Н. И. ЛОБАЧЕВСКИЙ, ЕГО ГЕОМЕТРИЯ, ПРЕДШЕСТВЕННИКИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛИ «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать» Г. Галилей
Пятый постулат Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых. ПОЧЕМУ МАТЕМАТИКИ ПЫТАЛИСЬ ДОКАЗАТЬ ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА? ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ ТЕОРЕМОЙ, И ЕСЛИ ДА, ТО КАК ДОКАЗАТЬ ЕГО НА ОСНОВЕ ВВЕДЕННЫХ РАНЕЕ АКСИОМ И ТЕОРЕМ, ПРИЧЕМ, ДОКАЗАННЫХ НЕЗАВИСИМО ОТ ПЯТОГО ПОСТУЛАТА? КАКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПОЛУЧЕНЫ В РЕЗУЛЬТАТЕ ПОПЫТОК РАЗРЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ПЯТОГО ПОСТУЛАТА? КТО ЖЕ НА САМОМ ДЕЛЕ ЯВЛЯЕТСЯ АВТОРОМ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ?
ЕВКЛИД И ЕГО «НАЧАЛА» • Точка есть то, что не имеет частей (Точка есть то, часть чего ничто). • Линия — длина без ширины. • Края же линии — точки. • Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках. • Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. • Края же поверхности — линии. • Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.
Евклид и его «Начала» ПОСТУЛАТЫ 1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую. 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. 4. Все прямые углы равны между собой. 5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых. 1. 2. 3. 4. 5. АКСИОМЫ Равные одному и тому же равны и между собой. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны. И совмещающиеся друг с другом равны между собой. И целое больше части.
ФОРМУЛИРОВКИ, ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ V ПОСТУЛАТУ Эквивалентность означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему. Существует хотя бы один четырёхугольник, у которого все углы прямые. Любую фигуру можно пропорционально увеличить. Существует треугольник сколь угодно большой площади. Прямая, проходящая через точку внутри угла, пересекает по крайней мере одну его сторону. Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую — сближаются. Перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются. Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться. Сумма углов одинакова у всех треугольников. Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым. Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность. Справедлива теорема Пифагора.
ПЕРВЫЕ НАБРОСКИ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ Сочинение Саккери Глубокое исследование V постулата, основанное на совершенно оригинальном принципе, провёл в 1733 году итальянский монахиезуит, преподаватель математики Джироламо Саккери (1667— 1733). Он опубликовал труд под названием «Евклид, очищенный от всех пятен, или же геометрическая попытка установить самые первые начала всей геометрии» . Идея Саккери состояла в том, чтобы заменить V постулат противоположным утверждением, вывести из новой системы аксиом как можно больше следствий, тем самым построив «ложную геометрию» , и найти в этой геометрии противоречия или заведомо неприемлемые положения. Тогда справедливость V постулата будет доказана от противного. Только спустя 150 лет (1889) его соотечественник Бельтрами обнаружил этот забытый труд и оценил его историческое значение.
ПЕРВЫЕ НАБРОСКИ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ Четырехугольник Саккери – четырехугольник BCED : BC = ED, углы при вершинах C и E - прямые. Заметив, что углы при вершинах B и D обязательно равны, Саккери рассмотрел поочередно три гипотезы: верхние углы четырехугольника тупые, прямые и острые. Он доказал, что любая из этих гипотез, если ее принять для какого-нибудь одного такого четырехугольника, остается в силе для всех таких четырехугольников. Саккери намеревался обосновать гипотезу о том, что верхние углы прямые, доказав, что любая другая гипотеза приводит к противоречию. Вскоре он отверг гипотезу о тупом угле (и тем самым лишил себя возможности открыть эллиптическую геометрию), поскольку, как и все геометры до 1854, рассматривал второй постулат как утверждение о том, что прямая имеет бесконечную длину, и отказываться от этого постулата он не хотел. Точно также Саккери в конце концов отверг и гипотезу об остром угле, но прежде, чем принять это ошибочное решение, он, сам того не ведая, открыл многие теоремы геометрии, получившей впоследствии название гиперболической.
РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ПЯТОГО ПОСТУЛАТА Найдено несколько предложений, эквивалентных пятому постулату; v среди аксиом в «Началах» Евклида были найдены «лишние» аксиомы; v было усовершенствовано логическое построение геометрии; v открыта новая неевклидова геометрия, которую теперь называют геометрией Лобачевского v
Открытие неевклидовой геометрии “Две тысячи лет тому назад геометрия Евклида (“Эллинская геометрия”) застыла в своих величавых, прекрасных формах, как зачарованная красавица в народной сказке. Но вот … пришло три витязя: один из немецкой, другой из венгерской, третий из русской земли. Они окропили ее мертвой и живой водой. И геометрия воскресла к новой жизни, нет, к новой мощной эволюции, которая широко развертывается на наших глазах, и в которой она как будто хочет захватить и механику, и физику, и космологию” (В. Ф. Каган)
Открытие неевклидовой геометрии «Существуют истины, настолько твердо установленные, что всякое сомнение в них представляется нам равнозначным сумасшествию. Например, что дважды два – четыре и что сумма углов треугольника равна двум прямым» Ф. Энгельс. В первой половине XIX века сразу три математика: К. Ф. Гаусс, Н. И. Лобачевский и Я. Бойяи пошли по одному пути: не разоблачить неевклидову геометрию как невозможную, а, наоборот, построить альтернативную геометрию и выяснить её возможную роль в реальном мире. На тот момент это была совершенно еретическая идея; никто из учёных ранее не сомневался, что физическое пространство - евклидово.
Открытие неевклидовой геометрии Карл Фридрих Гаусс (1777 -1855) - вошёл в историю создания неевклидовой геометрии Лобачевского как один из её пионеров, который вполне сознательно развивал её, но, к сожалению, не напечатал по этому поводу ни единой строчки. В письмах к своим друзьям скупой на похвалы Гаусс высоко оценивал открытие Лобачевского. Однако боязнь быть не понятым и осмеянным со стороны невежественных людей помешала Гауссу обработать свои идеи по неевклидовой геометрии и опубликовать их.
Открытие неевклидовой геометрии Черновые заметки и несколько писем Гаусса однозначно подтверждают его глубокое понимание неевклидовой геометрии: Допущение, что сумма трёх углов треугольника меньше 180°, приводит к своеобразной, совершенно отличной от нашей (евклидовой) геометрии; эта геометрия совершенно последовательна, и я развил ее для себя совершенно удовлетворительно. . . Предложения этой геометрии отчасти кажутся парадоксальными и непривычному человеку даже несуразными; но при строгом и спокойном размышлении оказывается, что они не содержат ничего невозможного. Так, например, все три угла треугольника можно сделать сколь угодно малыми, если только взять достаточно большие стороны; площадь же треугольника не может превысить, даже не может достичь некоторого предела, как бы велики ни были его стороны. Все мои старания найти в этой неевклидовой геометрии противоречие или непоследовательность остались бесплодными…(Из письма к Тауринусу, 1824)
ОТКРЫТИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ ЯНОШ БОЙЯИ (1802 - 1860) «Молю тебя, не делай только и ты попыток сделать теорию параллельных линий: ты затратишь на это все свое время, а предложения этого ты не докажешь. Я изучил все пути до конца; я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради бога молю тебя, оставь эту материю, потому что она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни" (из письма Фаркаша Бойяи своему 18 -летнему сыну Яношу)
ОТКРЫТИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ ЯНОШ БОЙЯИ (1802 - 1860) «Правда, я еще не достиг цели, но получил весьма замечательные результаты. Из ничего я создал целый мир» (Янош Бойяи) В 1832 году отец публикует своё сочинение «Тентамен» ( «Опыт» ), , а в приложении к нему — работу сына, вошедшую в историю математики под именем «Аппендикс» (приложение). Полное название труда Яноша Бойяи: «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)» .
ОТКРЫТИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ ЯНОШ БОЙЯИ (1802 - 1860) «Теперь кое-что о работе твоего сына… хвалить ее значило бы хвалить самого себя: все содержание сочинения, путь, по которому твой сын пошел, и результаты, которые он получил, почти сплошь совпадают с моими собственными достижениями, которые частично имеют уже давность в 35 лет… я имел намерение со временем изложить все это на бумаге в такой форме, чтобы эти идеи по крайней мере не погибли вместе со мной. Таким образом, я чрезвычайно поражен тем, что эта работа с меня снимается, и я в высшей степени рад, что именно сын моего старого друга предупредил меня таким замечательным образом. » (из письма Гаусса Фаркашу Бойяи)
ОТКРЫТИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ ЯНОШ БОЙЯИ (1802 - 1860) «По моему мнению…все доводы, приводимые Гауссом в объяснение того, почему он при жизни не желает ничего опубликовать из своих собственных работ, относящихся к этому вопросу, совершенно бессильны и ничтожны. Ведь в науке, как и в повседневной жизни, задача заключается именно в том, чтобы необходимые, общеполезные вещи, в особенности еще не вполне ясные, достаточно осветить и всемерно будить еще недостаточное или даже дремлющее сознание истины и права; это именно нужно крепить и развертывать. » (из заметок Яноша Бойяи, оставшихся после его смерти)
РОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО Николай Иванович Лобачевский (1792 -1856) «Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времён Евклида, в продолжении двух тысяч лет, заставили меня подозревать, что в самых понятиях ещё не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения. <…> Главное заключение <…> допускает существование геометрии в более обширном смысле, нежели как ее представил нам первый Евклид. В этом пространном виде дал я науке название Воображаемой Геометрии, где как частный случай входит Употребительная геометрия. »
РОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО Николай Иванович Лобачевский (1792 -1856) Создавая неевклидовую геометрию Лобачевский принимает всю систему аксиом Евклида( конечно уже усовершенствованную в соответствии с современным развитием геометрии), кроме аксиомы параллельных. Вместо V постулата он принимает противоположное предложение: «Через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесчисленное множество прямых, не встречающих данную прямую» . Получившаяся геометрия логически стройная, нигде противоречий не встречается, ее Лобачевский и называет «воображаемой» .
РОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО «Ученый должен идти по непроторенным путям, несмотря на препятствия» Н. И. Лобачевский 7 февраля 1826 года Лобачевский представил для напечатания в «Записках физико-математического отделения» сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» . Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Лобачевским в его труд «О началах геометрии» , напечатанный в журнале «Казанский вестник» . Это сочинение стало первой в мировой литературе серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского. Казанский университет в 1830 -е годы.
Рождение геометрии Лобачевского Вместо V постулата Лобачевский принимает противоположное предложение: «Через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесчисленное множество прямых, не встречающих данную прямую» . Вместе с этим предложением он принимает остальные аксиомы Евклидовой геометрии и на этом основании строит новую геометрию. Несколько фактов геометрии Лобачевского v Сумма углов треугольника всегда меньше 180 градусов. v Через точку, взятую внутри угла, не всегда можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла. v Не существует подобных треугольников. v Имеет место четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
РОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО Однако научные идеи Лобачевского не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии» , представленный в 1832 году советом университета в Академию наук, получил отрицательную оценку. Среди коллег почти никто Лобачевского не поддержал, росли непонимание и невежественные насмешки. Венцом травли стал издевательский анонимный пасквиль, появившийся в журнале «Сын отечества» в 1834 году: «Для чего же писать, да ещё и печатать, такие нелепые фантазии? … Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какой-нибудь серьёзной целью книгу, которая немного бы принесла чести и Памятник Лобачевскому последнему школьному учителю? Если не учёность, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый около учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего здания Казанского последнего… Новая Геометрия… написана так, что университета никто из читавших её почти ничего не понял» . (1896 г. , М. Диллон)
РОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО Несмотря на осложнения, Лобачевский, уверенный в своей правоте, продолжал работу. В 1835— 1838 гг. он опубликовал в «Учёных записках» статьи о «воображаемой геометрии» , а затем вышла наиболее полная из его работ «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» . Не найдя понимания на Родине, Лобачевский попытался найти единомышленников за рубежом. В 1837 г. статья Лобачевского «Воображаемая геометрия» на французском языке появилась в авторитетном берлинском журнале Крелле, а в 1840 г. Лобачевский опубликовал на немецком языке небольшую книгу Титульный лист книги «Геометрические исследования по теории Н. Лобачевского параллельных» , где содержится чёткое и «Воображаемая геометрия» , систематическое изложение его основных идей. Казань, 1835 г. Два экземпляра получил Карл Фридрих Гаусс, «король математиков» той поры.
РОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО Ознакомившись с результатами Лобачевского, Гаусс восторженно отозвался о них, но лишь в своих дневниках и в письмах близким друзьям. Например, в письме астроному Г. Х. Шумахеру Гаусс так оценил труд Лобачевского: «Вы знаете, что уже 54 года я разделяю те же взгляды; таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски, в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение» . Титульный лист немецкого издания «Геометрических исследований по теории параллельных»
Рождение геометрии Лобачевского Ма ртин Фёдорович Ба ртельс (1769 - 1836) - немецкий, позже российский математик и педагог, которому довелось быть учителем двух исследователей неевклидовой геометрии Гаусса и Лобачевского. С 1808 г. жил в России. Немецкий геометр Феликс Клейн при подготовке своей монографии «Неевклидова геометрия» высказал предположение, что идеи Лобачевского получили первый толчок, когда Лобачевский узнал у Бартельса о работах Гаусса на эту тему. Историки науки проверили эту гипотезу и пришли к мнению, что она бездоказательна и противоречит известным фактам, поэтому Клейн убрал из текста монографии упоминание о своей гипотезе. В настоящее время считается, что все основатели неевклидовой геометрии (Гаусс, Лобачевский и Бойяи) пришли к своим открытиям независимо друг от друга.
Рождение геометрии Лобачевского Гаусс выразил свою симпатию к идеям русского учёного косвенно: он рекомендовал избрать Лобачевского иностранным членомкорреспондентом Гёттингенского королевского научного общества как «одного из превосходнейших математиков русского государства» . Гаусс также начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с деталями открытий казанского геометра. Избрание Лобачевского состоялось в 1842 году и стало единственным прижизненным признанием научных заслуг Лобачевского. Лобачевский умер непризнанным, не дожив до торжества своих идей всего 10 -12 лет. Вскоре ситуация в науке коренным образом изменилась. Большую роль в признании трудов Лобачевского сыграли исследования Э. Бельтрами, Ф. Клейна, А. Пуанкаре и др. Бюст Лобачевского на Воробьёвых горах
Доказательство независимости пятого постулата Доказать непротиворечивость новой геометрии ни Лобачевский, ни Бойяи не сумели — тогда математика ещё не располагала необходимыми для этого средствами. Только спустя 40 лет появились модель Клейна (1871) и модель Пуанкаре (1882), реализующие аксиоматику геометрии Лобачевского на базе евклидовой геометрии. Эти модели убедительно доказывают, что отрицание V постулата не противоречит остальным аксиомам геометрии; отсюда вытекает, что V постулат независим от остальных аксиом и доказать его невозможно.
В 1868 Г. ИТАЛЬЯНСКИЙ МАТЕМАТИК Э. БЕЛЬТРАМИ ИССЛЕДОВАЛ ВОГНУТУЮ ПОВЕРХНОСТЬ, НАЗЫВАЕМУЮ ПСЕВДОСФЕРОЙ, И ДОКАЗАЛ, ЧТО НА ЭТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДЕЙСТВУЕТ ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО. Эудженио Бельтра ми (1835 - 1900)
А ЧЕРЕЗ 2 ГОДА (1870) НЕМЕЦКИЙ МАТЕМАТИК ФЕЛИКС КЛЕЙН ПРЕДЛАГАЕТ ДРУГУЮ МОДЕЛЬ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО. Феликс Христиан Клейн (1849 - 1925)
ЕЩЕ ОДНА МОДЕЛЬ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО БЫЛА ПРЕДЛОЖЕНА (1882 Г. ) ФРАНЦУЗСКИМ МАТЕМАТИКОМ АНРИ ПУАНКАРЕ. Жюль Анри Пуанкаре (1854 -1912)
Значение геометрии Лобачевского Отказ от пятого постулата и создание обобщенной геометрии, в которой геометрия Евклида является лишь предельным частным случаем, означал преодоление привычных и интуитивно неопровержимых представлений, что произвело переворот не только в геометрии и даже не только в математике, но и в развитии человеческого мышления вообще. «Идеи нашего гениального соотечественника, которые казались недопустимым парадоксом, теперь широко развитые и обобщенные, являются одним из краеугольных камней современной науки» (П. К. Рашевский) Появление неевклидовой геометрии было важным шагом в превращении математики в науку о логически мыслимых формах и отношениях. Появились теория множеств, математическая логика. В геометрии вскоре за геометрией Лобачевского появилась многомерная евклидова геометрия. А в начале XX века было обнаружено, что геометрия Лобачевского совершенно необходима в современной физике!
Значение геометрии Лобачевского “Все мои старания найти в этой “неевклидовой” геометрии противоречие или непоследовательность остались бесплодными”. (Карл Гаусс) “Как бы то ни было, новая Геометрия, основание которой уже здесь положено, если и не существует в природе, тем не менее может существовать в нашем воображении и, оставаясь без употребления для измерений, на самом деле открывает новое обширное поле для взаимных применений Геометрии и Аналитики”. (Н. И. Лобачевский) “Самое перспективное и выдающееся достижение прошлого (19) столетия – открытие неевклидовой геометрии ”. (Д. Гильберт) “Ничто так не содействовало выяснению формального значения геометрии, как открытие неевклидовой геометрии и подтверждение ее” (В. Ф. Каган)
Геометрия Римана Георг Фридрих Бернхард Риман (1826 - 1866) Через некоторое время идеи Лобачевского были приняты математиками, и следующим этапом развития геометрии стала эллиптическая геометрия Римана. Риман исходил из того, что через точку, не лежащую на данной прямой, вообще нельзя провести прямую, не пересекающую данную. В геометрии Римана: две прямые всегда пересекаются, параллельных прямых совсем нет; сумма углов прямолинейного треугольника больше 180°; прямая имеет конечную длину, плоскость – конечную площадь. Частным случаем эллиптической геометрии Римана является сферическая геометрия Римана или геометрия не сфере.
Неевклидовы геометрии Геометрия Лобачевского строится на основе тех же аксиом, что и евклидова, за исключением только одной аксиомы о параллельных: согласно аксиоме о параллельных евклидовой геометрии, через точку, не лежащую на данной прямой а, проходит только одна прямая, которая лежит в одной плоскости с прямой а и не пересекает эту прямую; в геометрии Лобачевского принимается, что таких прямых несколько (затем доказывается, что их бесконечно много). В геометрии Римана принимается аксиома: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит системе аксиом евклидовой геометрии с исключением аксиомы о параллельных. Таким образом, система аксиом, лежащая в основе геометрии Римана, необходимо должна отличаться от системы аксиом евклидовой геометрии не только заменой одной аксиомы о параллельных другим утверждением, но и в части остальных аксиом.
Значение геометрии Лобачевского Английский геометр Клиффорд назвал Лобачевского Коперником геометрии. Подобно тому как Коперник разрушил вековечный догмат о неподвижности Земли, так и Лобачевский разрушил заблуждение о неподвижности единственно мыслимой геометрии. «Я беру на себя смелость утверждать, что легче было двинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение» (В. Ф. Каган)
Скачать презентацию Н И ЛОБАЧЕВСКИЙ ЕГО ГЕОМЕТРИЯ ПРЕДШЕСТВЕННИКИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛИ
лобачевский.ppt