МОРСКАЯ СЕЙСМОМЕТРИЯ ЛЕКЦИЯ 1 ФИЗИЧЕСКИЙ ВЗРЫВ В

МОРСКАЯ СЕЙСМОМЕТРИЯ ЛЕКЦИЯ № 1 ФИЗИЧЕСКИЙ ВЗРЫВ В ВОДЕ КУРС ЛЕКЦИЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 -ГО КУРСА МАГИСТРАТУРЫ ОТДЕЛЕНИЯ СЕЙСМОМЕТРИИ И ГЕОАКУСТИКИ

ПЛАН ЛЕКЦИИ 1. 2. 3. 4. 5. Аппроксимация Рэлея : гидродинамика взрыва в нулевом приближении. Ограничения, применимость. Аппроксимации Херринга и Келлера-Колоднера : аппроксимации первого порядка. Аппроксимация Кирквуда-Бете : аппроксимация второго порядка Сравнение результатов численного решения уравнений движения сферической газовой полости в жидкости Выводы

ЛЕКЦИЯ 1. ФИЗИЧЕСКИЙ ВЗРЫВ В ВОДЕ Аппроксимация Релея. 1. Гидростатическое давление в точке : p 0 = 1 + 0, 1 hв 2. Полость остается сферически симметричной 3. Гидростатическое давление не меняется (!!!) 4. Граничные условия находятся в бесконечности и не влияют на движения полости.

В момент t 1 внутреннее давление равно гидростатическому : Pвн(t 1) = P 0 Но полость расширяется дальше за инерции. Начинает действовать принцип маятника. Далее по графику: t>t 1, P(t>t 1) < P 0 Далее полость увеличивается на фоне сил противодействия, пропорциональных (P 0 -Pвн) t=t 1 R

И, наконец, в момент t=t 2 : Rmax 1 t=t 2

Схематический график движения стенки сферической каверны в жидкости

При t=t 4, Pвн(t 4) = P 0 В момент t=t 5, P(t 5) > P 0 ; Вся кинетическая энергия трансформируется в потенциальную энергию сжатой полости и система придет в первоначальное положение.

Область начинает пульсировать. ПРИ ОТСУТСТВИИ ПОДКАЧКИ ЭНЕРГИИ! Rmax 1 Rmax 2 Rmax_n Rmax 3

Профиль пульсирующей сферы, при измерении На расстояниях, r>>Rmax найден Рэлеем в 1917 году А). Для схлопывающейся полости Б). В предположении о несжимаемости воды. Это – аппроксимация нулевого порядка.

Математически это описывается следующим образом : R(t) – радиус полости; 0 – плотность жидкости; P(t) – давление в жидкости на границе раздела; Р 0 – гидростатическое давление.

1. Условие несжимаемости должно быть видоизменено так, чтобы скорость звука в жидкости была конечной. 2. В тех случаях, когда скорость расширения сферы невелика по сравнению со скоростью звука в возмущенной среде, возмущения плотности, вызванные расширением сферы, также будут невелики.

(5) или, исключая R" с помощью уравнения ( (6) , где r – радиальная координата.

Обозначив V = 4/3 R 3 – объем сферы, получим из (5) В волновой зоне второй член в правой части этой формулы пренебрежимо мал, так что можно записать

1. Давление в жидкости пропорционально объемному ускорению газового пузыря. 2. Максимум ускорения будет при минимальном объеме пузыря. Допущение и следствие из него: Модуль упругости предполагается бесконечно большим и, следовательно, бесконечно велика скорость звука в воде. Дифференциальное уравнение (4) не позволяет учесть энергию, излучаемую волной сжатия, и представляет собой аппроксимацию нулевого порядка.

Решение уравнения Рэлея, формула Рэлея-Виллиса (7)

. Это решение описывает cхлопывание рэлеевской полости. На основании его Рэлей определил время tmax, необходимое для полного cхлопывания полости при условии R 0 « Rmax:

При R 0 = 0 этот интеграл может быть взят с помощью Г-функции: (8)

Выразив максимальный радиус через величину полной энергии пульсирующего пузыря, Виллис получил следующее соотношение: (9) Оно удобно для оценки относительной энергии и акустических характеристик различных типов морских сейсмических источников и тем лучше согласуется с экспериментом, чем больше глубина погружения излучателя и чем меньше теплообмен между газом, находящимся в пузыре, и окружающей жидкостью.

Аппроксимация первого порядка: уравнения Херринга и Келлера-Колоднера Преобразования, выполненные Херрингом в предположении с = c 0 = = const, дают уравнение : [Физическая акустика / Под ред. У. Мэзона. Т. 1. Методы и приборы ультразвуковых исследований. Ч. Б. М. : Мир, 1967. 362 с] (10)

Сходное уравнение получено Келлером и Колоднером : (11) Для случая несжимаемой жидкости (c 0 ∞) уравнения (10) и (11) преобразуются в уравнение Рэлея (1).

Выражение для поля давления вокруг пульсирующей полости: (9) где t 1 = t r/c 0; f и f' даются уравнениям (10)

Преобразуем уравнение (9), опуская в нем члены порядка (R'/c)2: (11) Если в (9) пренебречь членом порядка R'/c 0 , то получим уравнение (6).

Аппроксимация второго порядка Кирквуда-Бете. Уравнение движения границы раздела принимает вид : где H – (12) энтальпия

Таким образом, аппроксимация Кирквуда-Бете позволяет учесть члены порядка (R'/с)2 и является аппроксимацией второго порядка. Можно считать доказанным, что уравнения Херринга (7) и Келлера. Колоднера (8) совпадают друг с другом с точностью до членов порядка (R'/с)2.

С учетом членов порядка (R'/с)2 поле давления пульсирующей полости вычисляется по следующим формулам : (13)

Сравнение результатов численного решения уравнений движения сферической газовой полости в жидкости Рис. 2. Численное решение уравнений (2. 1), (2. 7), (2. 8) и (2. 12) при Р 01 = 12 МПа, Р 0 = 0, 2 МПа, R 0 = 0, 089 м; (а) зависимость радиуса пузыря от времени (б) давление в волне сжатия; ______ уравнение (2. 1); _ _ уравнения (2. 7) (2. 8) и (2. 12)

На рис. 2, а показано изменение радиуса пузыря в функции времени. На рис. 2, б приведены акустические сигналы давления в дальней зоне, приведенные к расстоянию 1 м от излучателя. Как видно из рис. 2. 1, уравнение (1) дает незатухающее решение. Уравнения (7), (8) и (12), в которых принимается во внимание: 1. сжимаемость жидкости; 2. потери энергии на излучение; 3. вместе с затуханием амплитуды уменьшается также период пульсаций.

Выводы: 1. Аппроксимация нулевого порядка – уравнение (1) – представляет собой наиболее грубое приближение к проблеме акустического излучения и применяется в основном для получения полуколичественной информации о пульсирующей полости.

2. Аппроксимация первого порядка, приводит к уравнениям (7) и (8). Использование этих уравнений наиболее выгодно, поскольку при той же точности решения, что и уравнение (12), эти уравнения более просты. Поскольку уравнения (7) и (. 8) совпадают с точностью до членов второго порядка относительно с, для описания движения пузыря, образованного подводным выхлопом сжатого газа, можно пользоваться любым из этих уравнений.

3. Расчеты показывают, что: • вязкостью воды; • силам поверхностного натяжения на поверхности пульсирующей сферы; • парциальным давлением водяного пара в сравнении с давлением газа внутри сферы можно пренебречь.

1. Какие предположения сделал Рэлей, предлагая нулевое приближение описания физического взрыва в воде? 2. Нарисуйте графики p(t) для нулевого приближения и приближения второго порядка. 3. Как связаны между собой максимальный радиус расширяющейся сферы и избыточное давление внутри нее?