НАЧАЛА ДИНАМИКИ. КРАТКИЙ ОБЗОР ОСНОВ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Типы сред • Под действием приложенных сил в горной породе происходит изменение взаимного положения частиц породы — деформация среды. Это приводит к возникновению внутренних сил — напряжений, которыми уравновешивается действие внешних сил. Если после окончания действия внешних сил тело мгновенно восстанавливает свое прежнее состояние и форму, и напряжения исчезают, то оно называется абсолютно или идеально упругим. Такие изменения размеров и формы называются упругими деформациями. Если после прекращения воздействия внешних сил тело восстанавливает старую форму постепенно или не восстанавливает исходное состояние, то оно называется пластическим или неабсолютно упругим, при этом часть энергии переходит в тепло, часть остается в теле. Здесь имеет место явление поглощения упругих волн. • В горных породах под действием нагрузок происходят как упругие, так и неупругие деформации. Преобладание тех или иных определяется рядом причин, из которых решающими являются величина действующей силы и свойства самой породы. Если исключить из рассмотрения некоторые образования, например сухой песок, и рассматривать область, где силы, воздействующие на породы, малы по величине, то горные породы ведут себя как упругое тело. Поэтому возникающие в породах колебания можно рассматривать как колебания в упругой среде.
Типы сред • Непрерывные упругие среды: изотропные и анизотропные. Реальная упругая среда устроена дискретно (состоит из атомов и молекул). Но, допущением теории упругости является непрерывность. Например, функция плотности (x, y, z) – в математике задается как кусочно-непрерывная функция. • Изотропные среды – такие среды, свойства которых не зависят от направления, в которых мы измеряем эти свойства. • Изотропные тела делятся на однородные и неоднородные, в свою очередь, анизотропные тела тоже делятся на однородные и неоднородные.
Типы сред Однородное тело – тело, в котором любая часть устроена так же, как и любая другая, иными словами, ai(x, y, z)=a. Неоднородное тело – это тело, в котором свойства зависят от координат ai =ai(x, y, z).
Типы сред В теории упругости исходят из нескольких основных допущений и положений. Принимается, в частности, что: 1) материал, слагающий упругое тело, является сплошным, заполняющим все занимаемое пространство без разрывов, т. е. игнорируется молекулярное и атомистическое строение вещества и реализуется макроскопический подход к среде; 2) материал является идеально упругим; в нем не происходит поглощения энергии при нагрузке или разгрузке; 3) существует пропорциональность между деформацией и напряжением. Обычно ограничиваются рассмотрением однородной и изотропной среды. Рассмотрение распространения сейсмических колебаний в горных породах с позиций теории упругости объясняется не только сходством горных пород с упругим телом при малых воздействиях, но и сложностью и недостаточной разработанностью вопроса о распространении таких колебаний в реальных средах.
Напряжение • Рассмотрим тело, подвергающееся воздействию внешних сил и находящееся в равновесии. Внешние силы могут быть приложены к поверхности тела — в этом случае говорят о поверхностных силах, или к каждому элементу объема тела — объемные силы. Примером первых может служить давление газов или твердых тел, соприкасающихся с телом, примером вторых — сила тяжести, центробежная сила. • Действие внешних сил для тела, находящегося в равновесии, уравновешивается силами внутреннего притяжения (отталкивания). Это порождает в теле внутреннее напряженное состояние, представляющее собой реакцию тела на действующие силы.
Напряжение Чтобы оценить напряженное состояние тела, возьмём на некоторой внутренней поверхности S элементарную площадку d. S с нормалью . В некоторой точке на площадке действует сила . Отношение называется вектором напряжения на площадке d. S. Вектор может быть ориентирован по-разному относительно площадки и имеет размерность Таким образом, индекс n у вектора напряжения указывает только на ориентировку площадки, на которую действует данный вектор, но не на ориентировку самого вектора
Напряжение На рисунке: напряжения и их составляющие на площадках, перпендикулярных координатным осям. Вектор можно разложить на три составляющие по координатным направлениям. В декартовой системе координат скалярные составляющие обозначим pnx, pny, pnz. Первый индекс указывает направление нормали к площадке, на которой действует вектор р, а второй показывает, по какой оси взята составляющая. В теории упругости важное значение имеют напряжения, действующие на площадках, перпендикулярных к координатным осям. Мысленно вырежем малый параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям. На каждой из трех его граней, видимых на рисунке, будут действовать разные векторы напряжений . Каждый из этих векторов можно разложить на три составляющие. Для вектора , действующего на площадке, перпендикулярной к оси x, будем иметь составляющие рхх, рху, pxz, для — соответственно рух, руy, руz, для — рzх, рzy, рzz.
Напряжение Составляющие рхх, руу и pzz — нормальные напряжения. Они перпендикулярны к соответствующим площадкам. Обозначим их следующими символами: рхх= xx, рyy= yy, рzz= zz. Когда сила действует по касательной к элементу поверхности, напряжение является сдвиговым (касательным, тангенциальным), и обозначается: рхy= xy, рyх= yx, рхz= xz, рzх= zx, рyz= yz, рzy= zy. Напряжение xy, действует на поверхность, перпендикулярную оси x, параллельно оси y. Если среда находится в равновесном состоянии xy= yx, xz= zx, yz= zy. Знаки составляющих векторов напряжения зависят от выбора направления координатных осей. Если внешняя нормаль к площадке совпадает с направлением соответствующей координатной оси, то положительные составляющие вектора напряжения соответствуют направлениям координатных осей. Если внешняя нормаль к площадке - имеет направление, противоположное координатной оси, то положительные составляющие вектора напряжения имеют направления, противоположные координатным осям. Положительные нормальные напряжения соответствуют растяжению, отрицательные — сжатию.
Напряжение В общем случае напряжение описывается симметричным тензором второго ранга Давлением называется не зависящая от выбора координатных осей величина
Смещение Если в первоначальном (невозмущенном) состоянии некоторая Векторное поле смещений . частица находилась в точке М и в результате деформации она переместилась в точку М', то смещением частицы называется вектор В прямоугольной декартовой системе координат х, у, z проекции смещения иногда обозначают Ux= U, Uy=V, Uz=W. В общем случае, вектор смещения можно представить в виде Смещение есть функция координат и времени.
Деформации Компоненты удлинения относительные увеличения длины малого элемента по осям x, y, z, и их называют нормальными деформациями Компоненты сдвига величины, на которые уменьшаются (увеличиваются) прямые углы между направлениями, параллельными соответствующим осям координат, т. е. это мера изменения формы тела. Такая деформация называется сдвиговой
Деформации Деформация малого прямоугольника x и y в плоскости (x, y).
Деформации В общем случае деформация описывается симметричным тензором второго ранга
Закон Гука. Связь сейсмических характеристик с составом и состоянием горных пород Для большинства твердых тел при малых деформациях справедлив закон Гука, который утверждает прямую пропорциональность между напряжением и деформацией. При больших деформациях и напряжениях, превышающих предел упругости, закон Гука не справедлив. Среда, подчиняющаяся закону Гука, называется идеальноупругой. • Связь напряжений и деформаций выражается следующими зависимостями: Как можно видеть, каждая компонента тензора напряжений определяется 6 компонентами тензора деформаций. Всего 21 параметр aij определяет упругое тело.
Закон Гука. Связь сейсмических характеристик с составом и состоянием горных пород В случае изотропных сред все упрощается. Упругие свойства изотропной среды определяются двумя константами; обычно употребляют одну из следующих пар констант: 1) константы Ламе и ; - коэффициент сжатия – показывает, насколько изменится объем под действием давления p. Константа - коэффициент сдвига, является мерой сопротивляемости тела действию сдвиговой деформации и также называется жёсткостью; 2) модуль Юнга (модуль растяжения) Е и коэффициент Пуассона (последний представляет собой отношение поперечного сжатия к продольному удлинению при одноосном растяжении); 3) скорости распространения Vp продольных и Vs поперечных волн.
Связь сейсмических характеристик с составом и состоянием горных пород Как известно, сейсмический метод разведки основан на том, что скорость распространения упругих волн зависит от типа породы, ее литологического состава, пористости, трещиноватости, кавернозности, газо- и водонасыщенности, напряженного состояния и возраста. При изучении распространения упругих волн толщу пород можно расчленить на части, отличающиеся друг от друга по их скоростям. Выделенные таким образом части могут соответствовать разным типам пород и различным геологическим телам или указывать на изменение свойств пород одного и того же типа в плане и по глубине. Для разных горных пород отношение скоростей продольных Vp и поперечных Vs волн изменяется следующим образом: для высокопористых газонасыщенных пород (известняки, песчаники и кварцсодержащие) — Vp/Vs= 1, 3 -1, 6; для хорошо сцементированных осадочных, водонефтенасыщенных, магматических и метаморфических пород — Vp/Vs = 1, 5 -2, 0; для рыхлых плохо сцементированных пород (лёссы, пески, суглинки и др. ) — Vp/Vs = 2, 0 -3, 0.
Закон Гука. Связь сейсмических характеристик с составом и состоянием горных пород Для изотропной идеально-упругой среды связь деформаций и напряжений имеет вид: или если расписать по осям: Это верно как для однородных, так и для неоднородных тел.
Закон Гука. Связь сейсмических характеристик с составом и состоянием горных пород Физический смысл - относительное изменение объема под действием нагрузок. Изменения размеров, определяемые нормальными деформациями, при действии на тело напряжений приводят к изменениям объема. Изменение объема в расчете на единичный объем называется дилатацией и обозначается Дилатация определяет сжимаемость упругого материала.
Закон Гука. Связь сейсмических характеристик с составом и состоянием горных пород Для площадки с нормалью , запишем через направляющие косинусы нормали: Для жидкости и газа т. к. сдвиговых компонент нет. В жидкостях и газах напряжение всегда нормально площадке.
Определение модуля Юнга Вырежем параллелепипед из однородного тела. Статический опыт сила – не зависит от Z. Воздействуем вдоль оси Z. Чтобы найти выражения для E и , рассмотрим среду, в которой все напряжения, за исключением zz, равны нулю. Если предположить, что zz положительно (растягивающее напряжение), то под действием этого напряжения размеры, параллельные направлению zz, будут увеличиваться, в то время как размеры, нормальные к zz, будут уменьшаться, это означает, что zz положительно (удлинение в направлении оси Z), a yy и xx отрицательны. Будем измерять xx , yy, zz (тело расширяется при сжатии по оси Z), xx = yy , по закону Гука =F=E =E * zz , где E-модуль Юнга. Модуль Юнга определяется следующим образом: Е= zz/ zz
Определение модуля Юнга Как известно, закон Гука верен для малых деформаций, т. е. пока тело далеко до разрушения, деформации пропорциональны напряжению. Малые деформации – это такие деформации, при которых относительное изменение =10 -4 -10 -5, например = 10 -3 т. е.
Определение модуля Юнга Посмотрим, как связан E c и ? xx= yy=0 Складываем левые и правые части уравнений, получаем
Определение модуля Юнга Отсюда Подставим это выражение в третье уравнение из системы уравнений: получили модуль Юнга
Коэффициент Пуассона По определению коэффициент Пуассона: =- yy/ zz=- xx/ zz, знак минус здесь поставлен для того, чтобы величина была положительной. Значение коэффициента Пуассона можно получить из этого же эксперимента. Исходные данные сложив три уравнения, получаем чему будет равно
Коэффициент Пуассона Учитывая, что относительное сжатие
Коэффициент Пуассона Для жидкостей и газов коэффициент Пуассона модуль Юнга E=0. Для эталонного упругого тела всегда .
Определение коэффициента всестороннего сжатия Иногда вводят модуль всестороннего сжатия (объемный модуль) k. Чтобы получить выражение для k, обратимся к среде, испытывающей действие только гидростатического давления P. Это эквивалентно утверждениям: • Напряжения одинаковы хx= yy= zz=-P; хy= yz= zx=0. • Деформации одинаковы и • Тогда k определяется как отношение давления к дилатации: • знак минус поставлен для того, чтобы k было положительным
Определение коэффициента всестороннего сжатия Подвергаем образец всестороннему равномерному сжатию, под действием которого изменится объем. На практике образец помещаем в жидкость, где P=const и определяем K. Сложим все, получим где K-модуль всестороннего сжатия.
Cвязь между константами разных систем Обращение закона Гука
Связь между константами разных систем Размерности , Е имеют размерность напряжения ; — безразмерно. Cвязь между константами разных систем приведена в таблице.
Связь между константами разных систем Упругие и положительны и, следовательно, меньше единицы, должно принимать значения от 0 до 0, 5; Реальный диапазон значений распространяется от 0, 05 для очень крепких твердых пород примерно до 0, 45 для мягких, слабо консолидированных материалов. Жидкости не оказывают сопротивления сдвигу, и поэтому =0 и =0, 5.
Динамический и Статический модули упругости • Если напряжения прикладываются столь быстро, что ни в одной части тела не происходит сколько-нибудь заметного поглощения или отдачи тепла, то величина Е называется динамическим модулем упругости Ед. Практически под термином «динамический модуль упругости» принято понимать значение Е, вычисленное по значениям скоростей распространения продольной Vp и поперечной Vs волн. • Таким образом, модули делятся на две группы — динамические Ед и статические Ес, положив в основу такого деления скорость, с которой происходит нагружение породы. В динамическом методе напряжения, возникающие в теле или породе, знакопеременны, каждый цикл совершается в течение долей секунды. В статическом методе время одного цикла измеряется минутами и десятками минут.
Динамический и Статический модули упругости • Для идеально-упругих тел величины Eд и Ес постоянны и не зависят от напряжения, а по абсолютной величине Ед превосходит Ес на доли или единицы процентов, что объясняется термодинамическими особенностями процессов деформации. • Реальные горные породы не являются идеально-упругими телами. Для вычисления же модуля упругости в целях простоты на практике используют аппарат линейной теории упругости, что приводит к большой неоднозначности получаемых значении Ес.
Динамический и Статический модули упругости • Одна из причин отличия Eд и Eс – различие условий определения статического и динамического модулей. • Другая причина, обусловливающая различие Ед и Ес, заключается в том, что часто сопоставляются модули Ед и Ес, характеризующие различные по величине объемы породы. Это особенно недопустимо для неоднородных горных пород, где средние свойства какого-либо объема породы в значительной степени зависят от величины этого объема. Отсюда вытекает второе требование, которое необходимо выполнять при сопоставлении величин Ед и Ес, — строгое соблюдение равной масштабности исследований. В случае, когда динамический модуль вычисляют по скоростям упругих волн, требование равной масштабности означает, что при определении скоростей необходимо использовать упругие волны длиной , приблизительно в 2 4 раза большей линейных размеров объема породы, деформируемого в процессе опытов.
Определение упругих параметров горных пород • В соответствии с классической теорией упругости в безграничных изотропных и однородных средах могут распространяться упругие волны двух типов — волны сжатия, или продольные волны, и волны сдвига, или поперечные волны. В таких средах любая упругая постоянная определяется однозначно, если известны две другие независимые упругие постоянные. Роль независимых постоянных в сейсмических методах выполняют скорости распространения упругих волн.
Определение упругих параметров горных пород • Для нахождения численных значений упругих постоянных (параметров), используют следующие соотношения: • где Eд — динамический модуль упругости, — коэффициент Пуассона, Vp, Vs —скорости распространения продольных и поперечных волн, — плотность горной породы.
• Что такое деформация среды и как она связана с напряжением? • Что такое упругие, изотропные и однородные среды? • Что такое смещение? • Для каких сред выполняется закон Гука? • Что такое коэффициенты Ламе? • Как определить модуль Юнга и коэффициент Пуассона из статического опыта?
Скачать презентацию НАЧАЛА ДИНАМИКИ КРАТКИЙ ОБЗОР ОСНОВ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Лекция по сейсморазведке-10.pptx