МОУ Гимназия 4 г о Электросталь Решение

МОУ «Гимназия № 4» г. о. Электросталь Решение заданий 14 (С 2) по материалам ЕГЭ профильного уровня (нахождение углов, расстояний, построение сечений) Презентацию подготовили учителя математики МОУ «Гимназия № 4» г. о. Электросталь Силиванец С. В. , Бродецкая Т. А.

Повторение. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника C b A α bc a h c ac a 2 + b 2 = c 2 В

Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других Квадрат стороны треугольника равен сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла сумме квадратов двух других сторон между ними. минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. 2 a = 2 b C b A + 2 c – 2 bc cos. A a c B

Угол между пересекающимися и скрещивающимися прямыми А 1. С α D 1800 - α 00 < α 900 В 2. Угол между скрещивающимися прямыми АВ и СD определяется как угол между пересекающимися М 1 прямыми А 1 В 1 и С 1 D 1, при D 1 этом А 1 В 1|| АВ и С 1 D 1|| CD. В 1 А 1 α С 1

Угол между плоскостями C F A H D ∠ ((АСН); (СНD)) – это двугранный ∠ АСНD, где СНобщее ребро. Точки А и D лежат на гранях этого угла. AF⊥CH, FD⊥CH. ∠ AFD – линейный угол двугранного ∠ АCHD

Задача № 1 В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ 1 и ВС 1. С 1 Решение: 1) Продлим плоскость ВСС 1, В 1 тогда ∠(AB 1, ВС 1) = ∠(AB 1, DВ 1) = ∠ AВ 1 D, т. к. C 1 В || B 1 D. А 1 1 А С 1 В 3) из ∆ABD по теореме косинусов D

Задача № 1 (продолжение) В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ 1 и ВС 1. С 1 Решение: А 1 В 1 AB 12 + B 1 D 2 – AD 2 4) cos∠AB 1 D = 2·AB 1·B 1 D 1 А 2 + 2 – 3 1 cos∠AB 1 D = = 2· 2 4 С 1 В Ответ: 0, 25. D

Задача № 2 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямой AC 1 и плоскостью ВСC 1. Решение: 1) ВС 1 - проекция С 1 D 1 прямой АС 1 на плоскость(ВCС 1), А 1 В 1 так как AB⊥(ВCС 1) AB⊥ВС 1; ∠(AC 1, (ВCС 1)) = ∠(AС 1, С 1 В) = ∠ AC 1 B, С т. е. ∆АВC 1 – прямоугольный D А В AB a 1 3) tg∠AC 1 B = = BC 1

Задача № 3 Основанием прямой треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ 1, причем ВР : РВ 1 = 1 : 3. Найдите тангенс угла между плоскостями А 1 В 1 С 1 и АСР. В 1 Р В 20 Решение: С 1 1) Так как (АВС)∥(А 1 В 1 С 1), то ∠(( А 1 В 1 С 1) , (АСР)) = ∠((АВС), (АСР)). 32 2) Т. к. ВН АС (высота р/б ∆), А 1 24 то по теореме о трех перпендикулярах РН АС. 3) Тогда ∠РНВ – линейный угол двугранного ∠ РАСВ. Найдем его С из прямоугольного ∆РНВ. 16 4) РВ = ¼ ВВ 1 = ¼ · 24 = 6, Н 5) ВН 2 = АВ 2 – АН 2 (из ∆AНВ) 16 ВН 2 = 202 – 162 = 144, ВН = 12; А 6) tg∠РНВ = PB/HB = 6/12 = 0, 5. Ответ: 0, 5.

Задача № 4 В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD. Решение: 1) Так как ABCD – квадрат, S то АВ ⊥ AD. Поэтому проекция AB на плоскость (SAD) будет ⊥ AD. Значит, искомый угол – С двугранный угол при ребре основания AD. D M O N В А 3) ∠SMO – искомый угол, косинус которого найдем из прямоугольного ∆SMO 0, 5 1 cos∠SMO = = SM

Повторение. Расстояние от точки до прямой Определение. Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой. рп пе р ля ку ди ен

Расстояние от точки до плоскости Определение. Расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости. M на кл он на я перпендикуляр N H NH – проекция наклонной на плоскость ɣ MH < MN МH – расстояние ɣ от М до a плоскости ɣ

Расстояние между скрещивающимися прямыми Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называют отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них. A B a b Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра.

Способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми 1 способ. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой прямой.

Способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми 2 способ. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые.

Способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми 3 способ. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них.

Задача № 5 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки Решение: С до прямой A 1 F 1. 1)Так как ABCDEF – правильный С 1 В 1 шестиугольник, то CA⊥AF. А 1 CA⊥A 1 А по определению D 1 правильной призмы. E 1 F 1 CA⊥(АA 1 F 1) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, т. е. 11 СА –перпендикуляр к плоскости, С В CA 1 - наклонная , A 1 А – проекция наклонной, D А A 1 А ⊥A 1 F 1 ; A 1 F 1 – прямая в плоскости. E 5 F Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CA 1⊥A 1 F 1, значит длина отрезка CA 1 равна искомому расстоянию.

Задача № 5 (продолжение) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки С до прямой A 1 F 1. Решение: С 1 В 1 1) Доказано, что CA 1 - искомое расстояние. D 1 11 E 1 F 1 С А 1 2) Из ∆ АВС (АВ=ВС=5, ) по теореме косинусов найдём СА: В D А E 5 Ответ: 14. F , CA = . 3) Из ∆CAA 1, по теореме Пифагора найдём CA 1: CA 1 2 = 75 + 121 = 196. CA 1 = 14

Задача № 6 Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если АD = , АВ = АС = 10, ВС = . D L К Н A N F М Решение: 1) Построим плоскость КМN. Т. к. КМ – средняя линия ∆АDВ, КМ∥DВ, MN - средняя линия ∆АВC, МN∥CВ, то (KMN)∥(BCD) по признаку ∥ плоскостей. АР–медиана и C ∆АВC высота р/б , KF–медиана и высота р/б ∆KMN. DP⊥BC по теореме о трёх перпендикулярах. KF ∥ DP. Р Искомое расстояние AH равно половине расстояния от вершины А до плоскости B BCD, т. к. (KMN)∥(BCD) и KF – средняя линия ∆ ADP.

Задача № 6 (продолжение). Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если АD = , АВ = АС = 10, ВС = . D К A Решение: 1) Доказано, что AH - искомое расстояние. 2) ∆LDA и ∆ADP подобны по двум углам, L LA: AP=AD: DP, тогда AL=(AP*AD): DP. C Найдём АР из ∆АВР по теореме Н Пифагора (АВ=10, ВР = ): N AP 2 = AB 2 – BP 2 = 100 – 20 = = 80; АР= Найдём DР из ∆АDР F Р по теореме Пифагора: М DP 2 = AD 2 + AP 2 = = 20 + 80 = 100; DP = 10. B Тогда AL =( · ): 10=4 Итак, АН = ½ AL = 2. Ответ: 2.

Задача № 7 В правильной шестиугольной призме АВCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все рёбра равны 1. а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, С 1 и F. б) Найдите расстояние от точки В до прямой C 1 F. Решение: а) 1) ВС 1, BF, FЕ 1 // С 1 B , Е 1 C 1 => Сечение – четырёхугольник BC 1 E 1 F с диагональю C 1 F. 4) Так как ∠CBF=90°, то по теореме о трёх перпендикулярах, BF⟘BC 1. Значит, сечение BC 1 E 1 F – прямоугольник. Диагональ прямоугольника C 1 F 2=BF 2+BC 12; C 1 F 2=3+2=5.

Задача № 7 (продолжение) В правильной шестиугольной призме АВCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все рёбра равны 1. а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, С 1 и F. б) Найдите расстояние от точки В до прямой C 1 F. Решение. б) Сечение – прямоугольник BC 1 E 1 F. ВК ⊥C 1 F, ВК – искомое расстояние от точки В до прямой C 1 F. Найдем ВК как высоту из ∆FBС 1, Используя 2 формулы площади треугольника.

Задача № 8 Основанием прямой четырехугольной призмы является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна . Точка K − середина ребра ВВ 1. Через точки K и С 1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD 1. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником. б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α. Решение. а) Для построения сечения призмы плоскостью α, проведём КЕ||BD 1, E € B 1 D 1. Плоскость α проходит через точки К, С 1 и Е. Так как К – середина ВВ 1 и КЕ||BD 1, то Е – середина диагонали А 1 С 1 квадрата А 1 В 1 С 1 D 1. Значит, плоскость α пересекает грань А 1 В 1 С 1 D 1 по диагонали А 1 С 1. Соединив точки К, С 1 и А 1, получаем ∆А 1 КС 1 - сечение призмы плоскостью α. ∆А 1 КВ 1= ∆С 1 КВ 1 по двум сторонам и углу между ними (А 1 В 1=С 1 В 1), В 1 К – общая сторона, . Из равенства треугольников следует, что А 1 К=С 1 К, значит ∆А 1 КС 1 - равнобедренный.

Задача № 8 (продолжение) Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна . Точка K − середина ребра ВВ 1. Через точки K и С 1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD 1. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником. б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α. Решение. б)

Задачи для самостоятельного решения 1) На ребре AA 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка E так, что A 1 E : EA = 2: 5, на ребре BB 1 — точка F так, что B 1 F : FB =1: 6, а точка Т — середина ребра B 1 C 1. Известно, что AB = 5, AD = 6 , AA 1 =14. а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D 1. б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA 1 B 1. 2) Дана правильная треугольная призма ABCA 1 B 1 C 1, все рёбра которой равны 4. Через точки A, С 1 и середину T ребра А 1 В 1 проведена плоскость. а) Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником. б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC. Ответ: б) arctg 2.

Задачи для самостоятельного решения 3) В правильной шестиугольной призме А…F 1 все рёбра равны 2. а) Докажите, что плоскость ВВ 1 F перпендикулярна прямой В 1 С 1. б) Найдите расстояние от точки В до плоскости F В 1 С 1. 4) В пирамиде DАВС известны длины ребер АВ=АС=DВ=DС=13, DА =6, ВС=24. а) Постройте прямую, перпендикулярную прямым DА и ВС. б) Найдите расстояние между прямыми DА и ВС. Ответ: б) 4.

Задачи для самостоятельного решения 5) Высота правильной треугольной пирамиды равна 20, а медиана её основания равна 6. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через её вершину и перпендикулярной ребру основания. б) Найдите тангенс угла, который образует боковое ребро с плоскостью основания. Ответ: б) 5. 6) В правильной четырёхугольной пирамиде МАВСD с вершиной М сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 6. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку С и середину ребра МА параллельно прямой ВD. б) Найдите площадь этого сечения. Ответ: б) 6.

Используемая литература: 1) И. В. Ященко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин «Подготовка к ЕГЭ по математике 2016, профильный уровень» , Москва, издательство МЦНМО, 2016. 2) Интернет-ресурсы: http: //www. fipi. ru/ http: //mathege. ru/or/ege/Main https: //math-ege. sdamgia. ru/ http: //alexlarin. net/ https: //ege-ok. ru/ 3) Шаблон презентации сайт http: //pedsovet. su/ , автор Фокина Л. П.