций. Если прямая параллельна плоскости проекций V или H, то одна из ее проекций должна быть параллельна оси x или перпендикулярна линиям B" B" 1 g" связи. На рисунке за ось вращения i взята горизонтально проецирующая прямая, проходящая a" " i через точку A. Точка A при вращении прямой a a" 1 остается неподвижной, а другая ее точка B вращается в горизонтальной плоскости уровня g. j Ее горизонтальная проекция B' опишет дугу A" окружности, а угол поворота точки B определяется условием перпендикулярности новой проекции a'1 прямой a к линиям связи. B'1 a'1 В результате такого поворота на плоскость V в _ ' A' _ i натуральную величину проецируется отрезок AB a' и угол j, который прямая a составляет с плоскостью H. Итак, одним поворотом вокруг проецирующей оси прямую общего положения B' можно расположить параллельно одной из плоскостей проекций.
Задача 2. Преобразовать чертеж так, чтобы прямая уровня оказалась перпендикулярной одной из плоскостей проекций. B" 1 B" a" a" 1 _ A" _ i " a' B' _ _ A' _ B'1 _ a'1 i' 54 На рисинке прямая a задана фронталью, т. е. пераллельной плоскости V, поэтому за ось вращения необходимо взять фронтально проецирующую прямую i, проходящую через точку A. Вращается точка B прямой a. Ее фронтальная проекция B" описывает дугу окружности, а горизонтальная B' перемещается по прямой. В итоге фронтальная проекция a 1" оказалась вертикальной, а горизонтальная a 1' - точкой. Сама же прямая a 1 заняла положение горизонтально проецирующей прямой (перпендикулярной плоскости H).
Задача 3. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положенияя после поворота стала проецирующей. g" B" 1 B" i '' h" A" b" C" 1 1" a C" B' _ A' _ i ' h' h'1 1'1 C '1 B'1 1' C' 55 Для решения этой задачи в плоскости ABC нужно провести горизонталь или фронталь которую одним поворотом сделать проецирующей прямой. В плоскости ABC проведена ее горизонталь A 1, которая вращением вокруг горизонтально проецирующей прямой i приведена в положение A 11 перпендикулярное плоскости проекций V. Вслед за ней на тот же угол следует повернуть вершины B и C данной плоскости ABC. Новая фронтальная проекция A"C 1" B 1" треугольника представляет собой прямую линию, угол наклона которой a равен углу наклона плоскости ABC к плоскости H.
Задача 4. Преобразовать чертеж так, чтобы проецирующая плоскость в результате вращения заняла положение плоскости уровня. B" C" C" 1 B" 1 l' d' _ A" _ i '' C '1 C' = н. в. B' B'1 A' i' 50 Известно, что отличительным признаком такой плоскости на эпюре является то, что ее линейная проекция параллельная оси x на плоскость, к которой она перпендикулярна. Это и определяет угол поворота точек плоскости ABC. Чтобы заданную фронтально проецирующую плоскость ABC повернуть до плоскости уровня, необходимо за ось вращения выбрать фронтально проецирующую прямую i и проходящую, например, через вершину A. Фронтальные проекции точек B и C будут перемещаться по концентрическим дугам окружностей с центром в точке i ", а горизонтальные их проекции C' и B' - по прямым линиям, перпендикулярным линиям связи, которые являются прекциями плоскостей вращения точек: l (l') точки C, а d (d ') - точки B. Горизонтальная проекция A'B 1'C 1' треугольника определяет его натуральную величину.
57 Решение задачи на определение натуральной величины плоскости общего положения. Эта задача решается в два этапа: 1) вращением вокруг первой горизонтально проецирующей оси i плоскость ABC преобразуется во фронтально проецирующую AB 1 C 1; 2) вращением вокруг второй фронтально проецирующей оси i 2 проецирующая плоскость преобразуется в горизонтальную плоскость уровня C 1 A 2 B 2. B" B" 1 g " '' i A" _ C" _ i 2'' 1 b" B" 2 l' d' B'2 A" 2 h" h'1 1'1 C '1 i' 2 C" B' _ A' _ i ' = н. в. 1" h' B'1 1' C' Можно сделать вывод, что при вращении плоской фигуры вокруг проецирующей оси, проекция ее на плоскость, к которой ось вращения перпендикулярна, не изменяется по величине, так как не изменяется наклон плоской фигуры к этой плоскости проекций, а меняется только положение этой проекции относительно линий связи. Вторая же проекция на плоскости, параллельной оси вращения, изменяется и по форме и по величине.
Скачать презентацию НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть 1 Изображение точек прямых и
Н.Г. презентация.pptx