Начала анализа 1 Основные стандартные функции

Начала анализа • 1. Основные стандартные функции • 2. Числовые последовательности • 3. Предел последовательности • 4. Предел функции • 5. Вычисление пределов функций, последовательностей

1. 1. Функция- определения Отображение f: A B (f: Х Y), y = f (x) – правило, по которому каждому элементу множества Х ставится в соответствие один элемент множества (В , Y) Определение функции, связанное с термином отображение. Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие один элемент y из множества Y, то на множестве X задана функция y = f(x). В функциональном анализе x - независимая переменная, аргумент; множество значений Х называется областью определения функции, ООФ , D ; y - зависимая переменная, значение функции, функция; Множество значений Y – область значений, ОЗФ, , или Е. Третьим множеством, определяющим функцию, является ее график Гf. Функция определена, если заданы ООФ , ОЗФ, Гf.

1. 2. Основные свойства функций 1. 2. 3. 4. 5. Четность (нечетность). Функция называется четной, если f(x) =f(-x) ; нечетной, если f(x) = - f(-x) или общего вида, когда ни одно из вышеприведенных условий не выполняется Периодичность. Функция называется периодичной, когда f(x+T) = f(x) Ограниченность. Функция ограничена на промежутке Х, если существует такое М >0, что abs(f(x)) < = М Монотонность. Функция называется монотонной, если она возрастающая (f(x 2) > f(x 1) при x 2 > x 1) или убывающая (f(x 2) < f(x 1) при x 2 > x 1) Непрерывность. Функция называется непрерывной в точке х0, если: 1. Определена в точке х0 2. Имеет конечный предел при х стремящемся к х 0 3. Этот предел равен значению функции в точке х0

1. 2. 5. Непрерывность функций Непрерывность функции в точке или на интервале- одно из важнейших свойств функций Функция непрерывна в точке x 0, если в этой точке конечны и равны левосторонний и правосторонние пределы и значения функции, f(x 0 – 0) = f(x 0 +0) = f(x 0). Нарушение любого из этих условий приводит к наличию разрыва функции в точке. Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в любой точке интервала Возможны три типа разрыва: 1. Устранимый разрыв 2. Неустранимый разрыв – первого рода второго рода

1. 3. 1. Графики элементарных степенных функций 1. Функция • n нечетное 2. Функция y=x-n 3. Функция n четное

1. 3. 2. Графики показательной и логарифмической функций 1. Показательная функция. Свойства функции зависят от основания a, a<>0 и a<>1. Возможны два случая a>1 и 01 0

3. Графики тригонометрических функций Тригонометрические функции sinx, cosx, tgx, ctgx - периодические, поэтому их достаточно исследовать за один период 2. Функции sinx, cosx определены на всей числовой оси. Область значений [-1, 1]. Функция tgx имеет точки разрыва x= /2+ n, n Z, функция ctgx имеет точки разрыва х= n, n Z. Область значений функций (- , + ).

Арифметическая прогрессия - числовая последовательность a 1, a 2, …an, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d (d - разность арифметической прогрессии). --Натуральный ряд чисел N={1, 2, 3, 4, . } - арифметическая прогрессия с d=1 --Последовательность {8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, . . } - арифметическая прогрессия с d=-2 Из графиков видно, что с увеличением порядкового номера n члены арифметической прогрессии изменяются линейно

Геометрическая прогрессия - последовательность не равных нулю чисел b 1, b 2, …bn, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q, (q - знаменатель геометрической прогрессии). - Возрастающая геометрическая прогрессия, { 5, 10, 20, 40, . . } q=2 - Убывающая геометрическая прогрессия { 0. 1, 0. 001, }, знаменатель q=0. 1 Вывод: с ростом n члены геометрической прогрессии изменяются нелинейно

1. 4. Предел последовательности – величина, к которой с наперед заданной точностью стремятся члены последовательности с ростом n Предел может быть равен -числу -бесконечности - ограниченная последовательность - бесконечно большая последовательность (ББП), бесконечно большая величина (ББВ) -нулю БМП, БМВ (бесконечно малая последовательность, бесконечно малая величина)

1. 4. Предел функции – величина, к которой с любой наперед заданной точностью стремится функция в данном процессе При исследовании функции рассматривают пределы : - на границах области определения, чаще это интервал (- , + ) в точке. Рассматриваются: предел слева от точки ( левосторонний предел ); предел справа от точки (правосторонний предел) ; предел функции в точке Условие непрерывности функции в точке: левосторонний предел конечен, равен правостороннему и равен значению функции в точке

1. Предел на бесконечности равен 1 Y=1 горизонтальная асимптота - 3. Бесконечно большая функция 2. Предел на бесконечности 4. Пределы в точке разрыва второго рода х р = 1 равен нулю. Бесконечно малая величина. Прямая Y=0 – горизонтальная асимптота

1. 5. Основные свойства пределов 1. Предел постоянной величины есть сама постоянная 2. Предел алгебраической суммы величин равен алгебраической сумме пределов этих величин 3. Предел произведения величин равен произведению пределов 4. Предел отношения двух величин равен отношению пределов, при условии, что предел знаменателя отличен от нуля • если 5. Предел сложной функции равен пределу от предела lim f (u (x) ) = lim f (lim (u (x) )

Общее правилу вычисления предела отношения двух многочленов при раскрытии неопределенности В общем виде задачу записывают Здесь n, m - старшие степени при х числителя и знаменателя соответственно Так,

1. 6. Предел сложной функции Сложная функция, функция от функции Y=f(U(x)) Правило вычисления предела: lim f(U(x))= lim f (lim U(x) ) Пример 1. Вычислить = Пример 2. Вычислить =

Замечательные пределы В прикладных задачах радиотехники, физики широкое применение получил первый замечательный предел и его следствия Для анализа доходности по сложной схеме начисления процентов применяется второй замечательный предел Для последовательности Для функции его следствия • Здесь е – константа Эйлера; е = 2. 73

Раздел 2. Элементы дифференциального исчисления • Основные вопросы по теме • 1. Производная. Дифференциал • 2. Методы вычисления производной • 3. Исследование функции – точки экстремума. Точки перегиба • 4. Пример исследования функции

2. 1 Производная функции. Дифференциал Непрерывная функция y=f(x) задана графиком (рис. 1). Отметим на графике точки М 0(х0, y 0) (у=f(x 0)) и М (х0+ х) (f(x 0+ х)). Построим : прямую М 0 К, касательную к графику функции в точке М 0(х0, y 0) и прямую М 0 М, секущую, соединяющую точки М 0 и М. Тангенс угла наклона секущей Если х 0, то и у 0. При этом секущая М 0 М неограниченно приближается к положению М 0 К, к касательной к графику у = f(х) в точке М 0. Угловой коэффициент К касательной получим из предельного перехода

Производная - определение. Производная функции у = f(х)в точке х0 - предел отношения у к х при х ->0 Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к функции в точке Дифференциал функции у=f(x) в точке х0 dy(х), df(х) = f'(x 0) х. Учитывая, что х=dx, то dy=df= f'(x 0) х =f'(x)dx. Геометрический смысл дифференциала - первое линейное приращение функции в точке х0 + х, отрезок KN

1. Необходимое условие существования производной: функция определена и непрерывна в точке (на интервале). Верно и обратное утверждение: если функция дифференцируема в точке х0, то она в этой точке непрерывна Примеры функций, когда необходимое условие в точке х0 не выполняется 2. Достаточное условие существования производной в точке: производная определена и непрерывна в точке (на интервале) Примеры функций, когда достаточное условие не выполняется

Производная и характер графика 1. Монотонно возрастающая функция, Производная положительна 2. Монотонно убывающая функция. Производная отрицательна Неубывающая функция Производная неотрицательна 3. Немонотонная функция. Производная в точках экстремума равна нулю

1. Необходимое условие существования экстремума в точке f'(x) =0. Точки, в которых f'(x)=0 - возможные точками экстремума, называются стационарными (характеристическими) точками. 2. Достаточное условие существования экстремума в точке х0: точка х0 является стационарной и производная f'(x) вокруг точки х0 меняет знак. Правило знаков: - производная вокруг стационарной точки меняет знак с плюса на минус, точка х0 есть точка максимума; - производная меняет знак с минуса на плюс, то точка х 0 - точка минимума. Пример. Функция y=x 3 ; y‘ = 3 x 2. Точка х0=0 – стационарная точка. Вокруг этой точки первая производная y‘ = 3 x 2 не меняет знака, х0=0 не является точкой экстремума • Точка х 0 =0 – не экстремальна

Производные высших порядков Дифференцируемая на интервале (а, Ь) функция имеет первую производную у '= f ' (х), которая является функцией и может быть иметь производную. Производная первой производной называется второй производной, производной второго порядка Производной n-гo порядка функции f(x) называется первая производная от производной (n-1)-го порядка Производная второго порядка у ' ' = f ' ' (х) отвечает за точки перегиба функции

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба График функции выпуклый в интервале [а, Ь], если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале. Для выпуклой функции верно: f"(х)>0 График функции вогнутый на [а, Ь], если он расположен ниже любой своей касательной на [а, Ь]. Для вогнутой функции верно: f"(х)<0 Функции на рис. 10 выпуклая на интервале, парабола у=х2 (рис. 12) выпуклая на всей числовой оси. Функция на рис. 11 – вогнутая на интервале

Точка М 0(х0, f(х0)), лежащая на графике и отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой, называется точкой перегиба функции y=f(x) За выпуклость (вогнутость) функции "отвечает" вторая производная функции y = f(x), f"(х). Точки перегиба следует искать среди тех точек, в которых: - вторая производная у"= f"(х) =0. Это - возможная точка перегиба. - если слева и справа от возможной точки перегиба вторая производная меняет знак – то это точка перегиба. Если f"(х) меняет знак с минуса на плюс- график изменяется от вогнутого на выпуклый, с плюса на минус – от выпуклого на вогнутый

Формулы и правила дифференцирования 1. 2. постоянная 3. 4. . 5. 6. Основные правила дифференцирования. • 1. Здесь с -постоянная • 2. • 4. • 5. . Для сложной функции y=f(u(x)), 3.

2. 8 Общее исследование функции • Рекомендуемая схема исследования • 1. Найти область определения функции (ООФ). • 2. Определить точки разрыва функции, интервалы непрерывности и вертикальные асимптоты. • 3. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность. • 4. Исследовать функцию в бесконечности, найти наклонные и горизонтальные асимптоты. • 5. Найти экстремумы функции и интервалы монотонности. • 6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика. • 7. Найти точки пересечения графика с осями координат. • 8. Построить график. • 9. Определить область значений (ОЗФ).

• Пример 1 (продолжение). Исследуемая функция • 7. Точки пересечения функции с осями координат: (3, 0) и (0, 9) • 8. График функции • 9. Область значений (ОЗФ): (- , 0] [8, + )

Раздел 3. Элементы интегрального исчисления • Основные вопросы по теме • 1. Неопределенный интеграл: первообразная, таблица интегралов, методы интегрирования • 2. Определенный интеграл: свойства, вычисление • 3. Задача о площади плоской фигуры

3. 1. Первообразная. Неопределенный интеграл. Прямая задача. Функция F(x) задана и дифференцируема. Требуется определить f(x), которая равна первой производной и дифференциал F, Обратная задача: функция f(x) задана, требуется определить функцию F(x), первообразную функции f(x). Определение. Первообразной заданной функции f(x) называется функция F(x), производная которой равна f(x), , а дифференциал равен Интегрирование - процесс отыскания первообразных. Неопределенный интеграл - семейство первообразных F(x)+c подынтегральная функция подынтегральное выражение, F(x) - первообразная

Так как то Таким образом, если функцию f(x) проинтегрировать, а затем продифференцировать, то получим функцию f(x). Дифференцирование и интегрирование - взаимно обратные операции. Свойства неопределенного интеграла. 1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций, то есть 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,

Таблица основных интегралов, с - константа • 1. • 2. • 3. • 4. • 5. • 6. • 7.

Основные методы вычисления неопределенных интегралов. 1. Введение новой переменной интегрирования. Вводят новую переменную интегрирования t , интеграл сводят к более простому, например, к табличному. Пусть x=φ(t), где φ(t) – непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную. Тогда Пример 1. Вычислить Решение. Введем новую переменную t=1 -3 x. Продифференцируем по х. Тогда dt= -3 dx и Подставим найденные выражения в интеграл и получим

2. Метод интегрирования по частям. Дан интеграл Пусть подынтегральное выражение можно заменить на произведение некоторой функции u(x) на дифференциал другой функции dv(x). Тогда и Это формула интегрирования по частям. Пример. Найти Решение. Пусть Найдем du и v(x) Подставим в формулу интегрирования по частям и получим:

3. Метод интегрирования рациональных функций Рациональная функция ( рациональная дробь) – функция, которая равна частному от деления двух многочленов переменной х. Многочленом называется функция вида Старшая степень n переменной x называется степенью многочлена, а числа a 1, a 2, …an - его коэффициентами Если Pn(x) - многочлен степени n, а Qm(x) - многочлен степени m, то функция называется рациональной функцией или рациональной дробью. «Правильной» рациональной дробью называют рациональную функцию, у которой степень n числителя меньше степени m знаменателя.

Пример 6. Найти Решение. Разобьем интеграл на сумму двух интегралов, из которых первый найдем сразу, а второй вычислим после простых преобразований: Пример 7. Найти Решение. Подынтегральная функция не является правильной дробью. Поступим следующим образом:

Пример 8. Найти Решение. Представим подынтегральную функцию как сумму простейших дробей: Приведем правую часть равенства к общему знаменателю. Получим Равенство должно выполняться при любых значениях переменной x. Так как знаменатели равны, то должны быть равны и числители. Тогда • Теперь интеграл сведется к сумме двух интегралов

Определенный интеграл Здесь a и b - соответственно нижний и верхний пределы интегрирования, f(x) - подынтегральная функция, отрезок [a, b] – область интегрирования. Если функция f(x) - непрерывна на отрезке [a, b], то определенный интеграл существует (достаточное условие). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y= f(x), где f(x)≥ 0 на всем отрезке [a, b], численно равна определенному интегралу. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y= f(x), где f(x) <=0 на всем отрезке [a, b], численно равна определенному интегралу, взятому со знаком минус.

• Основные свойства определенного интеграла • 1. • 2. • 3. • 4. Если интервал интегрирования [a, b] разбит на части [a, c] и [c, b], то

Пример 2. Вычислить Решение. Подынтегральная функция y = x 3 - нечетная, а область интегрирования – отрезок, симметричный относительно начала координат. Из геометрических соображений (рис. 7) такой интеграл будет равен нулю: Если f(x)- функция четная, а отрезок интегрирования [-a, a], то можно вычислить интеграл от 0 до a и полученный результат удвоить: