Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 32 Учитель математики высшей категории Оршокдугова Р. М. г. Нальчик , 2010 г.
Альберт Эйнштейн 1879 - 1955 «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно» . А. Эйнштейн
Девиз урока : «Дорогу осилит идущий , а математику – мыслящий» Т. Эдисон а) образовательные: -закрепить решение простейших показательных уравнений; -показать дополнительные методы решения показательных уравнений; -обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений; б) развивающие: продолжить работу по развитию умений работать с дополнительной литературой; в) воспитательные: -организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса; -стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности; -учащиеся работают над решением проблемы, поставленной учителем; Оборудование урока: проектор, компьютер, презентация к уроку.
Г. Лессинга «Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но, ради Бога, размышляйте, и, хотя криво – да сами» . Устная работа 1) функцию какого вида называют показательной; 2) какова область определения показательной функции; 3) каково множество значений показательной функции; 4)что можно сказать о монотонности показательной функции в зависимости от основания а; 35
1. На рисунке изображены графики показательных функций. Соотнесите график функции с формулой. 1) 3) 2) 4)
Термин «показатель» для степени ввел в 1553 г. немецкий математик (сначала монах, а затем − профессор) Михаэль Штифель (1487 -1567). По-немецки показатель − Exponent, от лат. exponere: «выставлять напоказ» ; exponens, exponentis − «выставляющий напоказ» , «показывающий» . Штифель же ввел дробные и нулевой показатели степени. Само обозначение ax для натуральных показателей степени ввел Рене Декарт (1637 г. ), а свободно обращаться с таким же дробными и отрицательными показателями стал с 1676 г. сэр Исаак Ньютон Степени с произвольными действительными показателями, без всякого общего определения, рассматривали и Лейбниц, и Иоганн Бернулли; в 1679 г. Лейбниц ввел понятия экспоненциальной (т. е. , по-русски, показательной) функции для зависимости и экспоненциальной кривой для графика этой функции. Краткое наименование «экспонента» отражено в одном из обозначений: . Через exp(x) обозначается конкретная экспонента − с показателем a = e = 2, 71828. . . − встроенная во многие языки программирования функция.
Работа у доски и в тетрадях Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Л. Эйлер. 37 38 39
Учебный элемент № 3 39 «Я слышу – я забываю, я вижу – я запоминаю, я делаю – я усваиваю» . Китайская мудрость. 38
Определение Показательным уравнением называется уравнение , содержащее переменную в показателе степени. Замечание Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.
Основные методы и приемы решения Метод введения новой переменной Вынесение общего Метод уравнивания показателей множителя за скобки Функциональнографический метод Логарифмический метод Метод подбора
Уж лучше совсем не помышлять об отыскании каких бы то ни было истин, чем делать это без всякого метода… Рене Декарт. 38 39
Применение показательной функции Диагностика заболеваний. При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону. Барометрическая формула. При постоянной температуре давление воздуха убывает с убыванием высоты над уровнем моря по закону где p 0 – давление на уровне моря (h =0), p – давление на высоте h, H константа, зависящая от температуры воздуха. Формула разрядки конденсатора. Если начальное напряжение на конденсаторе равно U 0, то конденсатор будет разряжаться по закону где t – время, в течение которого разряжается конденсатор, R – сопротивление, C – электроемкость конденсатора.
Применение показательной функции Радиоактивный распад Количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имеющемуся количеству вещества. Промежуток времени, в течение которого распадается половина всех имеющихся атомов называется периодом полураспада данного вещества. Этот период различен для разных веществ. Например, за время равное лет при распаде урана-238 распадается половина от начального числа атомов, т. е. при увеличении времени на 4, 5 миллиарда лет число атомов уменьшается в 2 раза. Задание. Сделать аналитическую запись формулы радиоактивного распада, обозначив начальную массу вещества М. Изобразить схематически график функции. Ответ. или у М х
Закон радиоактивного распада
Применение показательной функции Потери силы тока. При передаче электроэнергии по подводному кабелю потери в силе тока за счет утечки в воду пропорциональны длине кабеля. Например, на каждом километре сила тока уменьшается на 0, 5%. Тогда при увеличении расстояния от источника энергии на 1 км сила тока будет изменяться в отношении 1: 0, 995 Задание. Сделать аналитическую запись формулы, выражающей зависимость силы тока от расстояния. Изобразить схематически график функции. у 1 Ответ: х
Применение показательной функции Органический рост При искусственном выращивании какихлибо микроорганизмов размножение клеток идет так, что за некоторый определенный промежуток времени (длина митотического цикла) каждая клетка делится на две дочерние клетки. Поэтому, когда время увеличивается на длину митотического цикла, число клеток увеличивается в два раза Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения клеток. Изобразить схематически график функции. Ответ.
Применение показательной функции Органический рост Если однолетнее растение дает 100 семян и из них прорастает половина, то за каждый год, т. е. при увеличении времени на единицу, число растений увеличивается в 50 раз. Задание. Сделать аналитическую запись формулы размножения растений. Изобразить схематически график функции. у Ответ. 1 0 х
Применение показательной функции Рост вклада в банке В XIV-XV веках в Западной Европе появляются банки – учреждения, которые давали деньги в рост князьям и купцам, финансировали за большие проценты дальние путешествия и завоевательные походы. Чтобы облегчить расчеты сложных процентов, взимаемых по займам, составили таблицы, по которым сразу можно было узнать, какую сумму надо было уплатить через п лет, если была взята взаймы сумма а по р% годовых. Эта сумма выражается формулой Пример. Банк выплачивает вкладчикам проценты по вкладам в размере 4% в год, т. е. за каждый год вклад увеличивается в 1, 04 раза. Задание. Сделать аналитическую запись формулы, выражающей зависимость величины вклада от времени. Изобразить схематически график функции. у 1 0 х
Решение нестандартных показательных уравнений. Презентация решений, подготовленных учащимися.
Пример 1. Решите уравнение Решение. Оценим обе части уравнения. При всех значениях х верны неравенства: Следовательно, данное уравнение равносильно системе Полученная система не имеет решений, так как не удовлетворяет второму уравнению. Ответ: . Графическая иллюстрация
Пример 2. Решить уравнение Решение: Оценим обе части уравнения. При всех значениях х верны неравенства Следовательно, данное уравнение равносильно системе: При х = 0 второе уравнение обращается в тождество, значит х = 0 корень уравнения. Ответ: х = 0. Графическая иллюстрация
Пример 9. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения. Решение. Перепишем уравнение в виде При всех значениях х выражение При всех значения х выражения Поэтому Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4. Получаем систему: Ответ: при
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧЕТНОСТИ ФУНКЦИИ Может ли при каком-нибудь значении параметра а, уравнение иметь нечетное число корней? Решение. Так как при замене х на –х данное уравнение не изменится, то множество его корней вместе с каждым корнем содержит противоположный корень. Следовательно, уравнение имеет четное число корней, отличных от нуля. Проверка показывает, что 0 – корень, значит, данное уравнение имеет нечетное число корней. Ответ: да. Графическая иллюстрация
у а=1 а=2 2 а=3 1 х 0 а = -1 а = -2 а = -3
Литература Математика. ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы. Методические указания при подготовке. Тестовые задания: Учебно – методическое пособие Л. Д. Лаппо, А. В. Морозов, М. А. Попов. – М. : издательство «Экзамен» , 2006, 2008, 2010 2. Математика. ЕГЭ. Контрольные измерительные материалы. Варианты тестов. Министерство образования РФ. – М. : Центр тестирования Минобразования России, 2008. Денищева Л. О. и др. 3. Математика — абитуриенту. Автор: Ткачук В. В. Издательство: 2007. Год: МЦНМО. Страниц: 976 Для создания шаблона презентации использовалась картинка http: //www. box-m. info/uploads/posts/200905/1242475156_2. jpg
Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели Г. Лейбниц
Для успешного решения показательных уравнений Вам необходимо: 1. Безошибочно решать простейшие показательные уравнения. 2. Активно знать все показательные тождества 3. Четко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования уравнений. 4. Знать методы решения задач. На каждом этапе Вам необходимо: а) определить тип уравнения; б) вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.
Молодцы, вы освоили решения уравнений второго уровня сложности. n Если вы набрали 20 -26 , то получаете оценку « 5» . n Если вы набрали 14 -19 , то получаете оценку « 4» . n Если вы набрали 7 -13 , то получаете оценку « 3» . n Если вы набрали 0 -6 , то получаете оценку « 2» .
Домашнее задание : листы – вкладыши ЕГЭ «Показательные уравнения»
Методы решения показательных уравнений 1. Метод приведения степеней к одному основанию 2. Вынесение общего множителя за скобки 3. Метод замены переменной 4. Метод почленного деления 5. Метод группировки 6. Графический метод
Скачать презентацию Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 32
1c2a5f934057f2b498efc4677af2c80f.ppt