МОУ лицей 1 г Иркутска Основы теории

МОУ лицей № 1 г. Иркутска Основы теории делимости Признаки делимости Мельникова М. И. 1

2

МОУ лицей № 1 г. Иркутска • Повторить определение и простейшие свойства делимости целых чисел • Научить решать задачи на делимость, связанные с использованием свойств делимости • Повторить определение и основные свойства простых и составных чисел • Рассмотреть опорные задачи, связанные с простыми числами • Показать применение основной теоремы арифметики на примерах решения задач • Рассмотреть вводные задачи на деление с остатком 3

МОУ лицей № 1 г. Иркутска • Усвоение методов и стиля, свойственных математике • Развитие навыков математических рассуждений, полных и строгих доказательств, отыскание слабостей и неточностей в предлагаемых рассуждениях • Подготовка к ЕГЭ 4

МОУ лицей № 1 г. Иркутска Число а делится на число b ≠ 0, если существует такое число с, что a = bc 5

МОУ лицей № 1 г. Иркутска • Если а делится на b, то и число ka делится на b • Если число а делится на с и число b делится на с, то сумма и разность чисел а и b делится на с 6

МОУ лицей № 1 г. Иркутска • Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра четна • Число делится на 3 тогда и тогда, когда сумма всех его цифр делится на 3 • Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, составленное из последних двух цифр его десятичной записи, идущих в том же порядке, делится на 4 • Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или 5 • Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 7

МОУ лицей № 1 г. Иркутска • Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, считая справа в десятичной записи данного числа, и суммы цифр, стоящих на четных мечтах в десятичной записи данного числа, делится на 11 Например, число 305 792 608 делится на 11, так как (8 + 6 + 9 + 5 + 3) – ( 0 + 2 + 7 + 0) = 22 22 – делится на 11 8

МОУ лицей № 1 г. Иркутска • Натуральное число, отличное от 1, называется простым, если у него нет натуральных делителей, отличных от 1 и него самого • Числа, отличные от 1 и не являющиеся простыми, называются составными • 1 не является ни простым, ни составным числом • Два числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называются взаимно простыми 9

МОУ лицей № 1 г. Иркутска Каждое натуральное число n>1 имеет единственное (с точностью до порядка множителей) разложение на простые множители n = p 1 p 2 α 1 α 2· … p k αk Каноническое разложение числа n 10

МОУ лицей № 1 г. Иркутска Количество натуральных делителей числа n, записанного в канонической форме, равно (α 1 + 1) · (α 2 + 1) ·…·(αk + 1) 11

МОУ лицей № 1 г. Иркутска Любое целое число а можно поделить с остатком на любое ненулевое целое число b a = bq + r Сумма (произведение) чисел а и b дает тот же остаток при делении на число m, что и сумма (произведение) остатков чисел а и b при делении на число m 12

МОУ лицей № 1 г. Иркутска 1. Поставьте вместо * цифру в числе 566*239 так, чтобы оно делилось на 9 Сумма цифр: 5+6+6+2+3+9 =31 31 не делится на 9 36 – 31 = 5 Ответ: 5 13

МОУ лицей № 1 г. Иркутска 2. Докажите, что произведение любых трех последовательных чисел делится на 6 Признак делимости на 6: 6 = 2 · 3, НОД(2; 3) = 1 Три последовательных числа: n·(n+1)·(n+2) Среди них есть число, делящееся на 2, и число, делящееся на 3 Значит n·(n+1)·(n+2) делится на 2 · 3 = 6 14

МОУ лицей № 1 г. Иркутска 3. Сколько натуральных делителей имеет число 3072? Представим число 3072 в канонической форме: 3072 = 210 · 3 Количество натуральных делителей числа n, записанного в канонической форме, равно (α 1 + 1) · (α 2 + 1) ·…·(αk + 1) = (10 + 1) · (1+1) = 22 Ответ: 22 15

МОУ лицей № 1 г. Иркутска 4. Найдите наибольшее число, которое при делении на 11 дает неполное частное 10 a = bq + r = 11 · 10 + r r = 0, 1, 2, …, 10 r = 10 – наибольший остаток a = 11 · 10 + r = 110 + 10 = 120 Ответ: 120 16

МОУ лицей № 1 г. Иркутска 5. На какую цифру оканчивается число 532007? 531 оканчивается 3 532 оканчивается 9 533 оканчивается 7 534 оканчивается 1 535 оканчивается 3 2007 = 501 · 4 + 3 Ответ: 7 17

МОУ лицей № 1 г. Иркутска 1. Может ли число, сумма цифр которого равна 2010, быть квадратом целого числа? 2010 делится на 3, значит само число делится на 3, тогда квадрат данного числа делится на 9, но 2010 не делится на 9 Ответ: НЕТ 18

МОУ лицей № 1 г. Иркутска 2. Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится на 30 Признак делимости на 30: 30 = 2 · 3 · 5, НОД(2; 3; 5) = 1 Пять последовательных чисел: (n-2)·(n-1)·n·(n+1)·(n+2) Среди них есть число, делящееся на 2, число, делящееся на 3 и число, делящееся на 5 Значит число (n-2)·(n-1)·n·(n+1)·(n+2) делится на 2 · 3 · 5 = 30 19

МОУ лицей № 1 г. Иркутска 3. Докажите, что дробь несократима Найдем НОД(2 n+1; 3 n+2) = НОД(2 n+1; n+1) = НОД(n; 1) = 1 Следовательно 2 n+1 и 3 n+2 взаимно просты. Тогда данная дробь несократима. Доказано 20

МОУ лицей № 1 г. Иркутска 4. Докажите, что квадраты натуральных чисел не дают остатка 2 при делении на 3 Произведение чисел а и b дает тот же остаток при делении на число m, что и произведение остатков чисел а и b при делении на число m Число n может давать при делении на 3 остатки 0, 1, 2. Остаток числа n при делении на 3 Остаток числа n 2 при делении на 3 0 1 2 0 1 1 Из таблицы видно, что если число n делится на 3, то n 2 делится на 3, в противном случае остаток числа n 2 при делении на 3 равен 1 21

МОУ лицей № 1 г. Иркутска 5. Докажите, что натуральное число является точным квадратом тогда и только тогда, когда у него нечетное число натуральных делителей n = p 1α 1 p 2α 2· … pkαk Ясно, что число является точным квадратом тогда и только тогда, когда все показатели степеней αi , в которых входят в разложение простые множители, четны. С другой стороны, количество делителей числа n N = (α 1 + 1) · (α 2 + 1) ·…·(αk + 1) Из этой формулы следует, что число делителей N нечетно тогда и только тогда, когда все числа αi четны, что и требовалось доказать 22

МОУ лицей № 1 г. Иркутска 6. Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух? 1. Последняя цифра больше 1 2. Трехзначное простое число не может оканчиваться четной цифрой или 5 3. Если последняя цифра 3 или 9, то сумма всех цифр числа, равная удвоенной последней цифре, делится на 3, а тогда само число делится на 3 4. Осталась только цифра 7 Пример такого числа 167 Ответ: 7 23

МОУ лицей № 1 г. Иркутска 7. Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки? Факт: Число дает такой же остаток при делении на 9, как и сумма его цифр 1. Два числа, отличающиеся лишь порядком цифр дают одинаковые остатки при делении на 9 2. Выясним какие остатки при делении на 9 могут давать числа вида 2 n (n = 1, 2, 3, …) 24

Степень числа 2 Остатки степени при делении на 9 21 22 23 24 25 26 27 28 2 4 8 7 5 1 … … 2 4 Последовательность остатков при делении на 9 степеней двойки 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, … периодична с периодом 6. Действительно, 2 n+6 – 2 n = 2 n 63 делится на 9. Предположим, что две степени двойки отличаются только порядком цифр, тогда они дают одинаковый остаток при делении на 9 и отличаются не менее чем в 26 = 64 раза, т. е. в них разное количество цифр. Получаем противоречие Ответ: Нет 25

26 МОУ лицей № 1 г. Иркутска

Мастерство, как и в любом ремесле, приходит с накоплением опыта и знаний ТСЯ УЧИ ОЛ Е П ВС АС У Н 27