МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ КУРГАНИНСКИЙ РАЙОН МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ КУРГАНИНСКИЙ РАЙОН МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 14 СТ. РОДНИКОВСКОЙ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГРАФИЧЕСКИ, СХЕМАТИЧЕСКИ, ТАБЛИЧНО КАК МИНИМИЗАЦИЯ ЗАПИСИ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ Учитель ДАНИЛОВА ВАЛЕНТИНА НИКОЛАЕВНА 2011 -2012 учебный год

Задачи на равномерное движение Часто при решении задач на равномерное движение можно использовать прямоугольную систему координат t. Os, где по оси абсцисс (ось Ot) откладывают время t, а по оси ординат ( ось Os)-пройденное расстояние ( рис 1). Тогда графиком зависимости S=vt является прямая АМ, составляющая с осью Ot острый угол α, тангенс которого равен значению скорости v. Если по условию задачи одновременно с маршрутом из А в В начинается встречный маршрут из В в А, то отсчет расстояния, пройденного от пункта В в А по направлению к точке О, ведется от точки В, отмеченной на той же оси Os. Графиком встречного маршрута является прямая ВN, составляющая с прямой BM, параллельной Ot, острый угол β, тангенс которого равен значению скорости v движения по этому маршруту. Координаты точки Р пересечения графиков указывают время встречи и пройденные от А и В расстояния до места встречи ( соответственно АС и ВС).

Путь, пройденный из А до встречи Путь, пройденный из В до встречи S В А S= vt С α Время встречи М β Р N t

S t M 9 C А Задача № 1 P В N t K t+4 E t+9 t Два велосипедиста выехали одновременно из пункта А и В навстречу другу. Через 4 часа после встречи велосипедист, ехавший из А прибыл в В, а через 9 часов после встречи велосипедист, ехавший из В, прибыл в А. Сколько часов был в пути каждый велосипедист?

S t M 9 C А I СПОСОБ Задача № 1 Δ ВСЕ и Δ ВPN - подобны CE = PN BE BN P В N t Δ AKB и Δ PKN - подобны AB = PN BK NK K t+4 E t+9 St = (t+9) PN 4 S + (t+4) PN S = t+9 PN t S = t+4 PN 4 t S = PN t+9 t S = PN t+4 4 t+9 = t+4 t 4 4 t+36 = t 2 + 4 t t 2 = 36 t = + 6, По условию задачи t = 6, t +4 = 10, t + 9 = 15. Ответ: 10; 15

S t M 9 C А II СПОСОБ Задача № 1 Δ PNK и Δ AMP – подобны P В N t t 2 = 36 t= 6 t +4 = 10 t + 9 = 15 Δ BPN и Δ CMP – подобны K t+4 E t+9 t Ответ: 10; 15

S Задача № 2 Х - 300 А В α β Х - 400 P 2 P 1 400 β α t 1 t 2 t Два спортсмена выбегают одновременно – первый из А в В, второй из В в А, бегут с неодинаковыми, но постоянными скоростями и встречаются на расстоянии 300 м от А. Пробежав дорожку АВ до конца, каждый из них тотчас поворачивает назад, и встречает другого, на расстоянии 400 м от В. Найдите длину АВ

S Задача № 2 Х - 300 А В V 1 = tg α= α β Х - 400 P 2 P 1 400 β α t 1 t 2 V 2 = tg β = Пусть АВ = Х, тогда (t 1 – время первой встречи, t 2 – время второй встречи) За время, прошедшее между встречами первый пробежал Х – 300 + 400 = Х +100 (м), второй: 300 + Х – 400 = Х – 100 (м). t (x +100) (x – 300) = 300(x-100) X 2 – 200 x – 30000 = 300 x – 30000 X 2 – 500 x = 0 X=0 x=500 Ответ : 500.

S III II I 120 40 C Задача № 3 N M Х В А P K L F T t Из А в В через равные промежутки времени отправляются три автомашины. В В они прибывают одновременно, затем выезжают в пункт С, лежащий на расстоянии 120 км от В. Первая машина прибывает туда через час после второй. Третья машина, прибыв в С, сразу поворачивает обратно и в 40 км от С встречает первую машину. Определить скорость первой машины, считая, что по всей трассе скорость каждой машины была неизменной.

S III II I 40 120 C Задача № 3 N M Х В А P K L F T t

Решим систему относительно а. Ответ. 30 км/ч.

В Задача № 4 ве рх С 3 ов ой од ех ш вел А оси пе ди ст пе 12 14 В полдень из пункта в пункт В вышел пешеход и выехал велосипедист, и в полдень же из В в А выехал верховой. Все трое отправились в путь одновременно. Через два часа встретились велосипедист и верховой на расстоянии 3 км от середины АВ. А еще через 48 минут встретились пешеход и верховой. Определить скорость каждого и расстояние АВ, если известно, что пешеход движется вдвое медленнее велосипедиста.

В Задача № 4 ве рх С 3 ов ой од ех ш вел А оси пе ди ст пе 12 14 V 2 = 2 V 1 AB = X AC = ½ X + 3 BC = 1/2 X – 3 t 1 – время встречи верхового и велосипедиста V 1 – скорость пешехода V 2 – скорость велосипедиста V 3 – скорость верхового

2 V 2 = 0, 5 X +3 4 V 2 = X +6 2 V 3 = 0, 5 X -3 4 V 3 = X -6 2, 8 V 1 = X - 2, 8 V 3 X = 4 V 2 - 6 4 V 3 = 4 V 2 - 12 4 V 3 = V 2 -6 -6 2, 8 V 1 = 4 V 2 -6 – 2, 8 V 3 2, 8 V 1 = 4 V 2 – 6 - 2, 8 V 3 V 2 = 2 V 1 4 V 2 = 4 V 3 + 12 0, 2 V 3 = 1, 8 V 1 = 1/2 V 3 = 9 V 2 = 12 V 1 = 6 X = 48 -6 = 42 Ответ. 6, 12, 9, 42

Задача № 5 S A Б В t Первым проснулся на турбазе путешественник А и отправился по намеченному маршруту. Второй путешественник Б отправился вслед за первым только спустя 45 мин. Намереваясь догнать путешественника А и зная, что он всегда держит скорость V 1 кмч, путешественник Б поехал со скоростью V 2 кч (v ›м). Через сколько минут после момента отправления путешественника А с турбазы должен выехать В, чтобы догнать А одновременно с Б, если известно, что В поедет со скоростью. V 3 кмч (V 3 › V 2)?

Задача № 5 S – пройденный путь V 1 – скорость путешественника А V 2 – скорость путешественника Б V 3 – скорость путешественника В V 3 > V 2 АВ – искомое время S A Б В t

S E В 11 10 C β 30 K Задача № 6 α M 270 А 0 F α 21 N t Расстояние между точками А и В равно 270 м. Из А в В равномерно движется тело, достигнув В, оно сразу же возвращается назад с той же скоростью. Второе тело, выходящее из В в А через 11 секунд после выхода первого из А, движется равномерно, но медленнее. На пути от В к А оно встречается с первым дважды через 10 и 40 с после своего выхода из В. Найти скорость движения каждого тела.

S E В 11 10 C β 30 K Задача № 6 V 1 = tgα α M 270 V 2 = tgβ HM = 10 V 2 NM = 21 V 1 F HM + NM =270 10 V 2 + 21 V 1 = 270 А α 21 KF = 40 V 2 N 0 t 10 V 2 + 21 V 1 = 270 V 2 + 4 V 2 = 3 V 1 = 10 V 2=6 5 V 2 = 3 V 1 10 V 2 + 21 V 1 = 270 V 2 = 0, 6 V 1 10 + 21 V 1 =270 Ответ. 10 м/с, 6 м/с.

Задачи на работу Так как формула работы похожа на формулу пути A=Nt, A-работа, N- производительность, t-время, предложенную методику можно использовать при решении задач на работу. Введем систему координат t. OA, где по оси абсцисс (Ot) откладываем время (t), а по оси ординат (ось OA) выполняемую работу. Тогда графиком зависимости A=Nt является прямая, составляющая с осью Ot острый угол, тангенс которого равен производительности( иначе скорости выполнения работы)

B Задача № 7 C β x P 1 1 - x M α 8 K t t +12 Двое рабочих выполняют совместно некоторую работу за 8 час. Первый, работая отдельно, может выполнить эту работу на 12 часов скорее, чем второй, если тот будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них работая отдельно выполнит всю работу?

B Задача № 7 C β x P 1 1 - x M α 8 K t t +12 8 t = (t-8)(t+12) t 2 -4 t-96 =0 t= - 8; t = 12 Ответ. 12; 24.

Задача № 8 А K 2 ч M β 1 P D Q N B 1 α L 3 t Двум рабочим было поручено задание, второй приступил к нему на час позже первого. Через 3 часа после того как первый приступил к работе, им осталось выполнить 0, 45 всего задания, по окончании работы выяснилось, что каждый выполнил половину всего задания, За сколько часов каждый, работая отдельно, может выполнить все задание?

Задача № 8 А АВ –вся работа, АВ = 1, АD=DB(половина работы) K 2 ч M β P (производительность первого рабочего) (производительность 1 второго рабочего) D Q N B 1 α L 3 t не удовлетворяет Первый выполнит работу за 5 ч, условию задачи. второй за 4 ч Ответ. 5; 4

Задачи на смеси, сплавы Значительно упрощается решение задач на смеси, сплавы, выпаривание, высушивание, если представить условие задачи схематически.

Задача № 9 От двух кусков сплава одинаковой массы, но с различным процентным содержанием меди, отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Во сколько раз отрезанный кусок меньше целого?

Задача № 9 Cu Y % Cu + m-n Cu X % m-n X % Cu = n m Cu Cu + Z % Y % n = Z % m n ? = m

Отрезанный кусок меньше целого в 2 раза

Табличная запись решения заданий, содержащим модуль Решая задания с модулем, очень важно не пропустить ни одного промежутка раскрытия модуля. Табличное оформление записи решения позволяет решить эту проблему. Рассмотрим пример. Решите уравнение 2|x+5| + 3|x+6| + 4|x+7| + 5|x+8| = 14. Решение. Найдем нули модулей: х=-5, х=-6, х=-7, х=8. Чтобы выписать промежутки, на которых будем раскрывать модули, отметим полученные числа на числовой прямой.

2|x+5| + 3|x+6| + 4|x+7| + 5|x+8| = 14 -8 -7 -6 -5 В первый столбик таблицы записываем полученные промежутки, далее расставляем знаки выражений, стоящих под модулем x+5 x+6 (-∞; -8) [-8; -7) [-7; -6) [-6; -5) [-5; -∞) x+7 x+8 2|x+5| + 3|x+6| + 4|x+7| + 5|x+8| = 14 Ответ - - - 2 x – 10 – 3 x – 18 – 4 x – 28 – 5 x – 40 = 14 х = - 55/7 - - - + - 2 x – 10 – 3 x – 18 – 4 x – 28 + 5 x + 40 = 14 х = - 7, 5 - - + + - 2 x – 10 – 3 x – 18 + 4 x + 28 + 5 x + 40 = 14 х = - 6, 5 - + + + - 2 x – 10 + 3 x + 18 + 4 x + 28 + 5 x + 40 = 14 х = - 6, 2 + + 2 x + 10 + 3 x + 18 + 4 x + 28 + 5 x + 40 = 14 х = - 82/14 Ответ. – 7, 5; - 6, 5