МОУ Инсарская средняя общеобразовательная школа 1 Геометрические

МОУ «Инсарская средняя общеобразовательная школа № 1» Геометрические задачи типа «С 4» по материалам ЕГЭ – 2010 Чудаева Елена Владимировна, учитель математики, г. Инсар, Республика Мордовия

Задачи № 1 № 3 Помните: № 2 № 4

№ 1 В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD: DC = 3: 8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. Рассмотрим 1 случай. А А E E F F С В D 8 ч 3 ч С В 8 ч 3 ч D

№ 1 В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD: DC = 3: 8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. Решение. Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. Рассмотрим 1 случай. А Найдем: Из ADC, E Из ADВ, F С Значит, В D 8 ч 3 ч

№ 1 В треугольнике АВС АВ=15, ВС = 12, СА = 9. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD: DC = 3: 8. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках E и F. Найдите длину отрезка EF. А Решение. Возможны два случая: точка D лежит на отрезке ВС и точка D лежит вне отрезка ВС. Рассмотрим 2 случай. E Из ADC, F С В 8 ч 3 ч Из ADВ, D Значит, Ответ: 9 или

№ 2 Точка H – основание высоты треугольника со сторонами 10, 12, 14 , опущенной на сторону, равную 12. Через точку H проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 10, в точке M. Найдите HM. Пусть АВ = 10, ВС = 12, АС = 14. Решение. А АВН – прямоугольный, BН = АВ·cos. B = 2. 10 14 По условию АВС НВМ, и имеют общий угол В, значит возможны два случая. М 1 случай. ВМН = ВАС; С 12 Н В значит, 2 случай. ВМН = АСВ; Ответ: , значит,

№ 3 Площадь трапеции ABCD равна 240. Диагонали пересекаются в точке O , отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C , пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь четырехугольника OMPN , если одно из оснований трапеции втрое больше другого. Решение. Возможно два вида трапеции. В обоих случаях: 1) нижнее основание вдвое больше верхнего, BC = a, АD = 2 a, 2) верхнее основание вдвое больше нижнего, AD = a, BC = 2 a. Найдем площадь ОMPN: SMONP=S AOD – S AMP – S PND. В С O Рассмотрим первый случай. N M А P D

а По условию BC = a, АD = 3 a, аh = 120. SMONP=S AOD – S AMP – S PND. h 1) BOC AOD , по трем углам 3 а Значит высота AOD равна , тогда: 2) BMC AMP , по трем углам, Тогда высота треугольника АМР равна 3/5 высоты трапеции. 3) Находим искомую площадь: SMONP=S AOD – 2 S AMP =135 - 2·54 = 27.

3 а В С По условию BC = 3 a, АD = a, аh = 120. SMONP=S AOD – S AMP – S PND. h 1) BOC AOD , по трем углам O M А N P а D Значит высота AOD равна 2) BMC AMP , по трем углам, Тогда высота треугольника АМР равна 1/7 высоты трапеции. 3) Находим искомую площадь: Ответ: 27 или 5. , тогда:

№ 4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM: MN=1: 7. Найдите ВС. Решение. Пусть О – точка пересечения биссектрис. По условию B значит М лежит между точками В и N. М N C O B М C N 12 O A D A Возможны два случая. 1) точка О – лежит внутри параллелограмма; 2) точка О – лежит вне параллелограмма. Рассмотрим первый случай. D

№ 4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM: MN=1: 7. Найдите ВС. Решение. Пусть О – точка пересечения биссектрис. По условию B М 1, 5 значит М лежит между точками В и N. N 10, 5 C 1, 5 ВNА= NAD- накрест лежащие; АN – биссектриса А, 12 O A 1) ABN – равнобедренный, т. к. значит ВNА= ВAN и AB=BN=12, D тогда Найдем MN=BN-BM=12 -1, 5=10, 5. 2) Аналогично, DMC – равнобедренный, MC=DC=12. Тогда NC= MC-MN=12 -10, 5=1, 5. 3) Значит, ВС=ВМ+MN+NC=13, 5. Рассмотрим первый случай.

№ 4 В параллелограмме ABCD AB=12, биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N, так что BM: MN=1: 7. Найдите ВС. Решение. Рассмотрим второй случай: точка О – лежит вне параллелограмма. O B 12 N М 12 C 1) ABМ– равнобедренный, т. к. ВMА= MAD- накрест лежащие; 12 12 АМ – биссектриса А, значит ВMА= ВAM. D A По условию Тогда АВ=ВМ=12. значит 2) Аналогично DNC– равнобедренный, тогда NC=DC=12. 3) Значит, ВС=ВN+NC=96+12=108. Ответ: 13, 5 или 108.