МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ 1.

МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ 1. Признаки монотонности функции. 2. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. 3. Достаточные условия существования экстремума. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Вопрос 1. Признаки монотонности функции О. 1. 1. Функция у = f(х) называется возрастающей (неубывающей) на промежутке Х, если для х1, х2 Х из того, что х1 < х2 следует, что f(х1) < f(х2) (f(х1) ≤ f(х2)). О. 1. 2. Функция у = f(х) называется убывающей (невозрастающей) на промежутке Х, если для х1, х2 Х из того, что х1 < х2 следует, что f(х1) > f(х2) (f(х1) ≥ f(х2)).

Возрастающие, невозрастающие, убывающие, неубывающие функции на множестве Х называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными. О характере изменения функции на промежутке Х можно судить по знаку ее производной. Связь между знаком производной и направлением изменения функции выражается следующими теоремами, которые представляют собой необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции (признаки монотонности).

Т. 1. 1. (необходимые условия монотонности функции) Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а; b) функция у = f(х) возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо, чтобы для х (а; b): f′(x) ≥ 0 (f′(x) ≤ 0). Т. 1. 2. (достаточные условия монотонности функции) Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а; b) функция у = f(х) возрастала (убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы для х (а; b): f′(x) > 0 (f′(x) < 0).

Пример 1. Для функции y = lnx с областью определения D(y) = (0; + ) получим, что Следовательно, функция y = lnx является возрастающей на всей области определения.

Вопрос 2. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума О. 2. 1. Точка х0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции у = f(х), если для всех х из некоторой -окрестности точки х0 выполняется неравенство f(х0) > f(х) (f(х0) < f(х)). (1) Значения функции в точке максимума (минимума) называются максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Замечание 1. Понятие экстремума носит локальный характер, т. е. неравенства (1) должны выполняться лишь в некоторой окрестности точки х0. 2. Функция может иметь на одном промежутке несколько максимумов и минимумов.

3. Не следует путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке.

Т. 2. 1. (необходимое условие экстремума) Если дифференцируемая функция у = f(х) имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна 0, т. е. f′(х0) = 0 Эта теорема есть непосредственное следствие теоремы Ферма. Следствие Непрерывная функция у = f(х) может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная функции f′(x) равна нулю или не существует.

Пример 2.

О. 2. 2. Точки из области определения функции у = f(х), в которых производная функции f′(x) равна нулю или не существует, называются критическими точками данной функции. Из теоремы 2. 1 следует, что любая точка экстремума функции является критической. Обратное утверждение неверно: не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пример 3. Для функции у = х3 имеем: у′ = 3 х2 = 0 при х = 0, но экстремума в точке х = 0 функция не имеет.

Вопрос 3. Достаточные условия существования экстремума Т. 3. 1. (первое достаточное условие экстремума) Если непрерывная функция у = f(х) дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки х0 (за исключением, быть может, самой точки) и при переходе через нее слева направо производная f′(x) меняет знак с «+» на «–» , то х0 есть точка максимума, а если с «–» на «+» , то х0 - точка минимума.

Первое правило исследования функции у = f(х) на экстремум 1. Найти область определения функции D(y). 2. Найти производную f′(x). 3. Найти критические точки функции, в которых f′(x) = 0 или не существует. 4. Установить знаки производной слева и справа от каждой критической точки и определить характер экстремумов. 5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример 4. Найти экстремумы функции Решение 1. D(y) = R. 2. 3.

Точки х = 8, х = 0 D(y) являются критическими точками 4. 5.

Т. 3. 2. (второе достаточное условие экстремума) Пусть функция у = f(х) имеет в точке х0 и ее окрестности непрерывные первую и вторую производную, причем f′(x 0) = 0 и f″(x 0) 0. Тогда функция f(х) имеет в точке х0 минимум при f″(x 0) > 0 и максимум при f″(x 0) < 0.

Второе правило исследования функции у = f(х) на экстремум 1. Найти область определения функции D(y). 2. Найти производную f′(x). 3. Найти критические точки функции, в которых f′(x) = 0. 4. Найти вторую производную f″(x). 5. Вычислить значения производной f″(x) в каждой из найденных критических точек и определить характер экстремумов. 6. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию у = х3 – 3 х2. Решение 1. D(y) = R. 2. у′ = 3 х2 – 6 х. 3. у′ = 0 3 х2 – 6 х = 0 или х = 2 - критические точки (обе принадлежат D(y)). 4. у″ = 6 х – 6. 5. у″(0) = – 6 < 0 х = 0 – точка максимума; у″(2) = 12 – 6 = 6 > 0 х = 2 – точка минимума. 6.

Вопрос 4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b]. Тогда по теореме Вейерштрасса на этом отрезке функция f(х) достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция f(х) может принять в точке х0 [а; b]. Возможны три случая: 1) х0 = а, 2) х0 = b, 3) х0 (а; b).

Если х0 (а; b), то точку х0 следует искать среди критических точек данной функции. Пусть {х1, х2, …, хn}- множество критических точек функции f(х) на отрезке [а; b]. 1. Наибольшее значение функции f(х) на отрезке [а; b] определяется как 2. Наименьшее значение функции f(х) на отрезке [а; b] определяется как

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции у = f(х) на отрезке [а; b] 1. Найти критические точки функции f(х) на интервале (а; b). 2. Вычислить значения функции f(х) в найденных критических точках. 3. Вычислить значения функции f(х) на концах отрезка. 4. Среди всех полученных значений функции выбрать наименьшее и наибольшее значения.

Замечание 1. Если функция f(х) на отрезке [а; b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. 2. Если функция f(х) на отрезке [а; b] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее – на другом конце.

Пример 6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = 3 х4 + 4 х3 + 1 на отрезке [‒ 2; 1]. Решение 1. у′ = 12 х3 + 12 х2 = 12 х2(х + 1). у′ = 0 12 х2(х + 1) = 0 х = 0 и х = – 1 – критические точки (обе принадлежат отрезку [‒ 2; 1]). 2. у(0) = 1; у(– 1) = 3 – 4 + 1 = 0. 3. а = ‒ 2, b = 1 у(‒ 2) = 48 ‒ 32 + 1 = 17; у(1) = 3 + 4 + 1 = 8. 4.

Пример 7. Газовая смесь состоит из окиси азота (NO) и кислорода (О 2). Требуется найти концентрацию О 2, при которой содержащаяся в смеси окись азота окисляется с наибольшей скоростью. Решение В условиях практической необратимости скорость реакции 2 NO + О 2 = 2 NO 2 выражается формулой υ = kx 2 y, где х – концентрация NO в любой момент времени, у – концентрация O 2, k – константа скорости реакции, не зависящая от концентрации реагирующих компонентов и зависящая только от температуры.

Концентрацию газов будем выражать в объемных процентах. В этом случае получим у = 100 – х, υ = kx 2(100 – х) ≡ υ(х). По условию задачи 0 < х < 100. Найдем производную: υ′(х) = (100 kx 2 ‒ kx 3)′ = k(200 x ‒ 3 x 2). Определим критические точки, принадлежащие отрезку [0; 100]: υ′(х) = 0 k(200 x ‒ 3 x 2) = 0 х = 0 и х = 200/3 ≈ 66, 67 – критические точки (обе принадлежат отрезку [0; 100]).

Найдем значения функции υ(х) на концах отрезка и в критической точке х = 200/3: υ(0) = υ(100) = 0, υ(200/3) > 0. Следовательно, скорость реакции υ(х) наибольшая, когда х ≈ 66, 67% и у ≈ 100 – 66, 67 ≈ 33, 33%.