Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии (МИИГАи. К)

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии (МИИГАи. К) ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Курс лекций Голубев В. В.

Решение системы нормальных уравнений. Схема Гаусса - [a 1 a 3] - [a 1 a 2] [a 1 a 1] [а 2 а 2] . - [a 2 a 3 1] [a 2 a 2. 1] [а 1 а 1] δX 1 + [а 1 а 2] δX 2 + [а 1 а 3] δX 3+ [а 1 l ] = 0 [а 1 а 2] δX 1 + [а 2 а 2] δX 2 + [а 2 а 3] δX 3+ [а 2 l ] = 0 [а 1 а 3] δX 1 + [а 2 а 3] δX 2 + [а 3 а 3] δX 3+ [аk l] = 0 - [а 1 а 2] 2 [а 1 а 1] . . δX 2+ [а 2 а 3]- [а 1 а 2] [а 1 l] =0 δX 3+ [а 2 l ]- [а а ] 1 1 [а 1 а 2] [а 1 а 3] [а 1 а 1] . . [а а. 2] δX . . + [а l. 2] = 0 [а 2 а 2 1] δX 2 + [а 2 а 3 1] δX 3+ [а 2 l 1] = 0 [а 2 а 3 1] δX 2 + [а 3 а 3 1] δX 3+ [а 3 l 1] = 0 3 3

Системы эквивалентных и эллиминационных нормальных уравнений [а 1 а 1] δX 1 + [а 1 а 2] δX 2 + [а 1 а 3] δX 3 + [а 1 l ] = 0 [а 2 а 2 1]δX 2+[а 2 а 3 1]δX 3+[а 2 l 1] = 0 . . [а а. 2] δX 3 3 δX δX (7) 3 [а 1 l] [а 1 а 3] δX 3 - [а 1 а 1] δX 2=1 [а 1 а 1] [а 2 l. 1] [а 2 а 3. 1] 2=- [а 2 а 2. 1] δX 3 - [а 2 а 2. 1] 3 . + [а l. 2] = 0 [а 1 а 2] (8) =0 δX [а 3 l. 2] 3=- [а 3 а 3. 2]

Раскрытие алгоритмов Гаусса [а 1 а 1] δX 1 + [а 1 а 2] δX 2 + [а 1 а 3] δX 3 + [а 1 l ] = 0 [а 2 а 2 1]δX 2+[а 2 а 3 1]δX 3+[а 2 l 1] = 0 . . [а а. 2] δX 3 3 . [а 4 а 5 3]= [а 4 а 5]- 3 . + [а l. 2] = 0 [а 1 а 4] [а 1 а 5] - [а 2 а 4. 1] [а 2 a 5. 1] [а 2 а 2 1] [а 1 а 1] . 3 [а 3 а 4. 2] [а 3 a 5. 2] [а 3 а 3 2] .

Схема Гаусса δX 1 [а 1 а 1] -1 δX 2 [а 1 а 2] - [а 1 а 2] [а 1 а 1] . δX 3 [а 1 а 3] - [а 1 а 3] [а 1 а 1] . [а 2 а 2 1] [а 2 а 3 1] L [а 1 l ] - [а 1 l] [а 1 а 1] . [а 2 l 1] [а 2 а 3. 1] - [а а. 1] 2 2 - [а 2 l. 1] [а 2 а 2. 1] [а 3 а 3 2] -1 [а 3 l 2] . -1 δX 2 δX 3 . - [а 3 l. 2] [а 3 а 3. 2] =0

Схема Гаусса Э 11 -1 Э 12 G 12 Э 13 G 13 Э 14 G 14 Э 22 -1 Э 23 G 23 Э 24 G 24 Э 33 -1 Э 34 G 24 Эij=Иij + G 1 i Э 1 j + G 2 i Э 2 j +… + Gi-1, , i Эi-1, j= = Иij + Gki Эkj Gki =-Эki/ Эk k

Контроли вычислений при уравнивании параметрическим способом Уравнивание параметрическим способом Решение параметрических уравнений поправок Решение нормальных уравнений поправок Процедура решения нормальных уравнений Текущие контроли Контроль решения нормальных уравнений Контроль решения параметрических уравнений поправок Окончательный контроль уравнивания 1. ŷi = fi(X 1, X 2 , …, Xk)

Текущие контроли Введем вектор S = A e + L , где T T T A PS = A PAe + A P L [pа 1 а 1] + [pа 1 а 2] + …+ [pа 1 аk] + [pа 1 l ] = [pа 1 s ] [pа 1 а 2] + [pа 2 а 2] + …+ [pа 2 аk] + [pа 2 l ] = [pа 2 s ] ……………………… [pа 1 аk] + [pа 2 аk] + …+ [pаkаk] + [pаk l] = [pаk s] e=

Текущие контроли -[pа 1 а 2] [pа 1 а 1] + [pа 1 а 2] + …+ [pа 1 аk] + [pа 1 l ] = [pа 1 s ] [pа 1 а 2] + [pа 2 а 2] + …+ [pа 2 аk] + [pа 2 l ] = [pа 2 s ] ……………………… [pа 1 аk] + [pа 2 аk] + …+ [pаkаk] + [pаk l] = [pаk s] [pа 1 а 1] + [pа 1 а 2] + …+ [pа 1 аk] + [pа 1 l ] = [pа 1 s ] [pа 2 а 2 • 1] +…+[pа 2 аk • 1]+[pа 2 l • 1] = [pа 2 s • 1] ……………………… [pаkаk • (k-1)]+[pаk l • (k-1)] = [pаk s • (k-1)] (9)

Текущие контроли [pа 1 а 1] + [pа 1 а 2] + …+ [pа 1 аk] + [pа 1 l ] = [pа 1 s ] [pа 2 а 2 • 1] +…+[pа 2 аk • 1]+[pа 2 l • 1] = [pа 2 s • 1] ……………………… [pаkаk • (k-1)]+[pаk l • (k-1)] = [pаk s • (k-1) ] [pа 1 а 2] - … - [pа 1 аk] -1 - [pа а ] [pа 1 а 1] 1 1 [pа 1 l] [pа 1 s] - [pа а ] = - [pа а ] 1 1 [pа 2 s • 1] [pа 2 а 3 • 1] … - [pа 2 аk • 1] [pа 2 l • 1] -1 - [pа а • 1] [pа 2 а 2 • 1] - [pа 2 а 2 • 1]= - [pа 2 а 2 • 1 2 2 [pаkl • (k-1)] [pа s • (k-1)] =- k -1 - [pаkаk • (k-1)] [pаkа- • (k-1)] k (10)

Контроль решения нормальных уравнений T T A PAΔX + A PL = 0 V = A ΔX + L S=Ae+L V = A ΔX + S T T A PAΔX + A P S =0 ΔX= ΔX-e

Контроль решения нормальных уравнений T T A PAΔX + A PL = 0 + (6) [pа 1 а 1] δX 1 + [pа 1 а 2] δX 2 + …+ [pа 1 аk] δX k+ [pа 1 l ] = 0 [pа 1 а 2] δX 1 + [pа 2 а 2] δX 2 + …+ [pа 2 аk] δX k+ [pа 2 l ] = 0 …………………………. . [pа 1 аk] δX 1 + [pа 2 аk] δX 2 + …+ [pаkаk] δX k+ [pаk l] = 0 1δX 1 + 2δX 2 +…+ kδX k + l =0

Контроль решения параметрических уравнений поправок T V P T A PV = 0 T V P T T T V PS=V PL [pvl]=[pv. S] T T V PV=V PL [pvv]=[pvl] T V PS=V PAe+V PL T T V P V = V P A ΔX + V P L S=Ae+L T V = A ΔX + L T A PAΔX + A PL = 0 T T T L P V = L P A ΔX + L P L T L P V = A ΔX + L

Контроль решения параметрических уравнений поправок T T A PAΔX + A PL = 0 T T T L PAΔX + L PL = L PV [pа 1 а 1] δX 1 + [pа 1 а 2] δX 2 + …+ [pа 1 аk] δX k+ [pа 1 l ] = 0 [pа 1 а 2] δX 1 + [pа 2 а 2] δX 2 + …+ [pа 2 аk] δX k+ [pа 2 l ] = 0 …………………………. . [pа 1 аk] δX 1 + [pа 2 аk] δX 2 + …+ [pаkаk] δX k+ [pаk l] = 0 [pа 1 l] δX 1 + [pа 2 l] δX 2 + …+ [pаk l ] δX k+ [pl l] = [pvv] [pl l • k] = [pvv]

Контроль решения параметрических уравнений поправок T S P T V = A ΔX + L T T S P V = S P A ΔX + S P L T T A P A ΔX + A P L =0 T T T S P A ΔX + S P L = S P V [pl. S • k]=[pv. S] =[pvv] T T S P V = A ΔX + S T A P A ΔX + A P S =0 T T T S P A ΔX + S P S = S P V [pss • k]=[pv. S] =[pvv] =[pvl] == [pvs]= [pll • k]=[pls • k]=[pss • k]

Оценка точности m ŷi = …………………

Оценка точности уравненных параметров -1 ΔX = - R AT PL li =fi (x 1 x 2, … , xk) - yi

Оценка точности уравненных параметров -1 ΔX = - R AT PL Y=AX+ (9) b

Оценка точности уравненных параметров X = X +ΔX (9)

Оценка точности …………………

Оценка точности функций от уравненных параметров ……………. (10) (10’)

Оценка точности функций от уравненных параметров ………… (11)

Оценка точности m ŷi = …………………

Оценка точности ŷ= m ŷi =

Оценка точности функций от уравненных параметров ………… (11)

Спасибо за внимание!