Начала комбинаторики и теории вероятностей События Вероятности Комбинаторика
Понятие события Событием называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. События обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т. д. Примерами событий являются: w A – выпадение герба при бросании монеты; w B – попадание в цель при выстреле; w C – появление туза при вынимании карты из колоды.
Классическое определение вероятности. Вероятность события – это численная мера степени объективной возможности этого события. Вероятность события A обозначается через P(A) и определяется как отношение числа благоприятных случаев m к общему числу случаев: или - в процентах
Примеры: № 1: Если стрелок при заданных условиях стрельбы из 100 выстрелов попадает в цель 92 раза, то вероятность попадания в цель для него равна 0, 92 или 92%. На самом деле, в каждой серии из 100 выстрелов попаданий может получиться немного больше или меньше, чем 92, но в среднем их будет примерно 92.
Примеры: № 2: Какова вероятность того, что случайно вытащенная карта из колоды окажется тузом? Решение. В данном испытании количество элементарных исходов n=36 (возможность вытащить любую карту из колоды одинакова и все эти события образуют полную группу). Число благоприятных исходов соответствует числу тузов m=4. Следовательно, вероятность вытащить туза P(A) = m/n = 4/36 = 1/9.
Примеры: № 3: В урне находятся 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым. Решение: n = 2+3 = 5 - количество элементарных исходов m = 2 - число благоприятных исходов Следовательно: P(A) = = 0, 4 = 40 %
Примеры: № 4: Найти вероятность выпадения числа очков большего 4 при бросании игрального кубика. Решение. При бросании кубика события, составляющие в выпадении числа очков 1, 2, 3, 4, 5 и 6, являются элементарными исходами. Число благоприятствующих событий 2 (выпадение 5 или 6 очков). Значит, вероятность того, что выпадает число больше 4: P(A) = 2/6 = 1/3.
События и испытания 1. 2. 3. 4. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Невозможным называют событие, которое не может произойти, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Событие называют случайным, если оно может произойти, а может и не произойти при определенной совокупности условий. Испытанием называют выполнение определенной совокупности условий, при которых происходит или не происходит событие. Таким образом, событие является результатом (исходом) испытания.
Свойства вероятности случайных событий. 1. 2. 3. Вероятность любого события больше либо равна нулю и меньше либо равна единице: Вероятность достоверного события равна единице. P(D)=1, где D – достоверное событие. Вероятность невозможного события равна нулю. P(N)=0, где N – невозможное событие. Если P(A) = , то событие А наступает примерно в половине всех случаев.
Пример: В некотором городе в течение первого квартала родились: в январе – 145 мальчиков и 135 девочек, в феврале – 142 мальчика и 136 девочек, в марте – 152 мальчика и 140 девочек. Как велика вероятность рождения мальчика? Решение: Соответствующие вероятности вычисляются следующим образом: в январе: 0, 518 = 51, 8 %, в феврале: 0, 511 = 51, 1 %, в марте: 0, 520 = 52, 0 %. Среднее арифметическое вероятностей за эти месяцы близко к числу (0, 518+0, 511+0, 52)/3 = 0, 516 = 51, 6%
Элементы комбинаторики Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т. к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.
Правило суммы для выбора 2 объектов. Если объект А можно выбрать n способами, а объект В – другими m способами, то выбор «или А, или В» можно осуществить n+m способами. При использовании правила суммы необходимо осознавать, что множество способов выбора объекта А и множество способов выбора объекта В не должно иметь общей части, в противном случае из суммы n+m нужно вычесть величину общей части множеств А и В.
Пример: Преступник может проникнуть в квартиру либо через входную дверь, либо через окно. Число способов проникновения через дверь – 4, через окно – 3. Сколько всего существует способов проникновения в квартиру? Решение. Так как способы проникновения в квартиру через окно и через дверь различны, то мы можем воспользоваться правилом суммы. Тогда количество способов проникновения либо через окно, либо через дверь, т. е. количество различных способов проникновения в квартиру, будет равно 4+3=7.
Правило суммы для выбора m объектов Если объект А 1 можно выбрать n 1 способами, объект А 2 другими n 2 способами, объект A 3 отличными от первых двух n 3 способами, и т. д. , объект Am - nm способами, отличными от первых (m-1), то выбор одного из объектов: или объекта А 1, или объекта А 2 , …, или объекта Am можно осуществить n 1 + n 2 +…+ nm способами.
Правило произведения для выбора 2 объектов Если объект А можно выбрать n способами и после этого действия объект В можно выбрать другими m способами, то выбор пары объектов (А, В) можно осуществить n*m способами.
Пример: Во взводе 25 курсантов. Сколько существует способов назначения командира взвода и его заместителя. Решение. При выборе командира взвода число способов выбора равно 25, так каждый курсант может быть назначен на эту должность. После этого остается 24 курсанта, из которых может быть назначен заместитель командира взвода. Т. е. число способов назначения заместителя командира – 24. По правилу произведения количество способов назначения пары курсантов на указанные должности 25*24= 600.
Правило произведения для выбора m объектов Если объект A 1 можно выбрать n 1 способами, после каждого такого выбора объект A 2 можно выбрать другими n 2 способами, после этого объект A 3 можно выбрать n 3 способами, и т. д. , после выбора каждого из (m-1) объектов - Am-й может быть выбран nm способами, то выбор всех элементов (A 1, A 2, …, Am) в указанном порядке можно осуществить n 1* n 2*…*nm способами.
Пример: Цифровой кодовый замок состоит из 4 дисков, на каждом из которых нанесены цифры от 0 до 9. Сколько времени необходимо злоумышленнику для перебора всех комбинаций замка, если на одну комбинацию он тратит 2 секунды. Решение. При кодировании и открывании замка каждую цифру можно выбрать 10 способами. Всего цифр - 4, причем в комбинации важен порядок расположения цифр. Значит, по правилу произведения общее число комбинаций равно 10*10*10*10=10000. Таким образом, для перебора всех комбинаций необходимо потратить 2*10000=20000 секунд или 5 часов 33 минуты и 20 секунд непрерывной работы. Найденное время необходимо для перебора всех комбинаций. Но нужная комбинация может быть не последней.
Задания: № 1: 3 белых и 7 черных шаров перемешаны и распределены по двум урнам поровну (т. е. по 5 в каждую). Из любой урны (из первой либо из второй) наугад выбирают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым. Решение: n = 5+5 = 10 – всего шаров, m = 3 – белых шаров, P = = 0, 3 = 30 %
Задания: № 2: 3 белых и 7 черных шаров перемешаны и распределены по двум урнам поровну (т. е. по 5 в каждую). Случайным образом сначала выбирают 1 шар из первой урны, а затем – 1 шар из второй урны. Определить общее количество возможных вариантов упорядоченных пар шаров. Решение: Согласно правилу произведения, n = 5 5 = 25.
Перестановки. Возьмём n различных элементов: a 1 , a 2 , a 3 , …, an . Будем переставлять их всеми возможными способами, сохраняя их количество и меняя лишь порядок их расположения. Каждая из полученных таким образом комбинаций называется перестановкой. Общее количество перестановок из n элементов обозначается Pn. Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n : Символ n! (называется факториал) - сокращённая запись произведения: 1 · 2 · 3 · … · ( n – 1 ) · n. Например: 1!=1, 2!=1 2, 3!=1 2 3=6, 4!=1 2 3 4=24, 5!=1 2 3 4 5=120, 6!=1 2 3 4 5 6=720
Примеры № 1: Найти число перестановок из трёх элементов: a, b, c. Решение: В соответствии с приведенной формулой: P 3 = 1 · 2 · 3 = 6. Действительно, получается 6 перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Примеры: № 2: Какова вероятность получить слово «юрист» , переставляя в случайном порядке буквы этого слова? Решение: n = 5! = 1 2 3 4 5 = 120 – количество сочетаний, m = 1 – правильный вариант, P = =
Размещения Будем составлять группы из m различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, располагая эти m взятых элементов в различном порядке. Полученные комбинации называются размещениями из n элементов по k. Из определения вытекает, что . Число всех размещений из n по k элементов обозначается символом . (Читается: «число размещений из n по k» ). Число размещений из n по k элементов определяется следующей формулой:
Пример: № 1: Сколько существует различных цифровых номеров автомашин, цифры которых не повторяются? Решение. Если цифры номера машины не повторяются, то количество комбинаций номеров равно числу размещений из 10 (общее количество цифр) по 3 (количество цифр в номере автомашины), т. е. равно
Пример: № 2: Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами это можно сделать? Решение. Искомое число способов равно числу 4 -элементных упорядоченных подмножеств из 8 элементов, т. е. Если известно, что последний экзамен будет сдаваться на восьмой день, то число способов равно
Сочетания Будем составлять группы из k различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, не принимая во внимание порядок расположения этих k элементов. Тогда мы получим сочетания из n элементов по k. Из определения вытекает, что Например, для четырехэлементного множество a, b, c, d сочетаниями из 4 элементов по 3 элемента являются подмножества: abc, abd, acd, bcd. Число всех сочетаний из n по k элементов (читается: «число сочетаний из n по k» ) обозначается специальным символом и определяется следующей формулой:
Примеры: № 1: Сколько различных нарядов, состоящих из 7 курсантов, можно составить из взвода численностью 20 курсантов? Решение. Количество различных нарядов равно числу сочетаний из 20 по 7 - . По формуле получим Итак, количество различных нарядов равно 77520.
Примеры: № 2: Сколько поединков по борьбе должны быть проведены между 15 спортсменами, если каждый из них должен встретиться с каждым. Решение. Должно состояться столько поединков, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 15 элементов, т. е. их число равно . Получаем Итак, при встрече каждого из 15 спортсменов с каждым должно состояться 105 поединков.
Скачать презентацию Начала комбинаторики и теории вероятностей События Вероятности Комбинаторика
Начала комбинаторики и теории вероятностей.ppt