МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНОЙ ЭКОЛОГИИ Кафедра технической кибернетики и автоматизации НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ Софиев А. Э. © Софиев А. Э.
Содержание Часть 2. Нелинейные системы автоматического регулирования 7. Статические и динамические характеристики нелинейных систем 7. 1. Особенности нелинейных систем 7. 2. Типовые нелинейности систем автоматического регулирования 7. 3. Метод гармонической линеаризации 8. Метод фазовой плоскости 8. 1. Основные понятия 8. 2. Фазовые портреты линейной системы второго порядка 8. 3. Особенности фазовых портретов нелинейных систем 8. 4. Методы построения фазовых портретов нелинейных систем 9. Устойчивость нелинейных систем 9. 1. Устойчивость по Ляпунову 9. 2. Первый метод Ляпунова 9. 3. Второй метод Ляпунова 10. Методы определения автоколебаний в нелинейных системах 10. 1. Общие понятия об автоколебаниях 10. 2. Метод гармонического баланса 10. 3. Метод точечного преобразования 2
7. Статические и динамические характеристики нелинейных систем 7. 1. Особенности нелинейных систем Нелинейными называются системы, которые не подчиняются принципу суперпозиции. Система будет нелинейной, если она содержит хотя бы одно звено, для которого не выполняется принцип суперпозиции. n 3
7. 1. Особенности нелинейных систем (лист 2) 1. Реакция на гармонический сигнал. В нелинейных системах вынужденные колебания могут отличаться от входного гармонического сигнала, как по форме, так и по частоте. Например, для нелинейного элемента со статической характеристикой yнэ = /x/ (рис. 7. 1) вынужденные колебания не являются гармоническими и их частота вдвое больше, чем частота входных колебаний. Рис. 7. 1. Пример вынужденных колебаний нелинейного элемента 4
7. 1. Особенности нелинейных систем (лист 3) 2. Свойства частотных характеристик. Частотные характеристики нелинейных систем существенно зависят от амплитуды входного сигнала. Например, для некоторых нелинейностей (пример см. рис. 7. 2) при малых амплитудах А входного сигнала (А < а) система ведет себя как линейная, а при больших амплитудах (А > а) выходные колебания искажаются. Рис. 7. 2. Иллюстрация зависимости частотных характеристик нелинейного элемента от амплитуды входного сигнала 5
7. 1. Особенности нелинейных систем (лист 4) 3. Понятие устойчивости. Нелинейная система может быть устойчивой «в малом» или устойчивой «в большом» . В первом случае при малых начальных отклонениях система ведет себя как устойчивая, а при значительных отклонениях — как неустойчивая нелинейных системах Таким устойчивость образом, в состояния равновесия зависит от начальных условий. Поэтому в нелинейных системах возможны различные типы движения в зависимости от начальных условий. 6
7. 1. Особенности нелинейных систем (лист 5) 4. Периодические (незатухающие) колебания. В нелинейных системах возможны незатухающие колебания, амплитуда и частота которых не зависят от начальных условий и определяются свойствами системы. Такие колебания называются автоколебаниями. Примерами автоколебательных систем могут служить Автоколебания наблюдаются также при определенных условиях в системах автоматического регулирования, содержащих нелинейные элементы. 7
7. 2. Типовые нелинейности систем автоматического регулирования (лист 1) Динамические нелинейности описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Статические нелинейности — это безынерционные нелинейности. Выходная переменная звена, обладающего статической нелинейностью, в каждый момент времени зависит лишь от значения входной переменной в тот же момент времени. Таким образом, вход и выход безынерционного нелинейного элемента связаны между собой нелинейной функциональной зависимостью. 8
Типовые нелинейности с однозначными характеристиками 9
n n n Усилительное звено с ограничением входного сигнала (звено с насыщением) является характерной нелинейностью практически для любой системы регулирования, так как ее элементы всегда работают в условиях ограничений по мощности, по перемещениям и т. п. (например, для регулирующего клапана). Усилительное звено с зоной нечувствительности отражает наличие в любом элементе АСР большего или меньшего предела чувствительности. Двухпозиционное реле используют в позиционных системах регулирования, в системах сигнализации, а также в специальных устройствах, применяемых для форсирования управляющего сигнала в случае большого рассогласования между переменной и заданием. Общими особенностями указанных элементов являются однозначность статических характеристик и отсутствие фазового сдвига между входными и выходными колебаниями. 10
Типовые нелинейности с гистерезисом 11
7. 3. Метод гармонической линеаризации (лист 1) Если на вход безынерционного элемента с характеристикой у = f(x) подается гармонический сигнал х = A sin ωt, то на выходе элемента устанавливаются периодические колебания, которые можно представить с помощью ряда Фурье в виде суммы гармонических составляющих: 12
7. 3. Метод гармонической линеаризации (лист 2) Предположим, что по сравнению с первой гармоникой все высшие гармоники, начиная со второй, имеют достаточно малую амплитуду и ими можно пренебречь. Тогда уравнение вынужденных колебаний имеет вид или где 13
7. 3. Метод гармонической линеаризации (лист 3) Сравнивая первую гармоническую составляющую выходного сигнала (7. 1) с входным сигналом, можно вывести частотные характеристики нелинейного элемента, аналогичные частотным характеристикам линейных систем: К таблице 7. 1 К таблице 7. 214
7. 3. Метод гармонической линеаризации (лист 4) Примеры частотных характеристик нелинейных элементов Рис. 7. 3. Инверсные АФХ двухпозиционных реле: а — идеальное реле; б — реле с гистерезисом К таблице 7. 1 К таблице 7. 215
8. Метод фазовой плоскости 8. 1. Основные понятия Фазовым называется такое пространство, в котором прямоугольными координатами точки являются величины, определяющие мгновенное состояние системы. Эти величины называются фазовыми координатами системы. Очевидно, что их число равно числу степеней свободы системы. n Фазовые координаты могут иметь любой физический смысл (температура, давление, концентрация и т. п. ). Часто в качестве фазовых координат выбирают выходную переменную y(t) и ее производные по времени. n 16
8. Метод фазовой плоскости 8. 1. Основные понятия (лист 2) Метод фазового пространства применим как для линейных, так и для нелинейных систем. Пусть имеется линейное дифференциальное уравнение n-го порядка Этому уравнению будет соответствовать система из n линейных дифференциальных уравнений первого порядка: (8. 2) В (8. 2) будут равны нулю функции f 1(t)=f 2(t)=. . . = fn (t) = 0. 17
8. Метод фазовой плоскости 8. 1. Основные понятия (лист 3) В аналогичной форме записывают уравнения и для нелинейной системы: В приведенных уравнениях y 1, . . . , yn являются фазовыми координатами, F 1, . . . , Fn — нелинейные функции. Точка фазового пространства (рис. 8. 1), соответствующая состоянию системы в момент времени t, называется изображающей точкой (М). Изменению состояния системы со временем будет соответствовать движение изображающей точки в фазовом пространстве по определенной траектории, которая называется фазовой траекторией. Следовательно, каждому переходному процессу в реальной системе 18 будет соответствовать
8. Метод фазовой плоскости 8. 1. Основные понятия (лист 4) Наибольшее распространение метод фазового пространства получил при исследовании систем второго порядка. В этом случае фазовым пространством является плоскость. В фазовых координатах дифференциальные уравнения нелинейной системы второго порядка записывают в виде (8. 4) где Р и Q — нелинейные функции. Разделив второе уравнение на первое, исключим время и получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий: (8. 5) Решение дифференциального уравнения (8. 5) дает семейство интегральных кривых на фазовой плоскости, по которым строят фазовые траектории данной системы. 19
8. 2. Фазовые портреты линейной системы второго порядка (лист 1) (8. 7) (8. 8) → y(t) → y 1(t), dy/dt → y 2(t), (8. 7)/ (8. 8) → (8. 9) уравнение фазовых траекторий Из (8. 9) → постоянные интегрирования. Вид функции f определяется коэффициентами шесть вариантов корней p 1, p 2 20
8. 2. Фазовые портреты линейной системы второго порядка (лист 2) Шесть вариантов свободного движения системы 1 — корни чисто мнимые (система на границе устойчивости) 2 — корни комплексные с отрицательной действительной частью 3 — корни комплексные с положительной действительной частью 4 — корни действительные отрицательные 21
8. 2. Фазовые портреты линейной системы второго порядка (лист 3) Шесть вариантов свободного движения системы (продолжение) 5 — корни действительные положительные (неустойчивая система с неколебательным свободным движением) 6 — корни действительные разных знаков (неустойчивая система с неколебательным свободным движением) 22
8. 2. Фазовые портреты линейной системы второго порядка (лист 4) Типы фазовых портретов для 6 -ти вариантов свободного движения системы Случай 1. → (8. 10) (8. 11) (8. 12) Уравнение (8. 12) представляет собой уравнение семейства эллипсов с полуосями С и Сω. 23
8. 2. Фазовые портреты линейной системы второго порядка (лист 5) 24
8. 2. Фазовые портреты линейной системы второго порядка (лист 6) Типы фазовых портретов для 6 -ти вариантов свободного движения системы (продолжение) Случай 2. (8. 13) → (8. 14) 25
8. 2. Фазовые портреты линейной системы второго порядка (лист 7) Типы фазовых портретов для 6 -ти вариантов свободного движения системы (продолжение) Случай 3. (8. 15) → (8. 16) 26
8. 2. Фазовые портреты линейной системы второго порядка (лист 8) Типы фазовых портретов для 6 -ти вариантов свободного движения системы (продолжение) Случай 4. 27
8. 2. Фазовые портреты линейной системы второго порядка (лист 9) Типы фазовых портретов для 6 -ти вариантов свободного движения системы (продолжение) Случай 5. 28
8. 2. Фазовые портреты линейной системы второго порядка (лист 10) Типы фазовых портретов для 6 -ти вариантов свободного движения системы (продолжение) Случай 6. при → → 29
8. 3. Особенности фазовых портретов нелинейных систем В нелинейной системе характер особой точки определяет поведение фазовых траекторий только вблизи от начала координат, т. е. при малых отклонениях от состояния равновесия системы. Рис. 8. 8. Примеры фазовых портретов нелинейных систем с автоколебаниями Кроме особой точки, находящейся в начале координат, фазовый портрет нелинейной системы содержит и особую траекторию — изолированную замкнутую траекторию, 30 называемую предельным циклом.
8. 3. Особенности фазовых портретов нелинейных систем (лист 2) В системе может быть не один, а несколько предельных циклов, соответствующих нескольким возможным автоколебательным режимам, отличающимся друг от друга амплитудой и периодом. Какой именно из режимов установится в системе, зависит от начальных условий (рис. 8. 9). Предельные циклы — одна из разновидностей особых линий — изолированных линий или фазовых траекторий. 31
8. 3. Особенности фазовых портретов нелинейных систем (лист 3) Пример фазового портрета нелинейной системы с тремя особыми точками: устойчивый фокус (А), неустойчивый узел (В) и седло (С). Сепаратрисы седла выделяют здесь четыре области: в области 1 затухающие колебания, в области 2 — автоколебания, области 3 и 4 - неустойчивые апериодические процессы. Рис. 8. 10. Фазовый портрет нелинейной системы с тремя особыми точками Предельные циклы — одна из разновидностей особых линий — изолированных линий или фазовых траекторий. 32
8. 3. Особенности фазовых портретов нелинейных систем (лист 4) Интересной особенностью обладают нелинейные системы с элементами, имеющими зону нечувствительности и сухое трение. В этом случае установившемуся состоянию будет соответствовать не один, а целая область стационарных режимов. На фазовой плоскости это выражается в том, что особая точка «вытягивается» в особую линию (рис. 8. 11). 33
8. 4. Методы построения фазовых портретов нелинейных систем Для построения фазовых портретов нелинейных систем обычно используют приближенные методы: - численное интегрирование уравнений для фазовых траекторий с применением средств вычислительной техники; - метод изоклин; - метод припасовывания. 34
8. 4. Методы построения фазовых портретов нелинейных систем (лист 2) Метод изоклин используют для качественной оценки поведения фазовых траекторий и он имеет сравнительно невысокую точность. Изоклиной (т. е. кривой равного наклона) называется геометрическое место точек, в которых касательные ко всем интегральным кривым наклонены под одним и тем же углом к оси абсцисс. Если дифференциальное уравнение фазовых траекторий имеет вид то для получения уравнения изоклин нужно принять где С— произвольно варьируемая константа. Задавая значение С = С*, из уравнения (8. 22) получим уравнение изоклины Во всех точках этой изоклины фазовые траектории наклонены под углом arctg С* к оси абсцисс. 35
8. 4. Методы построения фазовых портретов нелинейных систем (лист 3) Для того, чтобы построить фазовый портрет, необходимо получить семейство изоклин для различных значений С, на каждой из них нанести стрелки под углом arctg С к оси абсцисс и по ним восстановить фазовые траектории. Очевидно, что точность фазового портрета зависит от числа изоклин, по которым он строится. Особым точкам на фазовом портрете будут соответствовать точки пересечения нескольких изоклин, так как в них направление фазовых траекторий становится неопределенным. 36
8. 4. Методы построения фазовых портретов нелинейных систем (лист 4) Пример. Проиллюстрируем метод изоклин на примере линейного консервативного звена, которое описывается дифференциальным уравнением второго порядка Дифференциальное уравнение для фазовых траекторий и уравнение изоклин Таким образом, изоклины для консервативного звена представляют собой прямые, проходящие через начало координат. На рис. 8. 13 показано построение фазового портрета консервативного звена по изоклинам. Рис. 8. 13. Построение фазового портрета для консервативного звена 37
8. 4. Методы построения фазовых портретов нелинейных систем (лист 5) Метод припасовывания используют для построения фазовых портретов нелинейных систем в тех случаях, когда возможна кусочно -линейная аппроксимация нелинейной характеристики. Общий фазовый портрет системы получается «сшиванием» (или припасовыванием) фазовых траекторий, найденных на отдельных участках. Границей между этими участками являются линии переключения. Пример. Нелинейная система описывается следующими уравнениями: Начальные условия: Как следует из приведенных уравнений, на фазовой плоскости можно выделить два участка, каждый из которых выражает одна из двух систем линейных уравнений: или 38
8. 4. Методы построения фазовых портретов нелинейных систем (лист 6) Границей между этими участками является линия ABCD (рис. 8. 14), называемая линией переключения. При заданных начальных условиях изображающая точка находится на входе в участок DCF, следовательно, первый отрезок траектории М 0 М 1 определяем интегрированием уравнений (8. 24) при начальных условиях y 10, y 20. Поделив второе уравнение на первое, получим траектории будет: , С 0 =3/2. Конечную точку первого участка траектории — М, находим как точку пересечения с линией переключения АВ Координаты точки М, являются начальными условиями для решения уравнения (8. 25), которое описывает второй участок фазовой траектории M 1 M 2 : Координаты точки М 2 определим как координаты точки пересечения M 1 M 2 с линией переключения CD Продолжая аналогичные рассуждения, находим остальные участки 39
8. 4. Методы построения фазовых портретов нелинейных систем (лист 7) . Рис. 8. 14. Фазовый портрет системы с линией переключения 40
9. Устойчивость нелинейных систем 9. 1. Устойчивость по Ляпунову Состояние равновесия является устойчивым, если для любой заданной области допустимых отклонений ε (рис. 9. 1) можно указать такую область η(ε), окружающую состояние равновесия, что ни одно движение, начинающееся внутри η никогда не достигнет границы ε. n Рис. 9. 1. К понятию устойчивости состояния равновесия 41
9. Устойчивость нелинейных систем (лист 3) 9. 1. Устойчивость по Ляпунову (продолжение) Состояние равновесия называется неустойчивым, если может быть указана такая область отклонений от состояния равновесия (область ε), для которой не существует области η), окружающей состояние равновесия и обладающей тем свойством, что ни одно движение, начинающееся внутри η никогда не достигнет границы области ε. n Рис. 9. 1. К понятию устойчивости состояния равновесия 42
9. Устойчивость нелинейных систем (лист 4) 9. 1. Устойчивость по Ляпунову (продолжение) Условия устойчивости Состояние равновесия устойчиво, если для любого заданного ε > 0 имеется такое η(ε) что, если при t = 0 На фазовой плоскости этому определению соответствует квадрат 2ε, внутри которого находится начальная точка фазовой траектории. Требование устойчивости означает, что фазовые траектории, начавшиеся внутри квадрата 2 η не должны выходить из квадрата 2 ε. 43
9. Устойчивость нелинейных систем (лист 3) Устойчивость по Ляпунову Устойчивость «в малом» Устойчивость состояния равновесия по Ляпунову гарантирует устойчивость «в малом» , т. е. при небольших отклонениях от состояния равновесия. Однако такая система может оказаться неустойчивой в большом (рис. 9. 2) Рис. 9. 2. Иллюстрация к понятию устойчивости «в малом» 44
9. Устойчивость нелинейных систем 9. 2. Первый метод Ляпунова Для исследования устойчивости нелинейных систем Ляпуновым предложено два метода. Первый из них позволяет исследовать устойчивость системы «в малом» , а второй — «в большом» . n Постановка задачи Уравнения исходной нелинейной системы: Необходимо исследовать устойчивость состояния равновесия с координатами (Y 10 , Y 20). Очевидно, что в состоянии равновесия , т. е. точка (Y 10 , Y 20) - одна из точек пересечения кривых P(Y 1 , Y 2) = 0 и Q (Y 1 , Y 2) = 0. Гак как нашей задачей является исследование устойчивости состояния равновесия (Y 10 , Y 20), то это означает, что нас интересует характер движения вблизи от состояния 45 равновесия.
9. 2. Первый метод Ляпунова (лист 2) Введем новые переменные у1, у2, которые характеризуют отклонения от состояния равновесия. Если P(Y 1 , Y 2) и Q (Y 1 , Y 2) являются аналитическими функциями, то их можно разложить в ряд Тейлора: где y 1 = Y 1 – Y 10 , (9. 2) у2 = Y 2 – Y 20 ; R 1 и R 2 объединяют все члены степени выше первой относительно y 1 и у2. 46
9. 2. Первый метод Ляпунова (лист 3) Первый метод исследования устойчивости, предложенный Ляпуновым, заключается в следующем. Перейдем к уравнениям в отклонениях от состояния равновесия (9. 2) и отбросим нелинейные члены: (9. 3) Это линейная система с постоянными коэффициентами с характеристическим уравнением (9. 4) Характер устойчивости решения определяется корнями р1, р2 уравнения (9. 4). Если эти корни находятся в левой полуплоскости комплексного переменного, то система первого приближения устойчива. 47
9. 2. Первый метод Ляпунова (лист 4) Теоремы Ляпунова 1. Если линейная система первого приближения устойчива, то и состояние равновесия исходной нелинейной системы будет устойчиво. 2. Если линейная система первого приближения неустойчива, то состояние равновесия исходной нелинейной системы также будет неустойчиво. 3. Если находится на линейная границе система первого устойчивости, то приближения судить об устойчивости нелинейной системы по уравнениям первого приближения нельзя и необходимо рассматривать исходную нелинейную систему. 48
9. 2. Первый метод Ляпунова (лист 5) Пример. Исходная нелинейная уравнениями: система описывается Условие: Имеем два состояния равновесия: A(1, 1) и B(-1, -1). Линеаризованная система уравнений для ( • ) Соответствующее характеристическое уравнение корни: p 1=1+I, p 2=1 - I, т. е. ( • ) А соответствует неустойчивому состоянию равновесия типа «фокус» . Значит, согласно второй теореме Ляпунова, состояние равновесия исходной нелинейной системы, соответствующее ( • ) А , также неустойчиво. 49
9. 2. Первый метод Ляпунова (лист 6) Рассмотрим второе состояние равновесия ( • ) В. Линеаризованная система уравнений для этого случая имеет вид : Соответствующее характеристическое уравнение: Значит линеаризованная система, а следовательно, и исходная нелинейная система в этом состоянии равновесия неустойчивы. 50
9. Устойчивость нелинейных систем 9. 3. Второй метод Ляпунова позволяет исследовать абсолютную устойчивость нелинейной системы или устойчивость в большом. Вспомогательные сведения n Теорема Ляпунова Если для заданной нелинейной системы n-го порядка можно подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова V(y 1, y 2, . . . , уn), чтобы ее производная по времени d. V/dt, взятая вдоль фазовой траектории, т. е. с учетом системы (9. 5), также была знакоопределенной (или знакопостоянной), но имела знак, противоположный знаку V, то данная система устойчива, причем для знакоопределенной функции d. V/dt — асимптотически устойчива. Геометрическая иллюстрация 51
9. 3. Второй метод Ляпунова (лист 2) Вспомогательные сведения (лист 1) I. Функция нескольких переменных: V=V(y 1, y 2, … , yn). Функция V знакоопределенная в данной области, если она во всех точках этой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде, кроме начала координат, не обращается в нуль. Функция V называется знакопостоянная, если она в рассматриваемой области не меняет знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат. Функция V называется знакопеременная, если она в данной области вокруг начала координат меняет свой знак. 52
9. 3. Второй метод Ляпунова (лист 2) Вспомогательные сведения (лист 2) Примеры n Функция вида знакоопределенной значениях при любых действительных y 1 , y 2 … yn. Функция V=0 в начале координат, где Функция будет знакопостоянной, т. к. она >0 во всех точках справа от прямой y 1= - y 2 и <0 слева от этой прямой. n 53
9. 3. Второй метод Ляпунова (лист 3) Вспомогательные сведения (лист 3) II. Пусть имеется некоторая нелинейная система n-го порядка, уравнения которой записаны в отклонениях от значений переменных в стационарном состоянии: (9. 5) Координаты состояний равновесия должны удовлетворять условиям семейство поверхностей тельная функция. Построим в фазовом пространстве (для n=3) , где V - знакоопределенная положи. Знакоопределенная функция V (y 1, y 2, … , yn), производная от которой не будет знакопеременной функцией, называется функцией Ляпунова Рис. 9. 3. Линии уровня функции V и движение изображающей точки 54
9. 3. Второй метод Ляпунова (лист 4) Вспомогательные сведения (листы 3) III. Полная производную от функции Ляпунова по времени Подставляя из системы (9. 5) , получим: где F 1 , F 2 , … , Fn — правые части уравнений (9. 5). Таким образом, производная от функции Ляпунова, так же, как и сама функция Ляпунова, зависит от переменных y 1, y 2, … , yn и обращается в нуль при y 1 = y 2 =. . . = yn = 0. Теорема Ляпунова 55
9. 3. Второй метод Ляпунова (лист 5) Геометрическая иллюстрация теоремы Ляпунова на примере системы третьего порядка: Рис. 9. 3. Линии уровня функции V и движение изображающей точки 57
9. 3. Второй метод Ляпунова (лист 5) Полная производная от функции Ляпунова по времени Подставляя Получим зависит от переменных из где (9. 5) из и обращается в 0 при 58
10. Методы определения автоколебаний в нелинейных системах 10. 1. Общие понятия об автоколебаниях Примерами автоколебательных систем могут служить 59
10. Методы определения автоколебаний в нелинейных системах 10. 1. Общие понятия об автоколебаниях (продолжение) Критерий Бендиксона Система описывается уравнениями Где и — нелинейные функции, аналитические на всей фазовой плоскости. Если в некоторой области на фазовой плоскости выражение знакопостоянно, то в этой области не существует замкнутых фазовых траекторий. 60
10. Методы определения автоколебаний в нелинейных системах 10. 1. Общие понятия об автоколебаниях (продолжение) Пример применения критерий Бендиксона Нелинейная система описывается уравнениями: Y 1 , Y 2 – текущие концентрации реагентов А и В; Y 10 , Y 20 – входные концентрации; λ – расход; t – время. В соответствии с критерием Бендиксона находим: При Y 1>0 и Y 2>0 эта функция будет знакопостоянной отрицательной, в рассматриваемой системе автоколебания существовать не могут. 61
10. Методы определения автоколебаний в нелинейных системах 10. 2. Метод гармонического баланса Линейная часть Wлч(iω) Нелинейный элемент Zнэ(i. A) Рис. 10. 1. Обобщенная структурная схема нелинейной системы Рис. 10. 2. Амплитудно-частотная характеристика линейной части системы 62
10. Методы определения автоколебаний в нелинейных системах 10. 2. Метод гармонического баланса (продолжение) По критерию Найквиста границе устойчивости замкнутой системы соответствует уравнение: (10. 1) Если (10. 1) имеет действительное положительное решение (ωа , Аа), то в системе возможны и амплитудой Аа. автоколебания с частотой ωа 63
10. Методы определения автоколебаний в нелинейных системах 10. 2. Метод гармонического баланса (продолжение) Рис. 10. 3. Амплитудно-фазовые характеристики линейной и нелинейной частей системы Рис. 10. 4. Амплитудно-фазовые характеристики нелинейных систем с неустойчивыми автоколебаниями (а) и без автоколебаний (б) 64
10. Методы определения автоколебаний в нелинейных системах 10. 3. Метод точечного преобразования Рис. 10. 5. Пример точечного преобразования (а) и график функции последования (б) 65
10. Методы определения автоколебаний в нелинейных системах 10. 3. Метод точечного преобразования (продолжение) Рис. 10. 6. Примеры фазовых портретов для нелинейных систем и графики функций последования 66
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Софиева Ю. Н. , Софиев А. Э. Теория управления. Текст лекций. – М. : МГУИЭ, 2002. – 184 с. 1. Теория автоматического управления. Ч. 1. Теория линейных систем автоматического управления / Под ред. А. А. Воронова. — М. : Высшая школа, 1986. - 367 с. 2. Дудников Е. Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов. — М. : Госэнергоиздат, 1956. — 264 с. 3. Цыпкин Я. З. Основы теории автоматических систем. — М. : Наука, 1977. -560 с. 4. Ротач В. Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами: Учебник для вузов. — М. : Энергоатомиздат, 1985. — 296 с. 5. Теория автоматического управления / Под ред. А. В. Нетушила. Ч. 1. — М. : Высшая школа, 2002. — 400 с. 6. 67
Скачать презентацию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНОЙ ЭКОЛОГИИ Кафедра технической кибернетики
Нелинейное ТАУ.ppt