Момент инерции Моментом инерции МИ системы относительно данной

Момент инерции Моментом инерции (МИ) системы относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n МТ системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. В случае непрерывного распределения масс дискретное суммирование МТ сводится к операции интегрирования. МИ во вращательном движении является мерой инертности. Не имеет смысла без указания оси. Пример. Расчет I для однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси. Разобьем цилиндр на элементарные тонкостенные коаксиальные цилиндры с радиусом r и толщиной dr→ 0. Интегрируя по dr от 0 до R: Масса цилиндра: Лекция 8. Динамика вращательного движения

Моменты инерции симметричных тел Тело Положение оси Тонкостенный цилиндр Ось симметрии Сплошной цилиндр Момент инерции Ось симметрии Тонкий стержень длиной l Шар m. R 2 Ось ┴ стержню и проходит через его середину Ось ┴ стержню и проходит через его конец Через центр шара Теорема Гюйгенса-Штейнера: МИ тела I относительно произвольной оси равен МИ Ic относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями. Лекция 8. Динамика вращательного движения

Момент силы Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физ величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора r, проведенного из О в точку приложения силы на силу F. М – псевдовектор, направление которого определяется по правилу буравчика l – плечо силы Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Mz, равная проекции на эту ось вектора M момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Если ось z совпадает с направлением М, то: Применение: условие равновесия рычага – равенство моментов сил. Лекция 8. Динамика вращательного движения

Работа силы при вращательном движении Пусть сила F приложена к точке В на оси z. Центр масс – т. О находится на расстоянии r от оси. Работа силы F затрачивается на поворот всего тела. При повороте тела на угол d точка В проходит путь: Работа при вращении тела идет на увеличение Ткин Разобьем тело на малые объемы с массой mi Каждая i-я масса движется по окружности радиуса ri со скоростью vi. Угловая скорость всех точек одинакова. Кинетическая энергия: Лекция 8. Динамика вращательного движения

Уравнение динамики вращательного движения. Момент импульса. Приращение кинетической энергии за счет работы силы: Группируя: - уравнение динамики вращательного движения Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением: Модуль вектора L: l- плечо вектора L относительно точки О. Лекция 8. Динамика вращательного движения

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса Lz не зависит от положения точки О на оси z. При вращении твердого тела вокруг оси каждая точка описывает окружность с некоторой скоростью vi. Для всего тела: Момент импульса каждой точки Таким образом: Продифференцировав по времени: Производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. Это альтернативная форма уравнения динамики вращательного движения В замкнутой системе момент внешних сил М=0 и Закон сохранения момента импульса – момент импульса замкнутой системы сохраняется. т. е. не изменяется со временем. Лекция 8. Динамика вращательного движения

Гироскоп. Оси, не изменяющие своей ориентации в пространстве без действия на них внешних сил, называются свободными осями. В любом теле существуют 3 взаимно перпендикулярных оси, проходящие через центр масс, которые могут служить свободными осями. Это главные оси инерции. Устойчивое вращение происходит вокруг главных осей инерции с мин и максимальным значением момента инерции. Гироскоп – массивное однородное тело, вращающееся с высокой скоростью вокруг главной оси инерции. Карданный подвес гироскопа позволяет его оси свободно ориентироваться в пространстве. Лекция 8. Динамика вращательного движения

Гироскопический эффект. Прецессия. Оси вращающегося гироскопа в карданном подвесе сохраняет свое положение в пространстве. Причина – закон сохранения момента импульса. Сила тяжести не может изменить положение оси, т. к. приложена к центру масс. Если момент внешних сил равен нулю, то момент импульса постоянен как по модулю, так и по направлению. Если момент внешних сил отличен от нуля, то наблюдается поворот оси вращения гироскопа в плоскости, ┴ плоскости приложения внешних сил, называемый прецессией. Объяснение прецессии. Пусть момент пары сил F направлен вдоль прямой О 2 О 2. За время dt момент импульса L получит приращение Лекция 8. Динамика вращательного движения

Применение гироскопа. Стабилизация: гироштативы, стабилизаторы танковых и корабельных артиллерийских прицелов, автоматические курсовые системы торпед и ракет, гирогоризонт в самолетах. Навигационные приборы: гирокомпас. Основной элемент системы топографической привязки на местности без применения спутника. Если ось гироскопа зафиксирована в пространстве, то из-за гироскопического эффекта на опоры оси действуют гироскопические силы, родственные силе Кориолиса. Гирокомпас – гироскоп, подвешенный внутри полого шара, который плавает в жидкости; центр тяжести системы на оси шара в его нижней части. Пусть гирокомпас находится на экваторе, а ось вращения гироскопа совпадает с направлением запад – восток (a); За счет суточного вращения Земли конец E оси поднимается, а W опускается; при этом центр тяжести шара смещается к востоку и вверх (б). Земное притяжения препятствует такому смещению центра тяжести, и в результате ось гироскопа поворачивается так, чтобы совпасть с осью суточного вращения Земли, т. е. с направлением север – юг (в). Лекция 8. Динамика вращательного движения