Скачать презентацию Начала стереометрии Аксиомы стереометрии Автор Календарева Н Е Скачать презентацию Начала стереометрии Аксиомы стереометрии Автор Календарева Н Е

Аксиомы стереометрии.pptx

  • Количество слайдов: 23

Начала стереометрии Аксиомы стереометрии Автор Календарева Н. Е. © 2011 г. Начала стереометрии Аксиомы стереометрии Автор Календарева Н. Е. © 2011 г.

План 1. 2. 3. 4. Что такое стереометрия Плоскость и ее изображение Аксиомы стереометрии План 1. 2. 3. 4. Что такое стереометрия Плоскость и ее изображение Аксиомы стереометрии Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку 5. Пересечение прямой с плоскостью 6. Существование плоскости, проходящий через три данные точки 7. Решение задач

Стереометрия Раздел математики, посвященный изучению фигур в пространстве, называется стереометрией. Слово «стереометрия» происходит от Стереометрия Раздел математики, посвященный изучению фигур в пространстве, называется стереометрией. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять. Наиболее известные пространственные фигуры – это куб, параллелепипед, пирамида, призма, конус, шар и сфера, цилиндр.

Основные объекты Основными объектами стереометрии являются точки, прямые, плоскости и пространство. В планиметрии мы Основные объекты Основными объектами стереометрии являются точки, прямые, плоскости и пространство. В планиметрии мы изучали точки и прямые. Существовала своя система аксиом и теоремы, «строящиеся» на системе аксиом и определений. В стереометрии будем активно изучать плоскости. 10. 02. 2018

Плоскость Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру Плоскость Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны. 10. 02. 2018

Плоскость Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ и т. д. Точки А и Плоскость Плоскости обозначаются греческими буквами α, β, γ и т. д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β, 10. 02. 2018

Основные понятия В каждой плоскости пространства выполняются все утверждения планиметрии (повторить). Каждая плоскость делит Основные понятия В каждой плоскости пространства выполняются все утверждения планиметрии (повторить). Каждая плоскость делит множество не принадлежащих ей точек пространства на две части, называемых полупространствами. А ограничивающая плоскость называется границей полупространства. 10. 02. 2018

Аксиомы стереометрии (по Погорелову) С 1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие Аксиомы стереометрии (по Погорелову) С 1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки не принадлежащие ей. С 2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. С 3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только 10. 02. 2018 одну.

Иллюстрация 10. 02. 2018 Иллюстрация 10. 02. 2018

Основные теоремы. Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку Теорема 1. Через Основные теоремы. Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. 10. 02. 2018

Доказательство теоремы1 α B C A 10. 02. 2018 Доказательство теоремы1 α B C A 10. 02. 2018

Задача Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости. 10. 02. 2018 Задача Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости. 10. 02. 2018

Пересечение прямой с плоскостью Теорема 2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся Пересечение прямой с плоскостью Теорема 2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. 10. 02. 2018

Из теоремы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она Из теоремы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. а Если прямая и плоскость имеют одну общую А точку, то говорят, что α они пересекаются. 10. 02. 2018

Следствие. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в Следствие. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке. α 10. 02. 2018

Задача Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие Задача Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке А. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые и не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости. a α 10. 02. 2018 b M А N

Существование плоскости, проходящий через три данные точки Теорема 3. Через три точки, не лежащие Существование плоскости, проходящий через три данные точки Теорема 3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. α В A 10. 02. 2018 С

Задачи 1. Сколько плоскостей можно провести через данную прямую? 2. Сколько плоскостей можно провести Задачи 1. Сколько плоскостей можно провести через данную прямую? 2. Сколько плоскостей можно провести через данную прямую и точку, не лежащую на ней? 3. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной прямой?

4. Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости, то 4. Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат в одной плоскости, то прямые AC и BD также не лежат в одной плоскости. 5. Пусть точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Сколько можно провести различных плоскостей, каждая из которых содержит по три точки из этих четырех?

Выводы: чем определяется плоскость 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, Выводы: чем определяется плоскость 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. 10. 02. 2018

2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и притом только одна. 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и притом только одна. 3. Прямая и точка, не лежащая на ней, определяют плоскость и притом только одну. 4. Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну. 10. 02. 2018

Домашнее задание 1. Прочитать и запомнить аксиомы стереометрии и выводы. 2. Рекомендуемый учебник: Геометрия, Домашнее задание 1. Прочитать и запомнить аксиомы стереометрии и выводы. 2. Рекомендуемый учебник: Геометрия, 7 – 11, под ред. Погорелова 10. 02. 2018