Московский финансово-промышленный университет «СИНЕРГИЯ» Кафедра стратегического и банковского менеджмента ПРОИЗВОДНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ Учебно-методический материал для аспирантов ДМИТРИЙ ЮРЬЕВИЧ ГОЛЕМБИОВСКИЙ, д. т. н. , проф. каф. Стратегического и банковского менеджмента МФПУ, начальник Управления рыночных рисков и рисков ликвидности – заместитель начальника Департамента рисков банка ЗЕНИТ d. golembiovsky@zenit. ru 1
КРАТКАЯ БИОГРАФИЧЕСКАЯ ИНФОРМАЦИЯ О НАУЧНОМ РУКОВОДИТЕЛЕ Заканчивал учебные заведения: n Саратовский политехнический институт (1982 г. ); n аспирантуру Московского энергетического института (1988 г. ); n докторантуру Московского государственного университета (1999 г. ) Темы защищенных диссертаций: n кандидатской – «Разработка и исследование моделей оценки достоверности встроенного псевдослучайного тестирования БИС» (защищена в 1990 г. , технические науки); n докторской – «Модели, стратегии и системы управления портфелем производных финансовых инструментов» (защищена в 2006 г. , технические науки. Специальность 05. 13. 10 – Управление в социальных и экономических системах). 2
КРАТКАЯ БИОГРАФИЧЕСКАЯ ИНФОРМАЦИЯ О НАУЧНОМ РУКОВОДИТЕЛЕ n. Руководил подготовкой 2 кандидатских диссертаций (защищены в 2010 и в 2012 годах, специальности 08. 00. 10 и 08. 00. 13 соответственно); n. Руководит работой 2 аспирантов по специальности 08. 00. 13; n. Член Диссертационного совета МФПУ «Синергия» Д 521. 042. 02 по специальности 08. 00. 13 n. Соавтор монографии «Энциклопедия финансового рискменеджмента, опубликовал более 50 научных статей; n. Член редсовета журнала «Управление финансовыми рисками» n. Выступал с докладами на 11 и 12 международных конференциях по стохастическому программированию (Австрия, 2007 г. и Канада, 2010 г. ). n. Financial Risk Manager - Certified by the Global Association of Risk Professionals (www. garp. com) 3
ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ управление портфелем ценных бумаг; n управление банковскими рисками; n теория производных финансовых инструментов и хеджирование рисков; n имитационное моделирование финансовых рынков n 4
БАЗОВАЯ НАУЧНАЯ СПЕЦИАЛЬНОСТЬ 08. 00. 13 – Математические и инструментальные методы экономики Пункты паспорта научной специальности: n 1. 6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов; n 2. 2. Конструирование имитационных моделей как основы экспериментальных машинных комплексов и разработка моделей экспериментальной экономики для анализа деятельности сложных социально-экономических систем и определения эффективных направлений развития социальноэкономической и финансовой сфер. 5
Абрамов Анатолий Маркович УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ОПЦИОНОВ НА ОСНОВЕ МНОГОЭТАПНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Специальность 08. 00. 13 – Математические и инструментальные методы экономики Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук Москва – 2012 6
Объект и предмет исследования Объектом исследования является рынок опционов. Предметом исследования является процесс управления портфелем опционов с использованием математического аппарата многоэтапного стохастического программирования. 7
Цель исследования Целью исследования является разработка модели управления портфелем оптимального опционов, учитывающая особенности реального биржевого рынка. 8
Задачи исследования - - Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи: Разработать модель биржевого рынка опционов, учитывающую его наиболее существенные особенности. Построить динамическую модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования. Создать дискретную модель изменения цены базового актива опционов. Модифицировать разработанную модель управления портфелем опционов с целью обеспечения возможности динамического хеджирования базового актива портфелем опционов. Провести имитационное моделирование процесса управления портфелем опционов на основе разработанной 9 динамической модели с целью анализа ее эффективности.
Методологическая основа исследования. Решение поставленных для достижения цели исследования задач потребовало использования специальных методов научного познания, таких как методы математического анализа, теории вероятностей, математической статистики, многоэтапного стохастического программирования, оптимизации, имитационного моделирования. 10
Научная новизна исследования Разработана динамическая модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями. Основные научные результаты исследования. При решении поставленных задач получены следующие новые научные результаты: 1. Разработана модель безарбитражного биржевого рынка опционов, отражающая его наиболее существенные особенности: одновременное обращение опционов с различными сроками и ценами исполнения, наличие требования гарантийного обеспечения, необходимость несения комиссионных расходов. 11
Научная новизна исследования 2. Построена динамическая модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями. Модель учитывает наличие транзакционных издержек и требование гарантийного обеспечения. Управление портфелем опционов сведено к решению задачи целочисленного линейного программирования. Модель позволяет формировать портфель опционов, обеспечивающий получение заданной доходности с максимально возможной вероятностью. 3. Создана дискретная модель изменения цены базового актива опционов – дерево сценариев. Модель используется для постановки и решения задачи оптимального управления портфелем опционов. Дерево сценариев основано на аппроксимации непрерывного распределения вероятностей изменения цены базового актива. Модель учитывает нелинейную зависимость стоимости портфеля опционов от цены базового 12 актива и исключает возможность совершения арбитража.
Научная новизна исследования 4. Модифицирована разработанная динамическая модель управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с целью обеспечения возможности хеджирования базового актива портфелем опционов. Для обеспечения указанной возможности в модель управления портфелем опционов введена стоимость позиции по базовому активу. 5. Результатами проведенного имитационного моделирования подтверждено преимущество разработанной модели динамического управления портфелем опционов над статической моделью. Динамическая модель обеспечивает получение требуемой доходности с более высокой вероятностью. Для динамической модели отклонение фактической частоты получения требуемой доходности от 13 ожидаемой меньше по сравнению со статической моделью.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ «УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ОПЦИОНОВ НА ОСНОВЕ МНОГОЭТАПНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ» , 08. 00. 13 – Математические и инструментальные методы экономики Глава 1. Фьючерсные и опционные контракты. 1. 1. Спецификация и ценообразование фьючерсных контрактов. 1. 2. Спецификация и ценообразование опционов. 1. 3. Древовидные модели ценообразования опционов. 1. 4. Биномиальные деревья с переменным шагом для моделирования портфеля производных инструментов. 14
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ «УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ОПЦИОНОВ НА ОСНОВЕ МНОГОЭТАПНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ» , 08. 00. 13 – Математические и инструментальные методы экономики Глава 2. Модели многоэтапного стохастического программирования. 2. 1. Особенности многоэтапного стохастического программирования. 2. 2. Модели многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями. 2. 3. Модель рынка фьючерсов и опционов. 2. 4. Модель управления портфелем производных финансовых инструментов. 15
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ «УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ОПЦИОНОВ НА ОСНОВЕ МНОГОЭТАПНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ» , 08. 00. 13 – Математические и инструментальные методы экономики Глава 3. Управление портфелем производных финансовых инструментов. 3. 1. Метод приближенного решения задач многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями. 3. 2. Программные средства решения задачи управления портфелем производных инструментов. 3. 3 Имитационное моделирование процесса управления портфелем производных инструментов. 16
ВЕДУЩИЕ УЧЕНЫЕ В РАССМАТРИВАЕМОЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЙ
Fischer Black Born January 11, 1938 Washington, D. C. , U. S. Died August 30, 1995) (aged 57) New York, U. S. Residence United States Citizenship American Fields Economics Mathematical Finance Institutions University of Chicago Booth School of Business. MIT Sloan School of Management. Goldman Sachs. Alma mater. Harvard University. Doctoral advisor. Patrick Carl Fischer Known for Black–Scholes equation Black-76 model Black–Derman–Toy model Black–Karasinski model Black–Litterman model Black's approximation Treynor–Black model Notable awards 1994, IAFE Financial Engineer of the Year 18
Myron Samuel Scholes Дата рождения: 1 июля 1941(1941 -07 -01) (71 год) Страна: США Научная сфера: Экономика Место работы: Стэнфордский университет Альма-матер: Чикагский университет Научный руководитель: Мертон Миллер Известен как: Один из авторов модели Блэка — Шоулза 19
Jitka Dupacova is Professor at the Department of Probability and Mathematical Statistics, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University Prague. She received her Ph. D. degree in 1967 and the Doctor of Sciences degree in 1985 from the same faculty. Is scholar of the International Institute for Applied Systems Analysis, Laxenburg, Austria (1985– 1986), member of various international and national scientific societies such as the Mathematical Optimization Society, the WG 7. 7 of IFIP, EURO WG on Financial Modeling, the Czech Econometric Society and the Czech Operational Research Society. She is known for her results in stochastic programming and related areas of statistics and optimization, which is also the subject of her dissertations, books and more than 150 published scientific papers with the h-index 12. Is active in stochastic modeling in economics, finance, water resources management and planning, and other areas, took part in related projects of EC. She gave courses on stochastic programming, financial management and optimization in statistics at various Universities around the world and prepared special courses and lectures for Czech banks and for the Central Bank of Malta. In consideration of her merits in the development of stochastic programming she was awarded one of twelve memorial plaques during the X. Symposium on Stochastic Programming (2004). 20
ЛИТЕРАТУРА Основная: 1. Hull J. C. Options, Futures and Other Derivative Securities. 8 ed. – Englewood Cliffts, NJ, Prentice Hall. – 2011. 2. Буренин А. Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. – М. : Научно-техническое общество имени академика С. И. Вавилова, 2002. 3. Галиц Л. Финансовая инженерия / Пер. с англ. А. М. Зубкова. – М. : ТВП, 1988. 4. Мельников А. В. , Волков С. Н. , Нечаев М. Л. Математика финансовых обязательств. – М. : ГУ ВШЭ, 2001. 5. Мельников А. В. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. – М. : ТВП, 1997. 6. Голембиовский Д. Ю. Оптимизация портфеля финансовых инструментов // Энциклопедия финансового рискменеджмента / Под. ред. А. А. Лобанова и А. В. Чугунова. – М. : Альпина Паблишер, 2003. 21
ЛИТЕРАТУРА Основная: 7. Мэрфи Дж. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика. – М. : Евро, 2004. – 592 с. 8. Чекулаев М. В. Риск-менеджмент: управление финансовыми рисками на основе анализа волатильности. – М. : Альпина Паблишер, 2002. 9. Чекулаев М. В. Загадки и тайны опционной торговли. – М. : ИК Аналитика, 2001. – 432 с. 10. Шарп У. , Александер Г. , Бэйли Д. Инвестиции / Пер. с англ. А. Н. Буренина, А. А. Васина. - М. : ИНФРА-М, 1997. 11. Голембиовский Д. Ю. , Барышников И. В. Стратегии управления ценовым риском (на примере экспортноориентированных предприятий) // Вопросы экономики. – 2003. - № 8. – С. 67 -80. 22
ЛИТЕРАТУРА Дополнительная: 12. Швагер Дж. Технический анализ. Полный курс / Пер. с англ. – М. : Альпина Паблишер, 2002. 13. Доугерти К. Введение в эконометрику / Пер. с англ. О. О. Замкова, Е. Н. Лукаш, О. Ю. Шибалкина. – М. : ИНФРА-М, 2004. 14. Буренин А. Н. Рынки производных финансовых инструментов. – М. : ИНФРА-М, 1996. 15. Вильямс Б. Торговый хаос: Экспертные методики максимизации прибыли. – М. : ИК Аналитика, 2000. 16. Вильямс Б. Новые измерения в биржевой торговле. - М. : ИК Аналитика, 2000. 17. The London Clearing House Limited (1991): Standard Portfolio Analysis of Risk. Technical Specifications. 23
ЛИТЕРАТУРА Дополнительная: 18. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. - М. : Фазис, 1998. 19. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2. Факты. Теория. - М. : Фазис, 1998. 20. Голембиовский Д. Ю. Расчет залога по портфелю производных инструментов // Управление риском. – 2005. - № 1. – С. 27 -48. 21. Голембиовский Д. Ю. Аппроксимация цен опционов на основе экспоненциальной модели кривой волатильности // Системы управления и информационные технологии. – 2005. - № 2 (19). – С. 71 -76. 22. Голембиовский Д. Ю. Прогнозирование биржевых цен опционов // Управление риском. – 2005. - № 2. – С. 2027. 24
ЛИТЕРАТУРА ПО МЕТОДОЛОГИИ ИССЛЕДОВАНИЯ 1. Голембиовский Д. Ю. Расчет залога по портфелю производных инструментов // Управление риском. – 2005. – № 1. – С. 27 -48. 2. Голембиовский Д. Ю. , Абрамов А. М. Модель управления портфелем опционов // Управление риском. – 2011. – № 4. – С. 43 -56. 3. Dupacova J. , Hurt J. , Stepan J. Applied optimization: stochastic modelling in economic and finance. – Kluwer Academic Publishers. – 2002. – Vol. 75. 4. Kall P. , Wallace S. W. Stochastic programming. – Wiley. – 1994. 5. Laurent A. A scenario generation algorithm for multistage stochastic programming: aplication for asset allocation models with derivatives. – Ph. D. Thesis in Economics. – University of Lugano. – Lugano, 25 Switzerland. – 2006.
ЛИТЕРАТУРА ПО МЕТОДОЛОГИИ ИССЛЕДОВАНИЯ 6. Pflug G. Ch. Scenario tree generation for multiperiod financial optimization by optimal discretization // Mathematical Programming, Series B. – 2001. – Vol. 89. – P. 251 -271. 7. Shapiro A. , Dentcheva D. , Ruszcynski A. Lectures on stochastic programming modeling and theory. – MPS-SIAM Series on Optimization. – 2009. – Vol. 9. 8. Wallace S. W. , Ziemba W. T. , (Ed. ). Applications of stochastic programming. – MPS-SIAM Series on Optimization. – 2005. – Vol. 5. 9. Описание программы «IBM ILOG CPLEX Optimization Studio» [электронный ресурс] / Интернет сайт компании «IBM» . – URL: http: //www-01. ibm. com/software/integration/optimization/cplexoptimization-studio (дата обращения: 01. 06. 2012). 26
ФОРВАРДНЫЕ И ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ 27
ФОРВАРДЫ ПОСТАВОЧНЫЕ И РАСЧЕТНЫЕ n n Поставочный форвард – это контракт между двумя сторонами о будущей поставке базового актива. В качестве базовых активов могут выступать облигации, валюта, акции, товары. Расчетный форвард предусматривает проведение денежных расчетов, сумма которых зависит от будущих значений некоторой оговоренной переменной величины. В качестве базового актива могут выступать процентные ставки, цены на основные и производные финансовые инструменты, товары и услуги, индексы цен, физические и иные расчетные величины, например, температура воздуха, результаты выборов, спортивных состязаний и т. п. 28
ПРИМЕР ФОРВАРДНОГО КОНТРАКТА Банки-контрагенты А и Б 30. 04. 09 заключили расчетный форвардный контракт, в соответствии с которым банк Б выступает как продавец, а банк А - как покупатель форварда. Объем контракта - 1 млн. долларов США, дата поставки - 30. 04. 10, форвардная цена - 31, 75 руб. n Если в рассмотренном примере цена доллара 30. 04. 10 превышает 31 рубль 75 копеек, то банк А получает выигрыш по форвардной сделке. Пусть, для примера, доллар стоит на этот момент времени 32, 05 руб. Прибыль по сделке составит руб. Эту сумму банк Б выплатит банку А 30. 04. 10. n В случае поставочного форварда банк А покупая 30. 04. 10 у банка Б 1 млн. долларов, имеет возможность продать валюту на спотовом рынке по цене 32, 05 руб. Прибыль по сделке теоретически также составит 29 руб. Такую же сумму составляют потери продавца контракта – банка Б. n
ГРАФИЧЕСКАЯ ИЛЛЮСТРАЦИЯ ФИНАНСОВОГО РЕЗУЛЬТАТА ФОРВАРДА Выигрыш покупателя: Выигрыш продавца: Выигрыш Цена поставки Цена базового актива 30
ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ n n Поставочный фьючерсный контракт – это соглашение между двумя сторонами о будущей поставке базового актива, заключенное на бирже. При заключении контракта известен момент поставки базового актива, его количество и цена поставки. Аналогично расчетному форварду определяется понятие расчетного фьючерсного контракта. Контракты на индексы акций и процентные ставки всегда являются расчетными. Контракты на акции и товарные контракты могут быть как поставочными, так и расчетными. Значение цены поставки, на которую фьючерсный контракт может быть заключен в текущий момент времени, называется фьючерсной ценой 31
СРАВНЕНИЕ ФОРВАРДНЫХ И ФЬЮЧЕРСНЫХ КОНТРАКТОВ Форвард Все условия могут служить предметом переговоров, контракт составляется с учетом потребностей каждой стороны Существует риск неисполнения обязательств Фьючерс Стандартизированные условия. Существует риск, связанный с различием между стандартным контрактом и требуемым Нет риска неуплаты Вторичный рынок существует только по некоторым контрактам с фиксированными условиями Контракт высоко ликвиден, может быть закрыт на бирже в любой момент 32
РЫНКИ ФЬЮЧЕРСНЫХ КОНТРАКТОВ n n n n Chicago Mercantile Exchange www. cme. com Chicago Board of Trade www. cbot. com New York Mercantile Exchange www. nymex. com London International Financial Futures and Options Exchange (LIFFE), Marche a Terme International de France (MATIF), Marche options negociables de Paris (MONEP) www. euronext. com London Metal Exchange www. lme. com Eurex www. eurexchange. com Tokyo Commodity Exchange www. tocom. or. jp Российская торговая систем www. rts. ru 33
ХАРАКТЕРИСТИКИ ФЬЮЧЕРСНОЙ ТОРГОВЛИ n n n Expiration –месяц истечения контракта Open – первая цена, предложенная покупателем или продавцом, или цена первой сделки High – самая высокая цена на продажу или самая высокая цена, по которой была заключена сделка в течение торгов Low - самая низкая цена на покупку или самая низкая цена, по которой была заключена сделка в течение торгов Settlement price – расчетная цена, зафиксированная при закрытии торговой сессии, используемая для расчетов вариационной маржи Net change – величина, на которую изменилась расчетная цена с момента последних торгов Вариационная маржа – величина прибыли или убытка по фьючерсной позиции за истекший торговый день Начальная маржа – сумма, которая должна быть депонирована на счете клиента для открытия позиции по фьючерсу Поддерживающая маржа, сумма, достаточная для удержания фьючерсной позиции на следующий торговый день после расчетов по вариационной марже 34 Open interest – общее число открытых контрактов Volume – количество контрактов, заключенных в течение торговой сессии
ФЬЮЧЕРСЫ НА ФОНДОВЫЕ ИНДЕКСЫ n n n Фондовый индекс – взвешенная сумма цен некоторого определенного набора акций Фьючерс на фондовый индекс всегда является расчетным CME S&P 500 Futures Trade Unit $250 times the Standard & Poor's 500 Stock Price Index Contract Listing Eight months in the March quarterly cycle. Mar, Jun, Sep, Dec. Ticker=SP Trading Venue: Floor Hours 8: 30 a. m. -3: 15 p. m. Minimum Fluctuation 0. 10=$25. 00 Trading Venue: CME® Globex® Hours Mon/Thurs 5: 00 p. m. -8: 15 a. m. & 3: 30 p. m. -4: 30 p. m. ; Shutdown period from 4: 30 p. m. to 5: 00 p. m. nightly; Sun & Hol 5: 00 p. m. -8: 15 a. m. 35 Minimum Fluctuation Regular 0. 10=$25. 00
СПЕЦИФИКАЦИЯ ФЬЮЧЕРСА НА ИНДЕКС РТС n n n Базовый актив: индекс РТС Вид контракта: расчетный Валюта расчетов: рубли Стоимость пункта: $2 по курсу ЦБ Котировки контрактов представляются в виде «индекс РТС*100» Минимальный шаг изменения цены: 5 единиц Месяцами исполнения являются последние месяцы каждого квартала Одновременно осуществляется обращение фьючерсов на три ближайших срока исполнения Последним днем обращения контрактов является последний рабочий день, предшествующий 15 числу месяца исполнения Расчеты по вариационной марже по фьючерсам в ФОРТС проводятся путем перечисления денежных средств по завершении каждого торгового дня со счета проигравшей стороны на счет выигравшего игрока Гарантийное обеспечение (начальная маржа) контракта с погашением 36 в июне 2009 г. : 9 654, 75 руб.
Очереди заявок на покупку и продажу фьючерса RTS-6. 09 в торговой системе «ФОРТС» 28. 05. 09 Объем покуп. Котировка 15 102790 11 102795 7 102800 6 102805 10 Объем прод. 102810 102845 16 102850 9 102855 65 102860 76 102870 34 37
Пример расчетов по фьючерсным контрактам на индекс акций Открытие позиции Дни 1 2 3 Фьючерсная цена 7595 7745 7521 7335 Позиция покупателя: Остаток счета перед сделкой Остаток счета Начальная маржа Вариационная маржа Суммарный выигрыш (проигрыш) Баланс счета Маржин колл 13000 12995 11600 0 0 1395 0 14495 11600 1500 2895 0 12255 11600 -2240 -740 655 0 10395 11600 -1860 -2600 -1205 Позиция продавца: Остаток счета перед сделкой Остаток счета Начальная маржа Вариационная маржа Суммарный выигрыш (проигрыш) Баланс счета Маржин колл 13000 12995 11600 0 0 1395 0 11495 11600 -1500 -105 14735 11600 2240 740 3135 0 16595 11600 1860 2600 4995 38 0
ПРОЦЕНТНЫЕ ФЬЮЧЕРСЫ n n n n Поставочные фьючерсы на облигации Расчетные фьючерсы на процентные ставки Поставочные фьючерсы на 30 -летние казначейские облигации США Биржа: CBOT Размер контракта: $100000 по номиналу Месяцы исполнения: март, июнь, сентябрь, декабрь Характеристики поставки: Последний день торгов – за 7 рабочих дней до окончания месяца поставки. Поставка может быть осуществлена в любой рабочий день в течение месяца поставки Минимальное изменение цены: 1/32 пункта или $31, 25 за контракт 39
ВАЛЮТНЫЕ ФЬЮЧЕРСЫ n n n Поставочный валютный фьючерс – контракт на покупку одной валюты за другую Расчетный фьючерс – контракт на курс между двумя валютами US DOLLAR / EURO FUTURES: Codes and classification Mnemo FDE Unit € Unit of trading USD 20, 000 Expiry months 1) Initial lifetime: 1, 2 and 3 months Cycle: Every month 2) Initial lifetime: 6, 9 and 12 months Cycle: March, June, September and December 3) Initial lifetime: 3 years Cycle: September Quotation In euros per USD 100 (EUR 0. 01 represents EUR 200 per contract) Minimum price movement EUR 0. 01 Last trading day 13. 00 Amsterdam time on the third Friday of the delivery month, provided this is a business day. If it is not, the previous business day will be the last day of trading. Settlement Cash settlement, based on the value of the euro / US dollar rate set by Euro. FX at 13. 00 Amsterdam time. For FDE, the inverse value of the Euro. FX euro/Us dollar rate is used and rounded off to four decimal places. Trading hours 9. 00 – 17. 30 Amsterdam time Clearing LCH. Clearnet S. A. 40
ТОВАРНЫЕ ФЬЮЧЕРСЫ n n Сельскохозяйственные – www. cbot. com, www. euronext. com (кофе, какао, пшеница, кукуруза, сахар, соевые бобы, соевое масло, живой скот, постная свинина) Энергетические – www. nymex. com (сырая нефть, мазут, бензин, газ) Фьючерсы на драгоценные металлы – www. nymex. com (золото, серебро, платина) Фьючерсы на промышленные металлы – www. lme. com, www. nymex. com (алюминий, медь, цинк, свинец, олово, никель, цинк) 41
ОЦЕНКА И АНАЛИЗ ФЬЮЧЕРСОВ 42
ФОРВАРДНАЯ ЦЕНА НА АКЦИИ, ПО КОТОРЫМ НЕ ВЫПЛАЧИВАЮТСЯ ДИВИДЕНДЫ Пусть цена акции составляет 8, 8 руб, срок до исполнения контракта 6 месяцев. Безрисковая простая процентная ставка на срок полгода в данный момент времени составляет 15% годовых. Тогда справедливая цена поставки форвардного контракта рассчитывается как Действительно, если инвестору предлагают заключить форвард с ценой поставки меньшей, чем 9, 46 руб. , то он имеет возможность совершить арбитражную операцию и получить безрисковую прибыль. Для этого инвестор покупает форвардный контракт, занимает акцию у брокера и продает ее на рынке, а полученные средства вкладывает в банк под безрисковый процент на срок 6 месяцев. Пусть, например, инвестору удается купить форвард с ценой поставки 9, 31 руб. При исполнении форварда инвестор покупает акцию по цене 9, 31 руб. и возвращает ее брокеру. В это же время банк возвращает инвестору Чистая прибыль инвестора составляет 9, 46 – 9, 31 = 0, 15 руб. В том случае, когда предлагаемая цена поставки выше справедливой цены, возможна обратная операция: инвестор продает форвардный контракт, занимает на рынке деньги под безрисковый процент и покупает акцию. В рассматриваемом примере если форвард может быть заключен с ценой поставки 9, 60 руб. , то инвестору целесообразно занять короткую позицию. Занимая 8, 8 руб. , инвестор покупает акцию. В момент исполнения форварда инвестор продает акцию контрагенту по цене поставки и возвращает кредит. В рассматриваемом примере арбитражная прибыль инвестора составит 9, 60 – 9, 46 = 0, 14 руб. Здесь 9, 46 – сумма, которую инвестор возвращает кредитору. 43
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФОРВАРДНАЯ ЦЕНА В общем случае справедливая форвардная цена может быть рассчитана по формуле , (1) где - цена спот акции, - номинальная процентная безрисковая ставка на срок до исполнения форвардного контракта в процентах годовых, - время до исполнения форварда в годах. С использованием ставки непрерывного начисления формула (1) может быть переписана в виде: , (2) где - непрерывная ставка процента для инвестиций на период времени , . Для рассматриваемого примера , 44
ПРИМЕР РАСЧЕТА ЦЕНЫ ФОРВАРДА Цена исполнения форвардного контракта на бездивидендную акцию, до исполнения которого остается 4 месяца, составляет $3, 14. Текущая цена спот - $3 за акцию. Непрерывная ставка без риска – 2% годовых. Определить цену форвардного контракта. Решение. , т. е. за закрытие форварда его покупателю придется уплатить 16 центов. 45
ФОРВАРДНАЯ ЦЕНА НА АКТИВЫ, ПРИНОСЯЩИЕ ДОХОД Инвестор может купить акцию и за время до истечения рассматриваемого форварда получить дивиденды. Кроме того, он будет обладать акцией. Альтернативная возможность заключается в том, чтобы купить сейчас форвардный контракт, а сумму, равную текущей стоимости акции, инвестировать под безрисковый процент. По истечении этого срока инвестор также становится обладателем акции. Оба варианта должны быть эквивалентны с точки зрения прибыли. Если это не так, то на рынке существуют арбитражные возможности. Приведенная стоимость доходных платежей в результате покупки акции составляет , (3) где - множество моментов времени до исполнения форварда, в которые производится выплата дивидендов по акции, - величина дивиденда, который выплачивается в момент времени , - безрисковая ставка непрерывного начисления процентов для инвестирования на период времени , - время до исполнения форварда, - стоимость акции в момент исполнения форвардного контракта. 46
ФОРВАРДНАЯ ЦЕНА НА АКТИВЫ, ПРИНОСЯЩИЕ ДОХОД (ПРОДОЛЖЕНИЕ) В том случае, если в начальный момент времени осуществляется инвестиция под безрисковый процент, приведенная стоимость последующих доходных платежей составит , (4) где - стоимость акции в начальный момент времени, которая совпадает с приведенной стоимостью возврата инвестированной суммы в момент исполнения форвардного контракта: . Приравнивая выражения (3) и (4), получим: , откуда . (5) С использованием номинальных процентных ставок формула (5) записывается в виде: 47 (6)
ПРИМЕР АРБИТРАЖА Цена акции спот составляет 14 руб. Заключение форварда на акцию сроком на 135 дней может быть осуществлено по цене 14, 24 руб. Номинальная ставка без риска для 135 дней составляет 5% годовых. по истечении 90 дней по акции будет выплачен дивиденд, размер которого известен и составляет 4 руб. Требуется построить схему безрискового арбитража. Решение. В соответствии с формулой (6), справедливая цена форварда составляет Арбитражная схема образуется путем привлечения 14 руб. под ставку 0, 05% годовых, покупки акции и продажи форвардного контракта. Спустя 90 дней арбитражер получит дивиденд 4 руб. и инвестирует его под безрисковый процент. К моменту исполнения форварда это даст руб. Кроме того, осуществив продажу акции в исполнение форвардного контракта инвестор выручает 14, 24 руб. В этот же момент арбитражер погашает кредит, уплачивая кредитору Прибыль арбитражера в момент исполнения форварда составит 48 руб. на акцию.
СЛУЧАЙ НЕПРЕРЫВНО НАЧИСЛЯЕМОГО ДИВИДЕНДА Рассмотрим теперь ситуацию, при которой дивиденд задается процентной ставкой. Проведем вывод соотношений для справедливой форвардной цены, используя ставку непрерывного начисления процентов. При этом получаемые дивиденды вновь инвестируются в акции. Сопоставим следующие две возможности: а) Сумма , равная текущей цене акции, инвестируется под безрисковый процент на срок форвардного контракта. б) Осуществляется покупка акции и одновременная продажа форвардного контракта на акций. В схеме «а» к моменту исполнения рассматриваемого форвардного контракта инвестор будет иметь сумму, равную , где - безрисковая ставка непрерывного начисления процентов для инвестирования на период . В случае «б» количество акций к моменту исполнения форварда составит , где - ставка дивиденда. Выполняя форвардный контракт, инвестор получает сумму, равную . Начальные инвестиции в схемах «а» и» «б» составляют. Следовательно, должны совпадать и результаты – в противном случае существует возможность совершения арбитражной операции. Мы получаем следующее уравнение для справедливой форвардной цены: (7) 49
ДРУГИЕ ВИДЫ БАЗОВЫХ АКТИВОВ Пусть - непрерывная процентная ставка безрисковых инвестиций в национальной валюте, а - аналогичная ставка для иностранной валюты. Единица иностранной валюты в данный момент времени стоит единиц национальной валюты. (8) Все товары можно разделить на инвестиционные и потребительские. Инвестиционные товары характеризуются тем, что на рынке существуют игроки, готовые вкладывать в эти товары деньги с целью получения дохода от роста цены, а также проводить с этими товарами операции арбитража. При этом не исключается, что такие товары могут быть использованы и для непосредственного потребления. К числу инвестиционных товаров относятся, например, драгоценные металлы. Что касается товаров потребительской группы, то такие товары используются только для потребления. Обозначим величину издержек хранения и страхования товара на период времени . В случае инвестиционного товара фьючерсная цена определяется как , (9) где - ставка без риска. Издержки хранения и страхования могут быть представлены при помощи процентной ставки, которую будем обозначать . Тогда фьючерсная цена инвестиционного товара. 50 (10)
ПРИМЕР С ТОВАРНЫМ ФОРВАРДОМ Цена спот серебра на 10. 02. 04 составляет $6, 777 за тройскую унцию. Котировка форварда на 10. 09. 04 - $6, 83 за унцию. Определить стоимость хранения унции серебра в течение года, если непрерывная безрисковая ставка составляет 1, 25%. Решение. Вначале рассчитаем процентную ставку, выражающую стоимость хранения металла, используя соотношение (10). Решая это соотношение относительно ставки , получим: Для того, чтобы найти стоимость хранения в течение года, приравняем правые части соотношений (9) и (10): Выразим из полученного соотношения : . Подставив в последнее соотношение значения и , окончательно получим, что стоимость хранения тройской унции серебра в течение одного года составляет 51 доллара.
ФЬЮЧЕРСЫ НА ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ n Базовый актив – процентная ставка или облигация Кривая доходности бескупонных бумаг: 52
ФОРВАРДНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ (11) 53
ХЕДЖИРОВАНИЕ ФЬЮЧЕРСНЫМИ КОНТРАКТАМИ Некоторое предприятие планирует осуществить закупку оборудования за рубежом спустя полгода от текущего момента времени. Стоимость оборудования $200 тыс. В настоящий момент курс доллара составляет 30, 5 руб. Если за шесть месяцев курс значительно вырастет, то покупка оборудования может не состояться из-за недостаточности средств. Предположим, что текущая котировка фьючерсного контракта на бирже сроком шесть месяцев составляет 30, 85 руб. Предприятие осуществляет покупку фьючерсов на сумму 200 тыс. долларов США. Если в момент исполнения контрактов стоимость доллара спот превысит 30, 85 , то предприятие окажется в выигрыше, осуществляя покупку валюты по курсу ниже рыночного. В противном случае доллар будет приобретаться по курсу выше рыночного, и предприятие несет относительные убытки. Преимущество заключения хеджирующей сделки состоит в том, что покупка необходимого оборудования будет осуществлена при любой динамике валютного курса в течение последующих шести месяцев. 54
КОЭФФИЦИЕНТ ХЕДЖИРОВАНИЯ МИНИМАЛЬНОЙ ДИСПЕРСИИ (12) (13) (14) 55
Дата ПРИМЕР ХЕДЖИРОВАНИЯ Требуется осуществить хеджирование стоимости пакета из 100000 акций ОАО «Аэрофлот» на один день вперед. В качестве инструмента хеджирования используются фьючерсные контракты на индекс РТС с истечением в июне 2008 года. Стоимость пункта индекса для фьючерсов составляет $2. Статистика котировок фьючерса и акций ОАО «Аэрофлот» приведена в табл. 1. Необходимо определить оптимальное количество фьючерсных контрактов. Аэрофлот акции, $ Фьючерс RTS-6. 08 21. 02. 2008 4, 4072 2085 22. 02. 2008 4, 3865 2083, 7 23. 02. 2008 4, 4020 2106, 9 27. 02. 2008 4, 3752 2099 28. 02. 2008 4, 4014 2087, 5 29. 02. 2008 4, 3772 2048 01. 03. 2008 4, 3504 2033, 5 04. 03. 2008 4, 3731 2021, 5 05. 03. 2008 4, 3871 2054, 45 06. 03. 2008 4, 3706 2057, 95 07. 03. 2008 4, 2820 2036 08. 03. 2008 4, 3507 2067 12. 03. 2008 4, 4214 2094, 8 13. 03. 2008 4, 3990 2063 14. 03. 2008 4, 3478 2082 15. 03. 2008 4, 2327 1990 18. 03. 2008 4, 2930 2026, 25 19. 03. 2008 4, 1874 2012 20. 03. 2008 4, 0967 1963, 65 21. 03. 2008 4, 0020 1957 22. 03. 2008 3, 9534 2010 25. 03. 2008 4, 0587 1983, 75 26. 03. 2008 4, 0711 1986 Таблица 1 56
Дата ПРИМЕР ХЕДЖИРОВАНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Аэрофлот акции, $ Фьючерс RTS-6. 08 -0, 0207 -1, 3000 23. 02. 2008 0, 0155 23, 2000 27. 02. 2008 -0, 0267 -7, 9000 28. 02. 2008 0, 0262 -11, 5000 29. 02. 2008 -0, 0242 -39, 5000 01. 03. 2008 -0, 0268 -14, 5000 04. 03. 2008 0, 0227 -12, 0000 05. 03. 2008 0, 0139 32, 9500 06. 03. 2008 -0, 0165 3, 5000 07. 03. 2008 -0, 0885 -21, 9500 08. 03. 2008 0, 0687 31, 0000 12. 03. 2008 0, 0708 27, 8000 13. 03. 2008 -0, 0224 -31, 8000 14. 03. 2008 -0, 0512 19, 0000 15. 03. 2008 -0, 1151 -92, 0000 18. 03. 2008 0, 0603 36, 2500 19. 03. 2008 -0, 1056 -14, 2500 20. 03. 2008 -0, 0907 -48, 3500 21. 03. 2008 -0, 0947 -6, 6500 22. 03. 2008 -0, 0487 53, 0000 25. 03. 2008 0, 1054 -26, 2500 26. 03. 2008 Соответствующие значения приращений цены акций и фьючерсной цены приводятся в табл. 2. Для расчета статистических оценок воспользуемся возможностями электронной таблицы Excel. Коэффициент корреляции приращений рассчитывается при помощи соответствующей команды надстройки «Анализ данных» . Полученное значение составляет 0, 83. Расчет стандартных отклонений временных рядов, содержащихся в табл. 2, осуществляется функцией «СТАНДОТКЛОН» . Для приращений фьючерса соответствующая оценка составляет 32, 92; для приращений стоимости акции: 0, 0612. Дисперсия стоимости портфеля, состоящего из акций и фьючерсов, будет минимальной, если будет заключено 77 коротких фьючерсных контрактов: 22. 02. 2008 0, 0124 2, 2500 Расчет по формуле (12) дает дисперсию портфеля акций и фьючерсов: 11 652 162. (Дисперсия портфеля акций: 37 454 400). Таблица 2 57
ОПЦИОНЫ n n Поставочный опцион – это контракт или ценная бумага, которые дают право (но не обязанность) купить или продать актив, лежащий в основе контракта, в течение определенного периода времени по фиксированной цене, которая называется ценой исполнения (strike). В качестве базового актива могут выступать основные финансовые инструменты (акции, облигации, индексы акций) или реальные товары, например, нефть, кофе, металлы, пшеница, а также фьючерсные контракты на перечисленные виды активов. Расчетный опцион – это контракт или ценная бумага, расчеты по которым зависят от будущих значений некоторых заданных переменных величин. Контракты на индексы акций и процентные ставки всегда являются расчетными. Контракты на акции, фьючерсы и товарные контракты могут быть как поставочными, так и расчетными. Чаще всего в момент заключения контракта покупатель опциона выплачивает продавцу (которого называют также подписчиком опциона) некоторую премию. Премию называют также ценой опциона. Опцион на покупку (опцион колл) предоставляет его владельцу право купить, а опцион на продажу (опцион пут) – право продать актив. Опцион американского типа может быть исполнен в любой день до момента истечения контракта, опцион европейского типа – только в момент истечения. Существуют опционы фьючерсного типа (future style options), по которым выплата премии при заключении не уплачивается. Ежедневно по таким контрактам производится начисление вариационной маржи аналогично тому, как происходит для фьючерсных контрактов. При исполнении опциона колл на фьючерс происходит заключение фьючерсного контракта; покупатель опциона становится покупателем фьючерсного контракта. Если исполняется опцион пут на фьючерс, то в результате покупатель опциона становится продавцом фьючерсного контракта. В 58 обоих случаях фьючерсный контракт заключается по цене, равной цене исполнения опциона.
ВЫИГРЫШИ И ПРОИГРЫШИ ПОКУПАТЕЛЯ И ПРОДАВЦА ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ Прибыль покупателя опциона колл Прибыль продавца опциона колл Прибыль Цена исполнения Цена акции Прибыль покупателя опциона пут Цена исполнения Цена акции Прибыль продавца опциона пут Прибыль Цена исполнения Цена акции 59
ПРИМЕР ОПЦИОНОВ НА АКЦИИ n n n n n Contract Size Min. Price Change Contract Months Deutsche Bank 100 Eur 0. 01 60 Settlement Physical delivery of 100 equities of the underlying Contract Standard Settlement Day t+3 Contract Months Up to 60 months: The three nearest successive calendar months, the three following quarterly months of the March, June, September and December cycle thereafter, and the four following semi-annual months of the June and December cycle thereafter, and the two following annual months of the December cycle thereafter. Last Trading Day is the third Friday, for Italian equity options the day before third Friday, of each expiration month, if this is an exchange trading day; otherwise, the exchange trading day immediately preceding that day. Close of trading in the expiring option series on the Last Trading Day is at 17: 30 CET, for Swiss equity options at 17: 20 CET and for Spanish equity options 17: 35 CET. n n If for German equity options a dividend resolution is passed on the Last Trading Day, the exchange trading day preceding that day is deemed as the Last Trading Day. Daily Settlement Price The last traded price of the trading day; or, if the last traded price is older than 15 minutes or does not reasonably reflect the prevailing market conditions, Eurex will establish the official settlement price. Exercise American-style; an option can be exercised up to the end of the Post-Trading Full Period (20: 00 CET) on any 60 exchange trading day during the lifetime of the option.
ОПЦИОНЫ НА ИНДЕКС FTSE 100 INDEX OPTION (EUROPEAN-STYLE) Codes and classification Mnemo ESX Exercise type European Unit £ Unit of trading Contract valued at £ 10 per index point (eg value £ 65, 000 at 6500. 0). Delivery months Nearest eight of March, June, September, December plus such additional months that the nearest four calendar months are always available for trading. Quotation Index points (e. g. 6500. 0). Minimum price movement 0. 5 (£ 5. 00) Exercise day Exercise by 18: 00 on the Last Trading Day only. Last trading day Third Friday in delivery month. Settlement day is the first business day after the Last Trading Day. Trading hours 08: 02 - 16: 30 61
СИНТЕТИЧЕСКИЕ ОПЦИОНЫ Синтетический длинный пут: Прибыль Цена базового актива Синтетический длинный колл: Прибыль Цена исполнения Цена базового актива 62
ОПЦИОННЫЕ СТРАТЕГИИ Спрэд быка Прибыль портфеля Цена актива Прибыль портфеля Спрэд медведя Цена актива 63
ОПЦИОННЫЕ СТРАТЕГИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Прибыль портфеля Короткий стрэддл Цена актива Спот Длинный стрэнгл Прибыль портфеля Спот Цена актива 64
БАТТЕРФЛЯЙ СПРЭД 65
КАЛЕНДАРНЫЙ СПРЭД n n Образуется путем заключения одноименных опционов различного срока, но одинакового страйка. Например, может быть продан пут со сроком 1 год и куплен пут со сроком полгода. График прибыли календарного спрэда: Диагональный спрэд – календарный спрэд с различными страйками опционов 66
STRIP&STRAP 67
СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПРЕМИЙ ОПЦИОНОВ 1. Премия американского и европейского опциона колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, не может быть больше текущей цены акции: . (1) Действительно, если это соотношение не выполняется, то существует возможность осуществления арбитража: достаточно продать опцион и приобрести акцию, чтобы получить безрисковую прибыль. Если опцион будет предъявлен к исполнению, то акцию придется продать. В результате будет получена прибыль без риска , где - премия опциона, - цена акция в момент заключения опциона, - цена исполнения. Если опцион не исполняется, то выигрыш к моменту окончания срока действия контракта составит , где - цена акции в момент истечения опциона. 68
СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПРЕМИЙ ОПЦИОНОВ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 2. Верхние границы премии американского и европейского опционов пут различаются. Для европейского опциона пут можно утверждать, что , (2) где - премия опциона, - процентная ставка инвестиций без риска, - время до исполнения опциона. Если последнее соотношение не выполняется, то инвестор может продать опцион и разместить премию под ставку без риска. В случае, если опцион не будет исполнен, его безрисковая прибыль составит . При исполнении опциона инвестор, не сделав начальных вложений и ничем не рискуя, имеет по завершении операции акцию и денежную сумму, равную . Поскольку американский опцион пут может быть исполнен до окончания срока контракта, можно утверждать только, что . (3) В противном случае инвестор продает опцион и обеспечивает себе безрисковую прибыль независимо от того, будет ли опцион предъявлен к исполнению и в какой именно момент времени. 69
СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПРЕМИЙ ОПЦИОНОВ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Нижняя граница премии европейского или американского опциона колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, составляет: . (4) Для премии европейского опциона пут на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, имеет место соотношение. (5) Пусть и - цены исполнения опционов колл, все другие условия < которых одинаковы. Если , то , где и премии соответствующих опционов. Для опциона пут справедливо обратное: чем выше страйк, тем выше стоимость опциона, поскольку опцион с большей ценой исполнения позволяет продать актив по большей цене. Паритет опционов: Европейских Американских (6) 70
ФОРМУЛА БЛЭКА-ШОУЛСА Принятые допущения: а) допускается короткая продажа базового актива; б) отсутствуют транзакционные издержки при совершении операций с банковским счетом и базовым активом опциона; в) базовый актив и банковский счет безгранично делимы; г) базовый актив не приносит дополнительного дохода (например, рассматривается акция без дивидендов); д) на рынке отсутствуют арбитражные возможности; е) операции на рынке осуществляются непрерывно; ж) безрисковая процентная ставка и волатильность цены базового актива постоянны на всем периоде действия опционного контракта. (7) (8) (9) Если по акции выплачивается дивиденд, ставка которого равна , то премии европейских опционов колл и пут даются следующими формулами: (10) 71 (11)
Пример 1 Текущая стоимость акции $1, 595. Волатильность акции составляет 0, 45. Исполнение опциона назначено на 15. 09. 03, цена исполнения – $1, 5. Доходность государственной бескупонной облигации соответствующего срока составляет 4% годовых по ставке сложных процентов. Рассчитать премию европейского опциона колл в день 01. 07. 03 при помощи формулы Блэка-Шоулса. Решение. Здесь 76 – количество дней между датами 01. 07. 03 и 15. 09. 03. Выполняя соответствующие вычисления, получим: . Аналогично рассчитывается значение . Отсюда 72
ДРУГИЕ ВИДЫ БАЗОВЫХ АКТИВОВ Опционы на фьючерсы: (12) (13) (14) Варранты: Пусть - количество акций в обращении, - количество варрантов, выпущенных в обращение, - цена варранта. Каждый варрант дает право владельцу приобрести акций компании в момент по цене за акцию. 1. Цена акции заменяется на 2. Результат формулы Блэка-Шоулса умножается на 73
МОДЕЛЬ КОКСА-РОССАРУБИНШТЕЙНА Биномиальная модель изменения цены акции: Двухэтапная биномиальная модель цены европейского опциона колл: Обозначим , . Для определения стоимости опциона в начальный момент времени рассмотрим портфель, который содержит опцион колл и некоторое количество базового актива, которое будем обозначать . Безрисковый портфель должен иметь одинаковую стоимость в случае роста и в случае падения цены: , откуда (15) 74
МОДЕЛЬ КОКСА-РОССАРУБИНШТЕЙНА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) , (16) где (17) (18) Акция с дивидендом: 75
ПРИМЕР 2 Требуется оценить премию европейского опциона колл из примера слайда 1 2 в день 01. 07. 03 при помощи биномиальной модели Кокса-Росса-Рубинштейна, содержащей 6 этапов. Решение. Несложно подсчитать, что в этом случае период времени между этапами составляет 2 недели. Тогда , . Для того, чтобы найти ставку непрерывного начисления процентов, соответствующую заданной ставке сложных процентов 0, 04 , составим следующее уравнение: . Отсюда и , соответственно, . 76
ПРИМЕР 2 (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 2, 486 0, 986 2, 275 0, 777 2, 082 0, 586 1, 905 0, 417 1, 743 0, 282 1, 595 0, 183 1, 595 0, 155 1, 460 0, 089 2, 082 0, 582 1, 905 0, 407 1, 743 0, 258 1, 595 0, 118 1, 460 0, 057 1, 336 0, 028 1, 336 0 1, 743 0, 243 1, 460 0 1, 222 0 1, 118 0 1, 023 0 77
ПРИМЕР 3 Рассчитать цену американского опциона пут на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды. Непрерывно начисляемая ставка без риска равна 0, 125. Стандартное отклонение цены акции за год составляет 0, 41. Расчет производится 16. 12. 03, текущая цена акции составляет 8, 01 руб. Опцион истекает 16. 0 4, цена исполнения опциона - 8, 6 руб. Для расчета использовать биномиальную модель, содержащую 4 этапа. Решение. Один период биномиальной модели соответствует двум месяцам. Волатильность акции, соответствующая 2 -месячному периоду, составляет В случае роста цена акции увеличивается в раза, а в случае падения - умножается на . Вероятность роста цены акции составляет , вероятность снижения цены 13, 235 0 11, 195 0 9, 469 0, 402 8, 01 1, 062 9, 469 0 8, 01 0, 856 6, 775 1, 784 1, 825 6, 775 1, 825 5, 731 2, 692 2, 869 4, 848 3, 752 78
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ПРЕМИИ ОПЦИОНА К ИЗМЕНЕНИЮ ЦЕНЫ БАЗОВОГО АКТИВА Дельта европейского опциона колл: (19) Дельта европейского опциона пут: (20) Дельта 1 0, 5 79 Цена
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ДЕЛЬТА К ИЗМЕНЕНИЮ ЦЕНЫ БАЗОВОГО АКТИВА Гамма опциона колл: (21) Гамма опциона пут: (22) Гамма Цена исполнения Цена актива 80
ПОКАЗАТЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ СТОИМОСТИ ОПЦИОНА С ТЕЧЕНИЕМ ВРЕМЕНИ Тета опциона колл: (22) Тета опциона пут: (23) Тета опциона колл «вне денег» Время до погашения «у денег» «в деньгах» 81
ПОКАЗАТЕЛЬ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ К ИЗМЕНЕНИЮ ВОЛАТИЛЬНОСТИ Вега опционов колл и пут: (24) Вега а Вег а Цена исполнения Цена актива Время до истечения опциона. 82
ПОКАЗАТЕЛЬ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ПРЕМИИ К ИЗМЕНЕНИЮ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ Ро европейского опциона колл: (25) Ро европейского опциона пут: (26) 83
ПРИМЕР 4 Волатильность акции составляет 0, 45. Исполнение опциона колл назначено на 15. 09. 03, цена исполнения – $1, 5. Доходность государственной бескупонной облигации соответствующего срока составляет 3, 9% годовых по непрерывной ставке. Оценить изменение цены опциона при снижении стоимости актива на $0, 03 в день 01. 07. 03 при помощи показателя дельта и путем непосредственного вычисления по формуле Блэка-Шоулса. Расчет по формуле (19) дает значение дельта рассматриваемого опциона 0, 67. Оценка снижения цены опциона в результате снижения цены базового актива на $0, 03 составляет доллара. Формула (7) при снижении цены актива до дает значение цены опциона $0, 167. Таким образом, действительное понижение цены опциона составляет 0, 1867 – 0, 167 = 0, 0197. 84
ВОЛАТИЛЬНОСТЬ , где (27) , - среднее значение Подразумевае мая волатильность . Волатильность, % 120 Цена спот Цена исполнения опциона 90 60 30 Время историческая подразумеваемая 85
АКТУАЛЬНЫЕ ТЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЙ 1. Моделирование процесса управления портфелем производных финансовых инструментов на суперкомпьютерах. 2. Разработка и исследование стратегий «накачки волатильности» на основе многоэтапного стохастического программирования. 3. Обратное стресс-тестирование коммерческого банка на основе имитационной модели. 86
Скачать презентацию Московский финансово-промышленный университет СИНЕРГИЯ Кафедра стратегического и банковского
38791eb5b7140297212c30d0d5538776.ppt