N-мерные векторы Проф Сагитов Р В Векторы

N-мерные векторы Проф. Сагитов Р. В.

Векторы на плоскости и в пространстве Направленный отрезок или отрезок, у которого опреде лены точка начала и точка конца называется вектором. Векторы, у которых длины равны, а направления совпадают называются равными. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллель ных прямых называются коллинеарными. Векторы, лежащие в одной плоскости называются компланарными Геометрическое представление В ā=АВ А В A E С D

Координатная форма вектора (векторы на плоскости) Геометрическая форма Направленный отрезок (вектор на плоскости) А В Алгебраическая форма у А(х. А; у. А) у. А В(ХВ; у. В) у. В х. А х. В Х АВ=(х. В-х. А; у. В-у. А)= а(ха; уа) ха = х. В-х. А; Уа = у. В-у. А; Вектор-пара чисел

Координатная форма вектора (Векторы в пространстве) Геометрическая форма Направленный отрезок (вектор в пространстве) Алгебраическая форма z A(x. A; y. A; z. A) B(x. B; y. B; z. B) у x. В х. А А в х AB=(x. B-x. A; y. B-y. A; z. A-z. B) = =a(xa; ya; za) Вектор-тройка чисел

Координатная форма N – мерного вектора N-мерным вектором называется упорядоченный набор n чисел А = (а 1 ; а 2 ; … аn); B = (b 1 ; b 2 ; … bn) числа аі и bі называются координатами или компонентами векторов А и В количество этих чисел определяет размерность векторов. A=(1; -2; 5; -4; 3 ); Е 1 =(1; 0; 0); Е 3 = (0; 0; 1; 0; 0) - единичный вектор Θ=(0; 0; 0) – ноль-вектор Вектор можно записать в виде столбца А = Операция замены вектора - строки на вектор – столбец называется транспонированием. (Обозначается А = А ׳ или А = Ат). Очевидно, что (АT)T = А

Действия с векторами (линейные операции) Геометрическое представление 1. Сумма векторов а а b b 2. Умножение вектора на число αA A A α>0 Алгебраическое представление (а 1 ; а 2 ; … аn)+ + (b 1 ; b 2 ; … bn)= =(а 1 +b 1 ; a 2 +b 2 ; …an +bn ) 1. А + В = 2. αА = (αа 1; αа 2 ; …αаn)

Свойства линейных операций 1. A + B = B + A – коммутативный (перестановочный) 2. А + В – С = А + (В - С ) – ассоциативный (сочетательный) 3. α(А + В) = αА + αВ – дистрибутивный (распределительный) 4. (α + β)А =. αА + βА - дистрибутивный

Свойства линейных операций 5. Если А + В = Θ, то А и В противоположные векторы (А = - В) 6. Если для А≠Θ и В≠Θ А = αВ, то А и В коллинеарные и, если А и В коллинеарные, то найдется такое число α, что А = αВ (α ≠ 0). Пространства, в которых определены линейные операции, обладающие такими свойствами называются –линейными векторными пространствами

Скалярное произведение векторов Геометрическое представление a φ b Длиной вектора или модулем называется расстояние от его начала до его конца, обозначается ׀ а. ׀ Скалярным произведением называется число равное аb = ׀ a ׀·׀ b ·׀ cosφ Алгебраическое представление y ya a α xa a = (xa; ya) b=(хb; уb) ׀ a =׀ Cosα= xa/ ׀ a ׀ Cosβ=ya/ ׀ a·b = xa·xb + ya·yb x

Скалярное произведение N- мерных векторов Пусть Х = ( х1; х2; …хn); У = (y 1; y 2; … yn) N - мерные векторы, тогда скалярным произведением называется число ХУ = х1 у1 +х2 у2+…+ хnуn. Сумма попарных произведений соответствующих координат векторов сомножителей

Свойства скалярного произведения 1. АВ = ВА коммутативный (перестановочный) 2. k. AB = (k. A)B = A(k. B) ассоциативный (сочетательный) относительно скалярного сомножителя k. 3. (А + В)С = АС + ВС дистрибутивный (распределительный). 4. Если А ≠ Θ и В ≠ Θ, а АВ = 0, то А┴В ( если на плоскости или в пространстве, то перпендикулярны, если в N –мерном пространстве, то ортогональны)

Длина вектора Замечание: АВС ≠ ВСА – для трех векторов ассоциативность не выполняется А·А =│А││А│cos 0 o= │A│2 ↝ │А│= Ортом вектора называется вектор единичной длины направленный по самому вектору Ао = А/│А│ А Ао

Угол между векторами Геометрическое представление А Алгебраическое представление A = (а 1, а 2, …, аn) B = (b 1, , b 2, …, bn) φ a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+ anbn В Cosφ = √ a 12+…an 2 √b 12+…bn 2 AB Cos φ = │A││B│ Пространство в котором определено скалярное произведение векторов называется метрическим пространством, в нем введена метрика (расстояние между точками)

Экономический смысл скалярного произведения В экономическом смысле, если интерпретировать вектор P как вектор цен, а вектор Q как вектор объёмов продуктов, то скалярное произведение этих векторов означает суммарные затраты на приобретенные продукты. PQ = ∑piqi – суммарные затраты

Системы векторов Совокупность векторов образуют систему. А 1, А 2, …, Аr, …, Аn n штук m-мерных векторовстолбцов Аj = 1, 2, …, n. Пусть k 1, k 2, …, kr, …, kn n чисел, тогда Определение: выражение вида k 1 А 1+ k 2 А 2+…+ kr. Аr+…+ kn. Аn - называется линейной комбинацией векторов А 1, А 2, …, Аr, …, Аn с коэффициентами k 1, k 2, …, kr, …, kn.

Примеры линейных комбинаций векторов

Векторная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система линейных уравнений Обозначим столбцы коэффициентов через векторы Аj j=1, 2, …, n, а столбец свободных членов через вектор В

Векторная форма записи системы линейных уравнений Если векторы Аj умножить соответственно на переменные хj (j=1, 2, …, n), то получится линейная комбинация векторов равная вектору В А 1 х1 + А 2 х2 +…+ Аn хn = В или ∑Аjxj = B Это векторная форма записи системы линейных уравнений

Системы векторов : линейная зависимость и линейная независимость системы векторов Рассмотрим линейную комбинацию векторов и приравняем ее к ноль-вектору k 1 А 1+ k 2 А 2+…+ kr. Аr+…+ kn. Аn = Θ это однородная система линейных уравнений. Она имеет или только нулевое решение или существует и ненулевое. Определение: Если система имеет только нулевое решение, то векторы линейно независимые. Если найдется ненулевое решение, то линейно зависимые

Свойства понятий линейная зависимость и линейная независимость системы векторов 1. Если часть системы векторов линейно зависимая, то и вся система векторов линейно зависимая. 2. Если система векторов линейно независимая, то любая ее часть векторов тоже линейно независимая. 3. Для того чтобы система векторов была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы какой – либо вектор раскладывался по остальным векторам. 4. Если число векторов n, входящих в систему больше чем размерность векторов m (n > m), то система векторов линейно зависимая.

Базис системы векторов Определение: базисом системы векторов называется такая ее часть, которая линейно независимая и по которой может быть разложен любой вектор системы.

Свойства базиса системы векторов Теорема 1. Каждый вектор системы раскладывается по базису системы единственным образом. Теорема 2. Если система содержит систему единичных векторов, то они образуют базис этой системы

Алгоритм построения базиса в системе векторов Алгебраическое представление Геометрическое представление (векторы на плоскости) у 2 j О(0; 0) А(3; 2) i = (1, 0) a = 3· a i 3 x a = (3, 2) ОА = a = 3 i + 2 j j = (0, 1)

Алгоритм построения базиса в системе векторов Если система содержит единичные векторы, то они и образуют базис. Е 1 = (1, 0, 0) А = (3, -2, 4, -1, 0) Е 2 = (0, 1, 0, 0, 0) А = 3 Е 1 - 2 Е 2+4 Е 3 – 1 Е 4+0 Е 5 Е 3 = (0, 0, 1, 0, 0) Е 4 = (0, 0, 0, 1, 0) Е 5 = (0, 0, 1)

Алгоритм построения базиса в системе векторов Определение: две системы векторов А 1, А 2, …, Аr , …, Аn и В 1, В 2, …, Вr, …, Вn называются равносильными, если равносильны системы линейных уравнений А 1 х1 +А 2 х2 +…+ Аr хr +…+ Аnхn = Θ В 1 х1 + В 2 х2 +…+ Вrхr +… + Вnхn = Θ

Алгоритм построения базиса в системе векторов Теорема 3. Пусть системы векторов А 1, А 2, …, Аr , …, Аn и В 1, В 2, …, Вr, …, Вn равносильные, тогда, если векторы А 1, А 2, …, Аr образуют базис в первой системе, то соответствующие им векторы В 1, В 2, …, Вr образуют базис во второй системе.

Алгоритм построения базиса в системе векторов Пусть дана система векторов А 1; А 2; … Аn Составим систему однородных линейны уравнений, соответствующую данной системе векторов: А 1 х1 + А 2 х2 +…+ Аnхn = Θ; Приведем эту систему к равносильной разрешенной системе линейных уравнений Е 1 х1+ Е 2 х2+…+Еrхr+ +А΄r+1 хr+1+…+ А΄nхn = Θ;

Полученные системы линейных однородных уравнений равносильные, поэтому системы векторов А 1; А 2; … Аn и Е 1; Е 2; …Еr ; … А΄r+1; … А΄n тоже равносильны. В соответствии с теоремой 3 т. к. векторы Е 1; Е 2; …Еr образуют базис, то соответствующие векторы А 1; А 2; … Аr в равносильной системе тоже образуют базис. Вектор Аj будет раскладываться по базису А 1; А 2; … Аr с коэффициентами, являющимися компонентами вектора А΄j в разрешенной системе. Пример. Найти базис в системе векторов: А 1 =(1, 2, -1, 4); A 2 =(-1, 1, 2, -3); A 3 =(3, -1, 1, -2); A 4 =(2; 3; 4; -4); A 5 =(-4; 2; 1; -1).

Ранг системы векторов Рангом системы векторов называется число векторов в базисе системы

Теория систем линейных уравнений Запишем систему линейных уравнений в векторном виде А 1 х1 + А 2 х2 +…+Аrхr+…+Аnхn = В Теорема 4 (Кронекера- Капелли) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг системы векторов А 1; А 2; … Аn равен рангу системы векторов А 1; А 2; … Аn; В

Леопольд Кронекер (18231891) немецкий математик Альфредо Капелли (1855 -1910) итальянский математик

Фундаментальная система решений однородной системы уравнений Или в векторном виде А 1 х1 + А 2 х2 +…+ Аnхn = Θ;

Свойства решений однородной системы линейных уравнений 1. Если вектор Λ=(λ 1; λ 2; …; λn) является ненулевым решением однородной системы, то и вектор к·Λ = (кλ 1; кλ 2; …; кλn) тоже ее решение. 2. Если вектора Λ 1 и Λ 2 являются решениями однородной системы, то и сумма Λ 1 + Λ 2 также является ее решением. 3. Если Λ 1; Λ 2; …; Λr являются решением однородной системы, то и любая их линейная комбинация k 1Λ 1+ k 2Λ 2+…+ krΛr тоже решение

Фундаментальная система решений однородной системы уравнений Определение: Фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений называется линейно независимая система векторов -решений F 1; F 2; …; Fk по которой раскладывается любое решение системы Х = t 1 F 1 + t 2 F 2+…+ tk. Fk.

Теорема существования фундаментальной системы решений Теорема 5: Если ранг r системы векторов, соответствующих однородной системе уравнений, меньше, чем число переменных n (r < n), то система имеет фундаментальную систему решений, состоящую из n – r векторов-решений

Пример Найти фундаментальную систему решений однородной системы х1 + х2 -5 х3 - 7 х4 = 0 2 х1 +х2 +4 х3 + х4 = 0 3 х1 +2 х2 –х3 - 6 х4 = 0 Равносильная разрешенная система имеет вид х2 - 14 х3 -15 х4 = 0 х1 + 9 х3 + 8 х4 =0 А 3 = 9 А 1 – 14 А 2 F 1 = (-9, 14, 1, 0) A 4 = 8 A 1 - 15 A 2 F 2 = (-8, 15, 0, 1)

Множество решений неоднородной системы линейных уравнений Теорема 6: Множество решений неоднородной системы Х=К+ имеет вид: , где К частное решение неоднородной системы; Fi – множество векторов-решений фундаментальной системы решений однородной системы; −∞< ti <∞

Геометрические приложения Уравнение линии у r b a (x-a)2 + (y-b)2 = r 2 – окружн. y = ax 2 +bx + c - парабола M(x, y) а>0 D<0 x Определение: уравнение связывающее координаты х и у называется уравнением линии , при соблюдении следующих условий: 1) Координаты каждой точки, лежащей на линии удовлетворяют уравнению, 2) Координаты точки не лежащей на линии не удовлетворяют уравнению

Уравнение прямой, проходящей через две точки у А(х1 у1) В(х 2 у2) х М(х, у) Вектор АВ коллинеарен вектору АМ х-х1 у-у1 х2 -х1 у2 -у1

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору А(хо; уо) n = (а; b)- нормальный вектор M(x, y) вектор АМ ┴ n АМ·n = 0 а(х – хо) + b(у – уо) = 0 или ах + by + c = 0 , где c = - (axo + byo) это общее уравнение прямой.

Линейное неравенство Пусть дано линейное неравенство ах + by + c ≤ 0 y ах + by + c > 0 n=(a, b) ах + by + c < 0 ах x +b y+ c= 0

Определения. Множество точек, координаты которых удовлетворяет неравенству ах + by + c > 0, образуют верхнюю полуплоскость (πв). Множество точек, координаты которых удовлетворяет неравенству ах + by + c < 0, образуют нижнюю полуплоскость (πн). Множество точек, координаты которых удовлетворяет равенству ах + by + c = 0, образуют прямую линию (πо)

Теорема 7 Нормальный вектор прямой n=(а, b) направлен в верхнюю полуплоскость. М(х, у) n=(а, b) Mо(xo; yo) Введем вектор Мо. М он коллинеарен n=(а, b) Мо. М = кn

Уравнение поверхности Определение: уравнение связывающее координаты х, у и z называется уравнением поверхности , при соблюдении следующих условий: • Координаты каждой точки, лежащей на линии удовлетворяют уравнению, • Координаты точки не лежащей на линии не удовлетворяют уравнению

Поверхности и их уравнения 1. Сфера х2 + у2 + z 2 = R 2 2. Эллипсоид

Поверхности и их уравнения 3. Гиперболический параболоид z x y

Уравнение плоскости Написать уравнение плоскости проходящей через данную точку А(хoуozo) перпендикулярно заданному направлению N(a, b, c) A(xo, yo, zo) AM ┴ N(a, b, c) M(x, y, z)

Уравнение плоскости AM ┴ N(a, b, c) АМ=(х-хo; у-уo; z-zo ) а(х – хo ) + b(y – yo ) + c(z – zo ) = 0 ax + by + cz + d = 0

Уравнение плоскости через три точки N=(a, b, c) A 1(x 1, y 1, z 1) A 2(x 2, y 2, z 2) Ao(xo, yo, zo) M(x, y, z)