МОУ « Средняя общеобразовательная школа № 16 с углублённым изучением отдельных предметов» . Ученица 10 «А» класса Воронина Екатерина Александровна Руководитель: учитель математики Синёва Екатерина Ивановна
Содержание: I. Цели работы; II. Истоки алгебры: а) древний Египет; б)Древний Вавилон; в)Древняя Греция; III. Задача, приводящая к квадратному уравнению; IV. Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики; а) ал-Хорезми; V. Седьмая операция; а) Теэтет; VI. Математический турнир; а)Антонио Марио Фиоре; VII. Гибрид из мира идей; а)Кубические уравнения; VIII. Вывод; IX. Список литературы.
Цели работы «Можно утверждать, что решение полиномиальных уравнений послужило исторически источником алгебры и что со Французские математикивремени вавилонян, индусов и Диофанта и до Александр Гротендик и Жан Дьедонне в статье наших дней оно алгебраической основных «Элементы остаётся одной из её целей» топологии» пишут: «Можно утверждать, что решение Александр Гротендик и Жан Дьедонне полиномиальных уравнений послужило исторически источником алгебры и что со времени вавилонян, индусов и Диофанта и до как науку о решении I. Рассмотреть алгебру наших дней оно остаётся одной из её основных целей» уравнений; алгебры оставались неизменными на Итак, цели протяжении тысячелетий- решались уравнения: II. Рассмотреть решение уравнений на сначала линейные, потом квадратные, затем протяжении с и уравнения ещё больших степеней. кубические, а там Древних времён до наших дней; Но форма, в которой излагались алгебраические III. Рассмотреть формулы записи результаты, менялись до неузнаваемости. алгебраических уравнений;
Истоки алгебры Древний Египет Истоки алгебры 1. Древние египтяне излагали свои алгебраические познания в числовой форме; 2. Решали задачи практического содержания: a) Вычисление площади земельных участков; b) Объём сосудов; c) Количество зерна и т. д. Все задачи были с конкретными числовыми данными.
Задача из папируса Кахуна «Найти два числа X и Y, для которых X²+Y²=100 X: Y=1: » . В папирусе эта задача решена методом «ложного положения» . Если положить x=1, то y= и x²+y²=. Но по условию задачи x²+y²=10², следовательно, в качестве x надо брать не 1, а 10: =8. Тогда y=6.
Древний Вавилон В Древнем Вавилоне решались уравнения первой, второй и даже отдельные уравнения третьей степени; Но: I. Эти достижения нельзя назвать наукой; II. Все задачи излагались в словесной форме; III. Вавилоняне владели и общими правилами происхождения корней уравнения первой и второй степени.
Рассмотрим задачу из клинописной таблички: «Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870» x²-x=870 «Ты берешь 1, число. Делишь пополам 1 , это ½. Умножаешь ½ на ½, это ¼. Ты складываешь (это) с 870, и это есть , что является квадратом для. Ты складываешь½ , которую ты умножал, с , получаешь 30, сторона квадрата. » (Все числа в табличке записаны в 60 -ричной системе счисления)
Древняя Греция У древних греков вся математика приобрела геометрическую форму. Например: Соотношение (а+b)²=a²+2 ab+b², в «Началах» Евклида формулируется так: «Если отрезок АВ разделён точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на АВ, равен двум квадратам на отрезках АС и СВ вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ» . Вывод: Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок.
Задача, приводящая к квадратному уравнению. Решение древнегреческих математиков: px- x²= ²- Современное решение: ² На рис. 10 показано, как древние греки устанавливали это равенство: сумма площадей двух заштрихованных прямоугольников равна Следовательно площадь заштрихованного гномона(Гобразной фигуры) равна px-x². С другой стороны, эта площадь равна разности площадей двух квадратов: одного- со стороной , другого- со стороной. РАВЕНСТВО ДОКАЗАНО! Построить прямоугольник, периметр которого равен данному отрезку 2 р, а площадь – данному квадрату b². x+y=p, xy=b² или рx-x²=b² ²= ² - b². Построим прямоугольный треугольник (рис. 11) с катетом b и гипотенузой ; второй его катет имеет длину , а поэтому x разность двух отрезков с длинами и
Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики. üПроизошло в арабских странах; üВ Багдаде создаются хорошие условия для работы ученых; üОткрывается множество библиотек; üПостроен Дом мудрости ; üУсердно изучаются труды древнегреческих авторов и достижения индийских учёных
Мухаммад ибн Муса Хорезми 1)В арифметическом трактате он изложил «индийское исчисление» , открыв тем самым для арабов десятичную систему счисления. 2)наиболее значительным является его трактат по алгебре. Здесь ал. Хорезми, по-видимому, впервые разработал правила преобразования уравнений. Уравнения у него, конечно, были с числовыми коэффициентами и выражались в словесной форме. 3) ал-Хорезми показывает способы решения основных типов линейных и квадратных уравнений. Квадратные уравнения различались по типу не в зависимости от знака дискриминанта, как сейчас. 4)В греческих традициях ал-Хорезми строго геометрически обосновывает свои способы. Любое другое уравнение должно было быть преобразовано к одному из рассмотренных видов с помощью 2 -ух операций: восполнение и противопоставление
Седьмая операция Если начать счет, как в средние века, с нумерации, то седьмая операция над числами после четырех арифметических действий и возведения в степень- это извлечение корня. I. Отличается от остальных шести неприятной особенностью- не всегда выполняется; II. Извлечение квадратных и кубических корней всегда имеет наглядный смысл; III. Ответ не всегда выражается натуральными или рациональными числами; IV. Разрабатывалась специальная техника работы с корнями.
В решении первой задачи значительных успехов достиг древнегреческий философ и математик Теэтет. Теэте т Афи нский Теэтет жил в Афинах , был членом академии Платона. Вслед за Феодором из Кирены( V в. До н. э. ), доказавшими иррациональность квадратных корней из чисел 3, 5, 6, …, 17. ØТеэтет доказал это утверждение относительно корней из любых натуральных чисел, не являющихся целыми квадратами; ØИзучал различные выражения , которые можно составить из натуральных чисел с помощью арифметических операций и извлечения квадратного корня; ØИсследования Теэтета были облечены в геометрическую форму. ØТеэтет рассматривал выражения вида:
Математический турнир В феврале 1535 года жители итальянского города Болоньи оказались свидетелями необычного зрелища. К зданию Болонского университета направлялись торжественные процессии с герольдами и знаменами. Студенты и профессора, ученые-монахи и пышно одетые дворяне стремились поскорее занять места в аудитории- ведь в университете должен был состоятся турнир! Состязаться собирались математики. v. В то время ученые часто соревновались в решении трудных задач; v. От исхода этих состязаний зависела научная репутация и право занимать кафедру; v. Каждый университет старался заполучить к себе победителей таких турниров.
Болонцы надеялись на победу своего «бойца» -Антонио Марио Фиоре. Сам Фиоре не слишком славился своими математическими открытиями; НО: Ø Фиоре был одним из ближайших учеников известного алгебраиста Сцепиона дель Ферро(1465 -1526), который перед смертью открыл ему великую тайну – правило решения кубического уравнения; Следовательно: v С тех пор он побеждал очень легко- он давал своим противникам задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям. v Соперники сдавались без боя.
Гибрид из мира идей Общие методы решения уравнений 3 -й и 4 -й степеней стали первыми математическими результатами нового времени после многовекового застоя. А неприводимый случай для кубического уравнения привлек внимание ученых к квадратным корням из отрицательных чисел Ø С такими корнями математики сталкивались не впервые- ведь они часто возникают при решении квадратных уравнений; ØОт этой ситуации античные математики были защищены диоризмамитак в Древней Греции называли ограничения, накладываемые на условия задачи; Таким образом: От квадратных корней из отрицательных чисел можно было «отмахнуться» : если они вдруг появлялись, значит, коэффициенты шагнули через границу дозволенной области и уравнение просто не имеет корней (действительных).
Но для кубических уравнений такие рассуждения не проходят. q В неприводимом случае решение по формуле Кордано. Тартальи содержит квадратный корень из отрицательного числа, тем не менее уравнение имеет корни- полный набор, и все действительные; q Складывалась какая-то непостижимая связь между действительными числами и удивительными корнями из отрицательных чисел; q Эту связь пытался понять Тарталья , над ней размышлял и Кардано; q В своем «Великом искусстве» Кардано привел задачу, но соответствующая этой задаче система уравнений не имеет действительных решений. Кардано назвал её корни софистическими.
Вывод: Итак, цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетийрешались уравнения: сначала линейные, потом квадратные, затем кубические, а там и уравнения еще больших степеней. Но форма, в которой излагались алгебраические результаты , менялись до неузнаваемости.
Список, использованной литературы. 1. Полная энциклопедия школьника. 5 -11 класс. Курс подготовки к ЕГЭ: том 2. // Под редакцией д-ра пед. наук, проф. И. Ю. Алексашиной, проф. С. В. Алексеева. СПб. : ИГ «Весь» , 2005 2. Виленкин, Шибасова: За страницами учебника математики: арифметика. Алгебра: пособие для учащихся 10 -11 классов 3. http: //www. wikiznanie. ru
Скачать презентацию МОУ Средняя общеобразовательная школа 16 с
0b2f7ddce57fca7a17390ba36042e2d0.ppt