Московский государственный университет путей сообщения Спектры землетрясений Курбацкий

Московский государственный университет путей сообщения Спектры землетрясений Курбацкий Евгений Николаевич профессор кафедры “Мосты и тоннели”, д. т. н.

Введение Спектры реакций (ответов) одна из наиболее важных, полезных и широко используемых концепций в теории и практике расчётов сооружений на сейсмостойкость. Предложенная более 80 -ти лет назад, в настоящее время эта концепция используется практически во всех зарубежных нормативных документах и руководствах по расчёту сооружений на сейсмостойкость.

В статье известного американского учёного А. К. Chopra «Спектр ответа упругих систем. Исторические заметки» отмечается, что «концепция спектров ответов хорошо интегрировалась в теорию и практику инженерных расчётов сооружений на сейсмостойкость, но многие исследователи и инженеры, использующие эту концепцию, не знают происхождения концепции и добавим от себя, не понимают физической сущности этой концепции» .

В Российских нормах для оценки сейсмических воздействий используется понятие «спектральный коэффициент динамичности» -. Кривые коэффициента динамичности в российских нормах строятся как функции периода свободных колебаний осциллятора. Это практически та же концепция, названная по-другому. Почему разработчики Российских норм, знакомые и использующие эту уже распространенную в ту пору концепцию (а это были семидесятые годы прошлого столетия) применили для её представления менее удачные в данном случае термины «динамические коэффициенты» , остаётся только догадываться.

История появления концепции Экспериментальные исследования Впервые идея использования спектров максимальных реакций для представления сейсмических воздействий была изложена в 1926 году в бюллетене Института исследования землетрясений Императорского Токийского Университета в статье первого директора Института K. A. Сюэхиро.

Анализатор сейсмических колебаний 13 -ть оссциляторов, с различными собственными частотами, изменяющимися в диапазоне от 0. 55 до 4. 5 Гц (с периодами в диапазоне от 0. 22 до 1. 81 сек).

Основные положения Определение. «Спектр ответов - график максимальных реакций: перемещений, скоростей, ускорений, или других максимальных параметров совокупности осцилляторов (систем с одной степенью свободы) на заданное воздействие. Ординаты спектра ответов - максимальные значения реакций осцилляторов на заданное воздействие, абсцисса спектра - собственные частоты осцилляторов или периоды собственных колебаний.

Численные методы построения спектров ответов С появлением быстродействующих компьютеров возможности реализации численных методов с использованием больших массивов чисел существенно возросли. Разработке численных методов построения спектров ответов способствовал и тот факт, что современные измерительные комплексы позволяют получать сейсмограммы колебаний поверхности грунта при землетрясениях в цифровой, удобной для дальнейшей обработки форме.

Способы построения спектров ответов с использованием численных методов, которые легко реализуются в пакете программ Matlab: - интеграл Дюамеля - метод прямого (пошагового) интегрирования, - -метод Вильсона, - -метод Ньюмарка, - метод Рунге – Кутта, - метод решения с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье

Для построения спектров максимальных реакций рассматриваются простейшие механические системы, динамические свойства которых определяются тремя параметрами: массой m , жёсткостью k и демпфированием c

Два предельных случая Масса жёстко прикреплена к колеблющемуся основанию рис. а) Масса соединена с основанием очень гибкими связями рис. б).

В общем случае, когда жёсткости связей характеризуются некоторой конкретной величиной, максимальные амплитуды колебаний массы могут превысить амплитуды колебаний основания вследствие возникновения резонансных явлений.

Дифференциальное уравнение колебаний механической системы при сейсмическом воздействии

При известном уравнении колебаний грунта реакция сооружения зависит от собственной частоты колебаний и демпфирования Собственная частота колебаний конструкции Коэффициент демпфирования Ускорение колебаний поверхности грунта при землетрясении

Колебания системы с одной степенью свободы при кинематическом (сейсмическом) воздействии

Пример построения спектра максимальных реакций

Пример построения спектра максимальных реакций (продолжение)

Спектр максимальных перемещений (см) для систем c коэффициентом демпфирования при воздействии Калифорнийского землетрясения

Спектры максимальных перемещений для систем с разными коэффициентами демпфирования Для учёта демпфирующих свойств конструкций из различных строительных материалов необходимо построить семейство спектральных кривых, с различными коэффициентами демпфирования: - для конструкций из стали коэффициент демпфирования равен 0. 02, если уровень напряжений меньше, чем ½ от напряжений предела текучести, - для бетона коэффициент демпфирования зависит от уровня напряжений и находится в пределах: от 0. 02 до 0. 04, - для резинометаллических опорных частей этот коэффициент может меняться в широких пределах: от 0. 06 до 0. 12. Коэффициент демпфирования грунтов зависит от уровня деформаций и может изменяться в пределах 0. 5% - 2%.

Графики спектров максимальных перемещений, скоростей и ускорений при воздействии землетрясения Нортридж для систем с различными коэффициентами демпфирования:

Для построения спектров ответов необходимо решить дифференциальное уравнение: Для получения решения можно воспользоваться интегралом Дюамеля:

Псевдоспектры максимальных перемещений, скоростей и ускорений Спектры максимальных скоростей и спектры максимальных ускорений могут быть получены таким же образом, как определялись спектры максимальных перемещений. Разница будет заключаться в том, что вместо определения пиковых значений перемещений необходимо будет определять пиковые значения скоростей и пиковые значения ускорений. - спектр максимальных абсолютных ускорений, - спектр максимальных относительных скоростей, - спектр максимальных относительных перемещений.

Вместо этого используют приближённый способ, полагая, что зависимость спектра перемещений от времени представляет собой гармоническую функцию. В таком случае спектр максимальных скоростей определяется выражением: Спектр максимальных определяется выражением: ускорений

Можно показать, что для построения спектров достаточно определить только спектр псевдоскоростей по формуле: Для систем с малыми коэффициентами демпфирования, к которым можно отнести, практически, большинство строительных конструкций, справедливы соотношения:

Трёхординатный (tripartite) график псевдоспектров Учитывая зависимость: три графика, а именно: график псевдоспектров скоростей, график перемещений и график ускорений, можно совместить в одном. Прологарифмировав выше представленное соотношение, получим:

В логарифмических координатах эти функции имеют вид: где

Если по оси ординат откладывать координаты логарифма псевдоскорости, а по оси абсцисс логарифм круговой частоты, то этот же график можно использовать для представления спектра перемещений, для чего необходимо ввести новые оси координат, повёрнутые на угол

Для построения графика псевдоускорений, совмещенного с графиком псевдоскорости, необходимо добавить оси, повёрнутые на

Спектры различных землетрясений отличаются между собой. В качестве примера приведём графики спектров шести землетрясений, нормализованных к максимальному значению ускорения, равному 0. 5 g

Два предельных случая Масса жёстко прикреплена к колеблющемуся основанию рис. а) Масса соединена с основанием очень гибкими связями рис. б).

Построение расчётных спектров ответов В качестве исходных данных используются пиковые значения ускорений, скоростей и перемещений поверхности грунта и коэффициенты усиления колебаний (коэффициенты динамичности): На основании статистической обработки акселерограмм большого количества землетрясений были получены соотношения, позволяющие получать спектры реакций, если известно пиковое значение ускорений грунта. Рекомендуемые соотношения для жёстких грунтов имеют следующий вид:

Методика построения спектров Ньюмарка Холла Построение спектров Ньюмарка основано на следующих положениях: - псевдоускорения при очень малых периодах колебаний равны пиковым ускорениям грунта; - относительные перемещения при больших периодах колебаний равны пиковым перемещениям грунта; - при промежуточных периодах псевдоскорости считаются постоянными и определяются значением пикового ускорения, умноженного на некоторую постоянную величину. Огибающие спектры повторяют эту конфигурацию за исключением переходных отрезков прямых.

Спектры ответов Ньюмарка Холла

1) ; 0 ≤ TB: Спектр Ньюмарка-Холла и вид спектра, принятого в Европейских нормах

Расчётные спектры откликов США

Спектры откликов EUROCODE 8

Значения коэффициента динамичности βi в зависимости от расчетного периода собственных колебаний Ti здания или сооружения по i-й форме СП 14. 13330. 2012

Спектры Фурье ускорений грунта при землетрясениях

Спектры Фурье скоростей и перемещений Функции ускорений, скоростей и перемещений при землетрясении Loma Prieta Спектры Фурье

Соотношения между интегралом Фурье и спектрами максимальных реакций (спектрами ответов)

Заключение При задании исходной информации и при расчёте любых сооружений на сейсмические воздействия удобно использовать и спектры Фурье, и спектры ответов. В нормативных документах практически во всех странах мира используется концепция спектров ответов. Между спектрами Фурье и спектрами ответов существует простая связь: амплитудный спектр Фурье ускорений колебаний грунта совпадает с псевдоспектром скоростей Спектры Фурье представляют характеристики реальных движений грунта, в то время как спектры ответов - это реакции систем, находящихся на грунте, в предположении, что колебания оснований сооружений совпадают с колебаниями «свободного поля» . Следует отметить, что колебания основания сооружений не совпадают с колебаниями «свободного поля» .