Мой математический инструмент Выполнил Студент группы ПВ-1108 Колыхновский

Мой математический инструмент Выполнил: Студент группы ПВ-1108 Колыхновский К. А. Проверила: Борисова Е. В. Тверь 2013

Содержание 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений. 2. а) Уравнение прямой, проходящей через две точки б) Уравнение прямой, проходящей через одну точку с угловым коэффициентом в) Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки г) Уравнение плоскости, проходящей через три точки 3. Кривые второго порядка 4. Исследование функций и построение эскиза графика 5. Таблица производных и основные правила дифференцирования 6. Таблица интегралов 7. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл. 8. Дифференциальные уравнения: • Первого порядка • Второго порядка • Высшего порядка • Задача Коши 9. Ряды: • Необходимый признак сходимости • Достаточный признак расходимости • Знакопеременные ряды • Функциональные ряды • Ряд Тейлора и Макларена • Степенные ряды 10. Теория вероятностей 11. Теория случайных величин

Решение систем линейных алгебраических уравнений Метод Крамера

1) Уравнение прямой, проходящей через две точки Заданы две несовпадающие точки A (x; y 1) и B (x 2; y 2). Прямая, проходящая через эти точки задается уравнением: или в общем виде Найти уравнение прямой, проходящей через точки (-1; 2) и (2; -1) Полагая, что x 1=-1; y 1=2; x 2=2; y 2=-1 получим уравнение вида: Упростим данное уравнение. После упрощений получаем окончательно x+y-1=0 .

2)Уравнение прямой, проходящей через одну точку с угловым коэффициентом Общее уравнение прямой Ax+By+C=0 приводим к виду: и обозначаем Путем замены получается, что y=kx+b –уравнение прямой с угловым коэффициентом k, который можно рассчитать по формуле Записать уравнение прямой, наклоненной к оси OX на 45°, проходящей через точку А(3; 2). k = tg a = tg 45° = 1 Отсюда следует, что y-2 = 1(x-3) y = x-3+2 = x-1.

3)Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки Параметрические уравнения прямой можно записать следующим образом где (xₒ; yₒ; zₒ) – координаты точки, лежащей на прямой, а {l; m; n} – координаты направляющего вектора прямой. Если известны координаты точки A (xₒ; yₒ; zₒ), лежащей на прямой направляющего вектора , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

4) Уравнение плоскости, проходящей через три точки Пусть плоскость проходит через три точки, не лежащие на одной прямой M 1(x 1; y 1; z 1), M 2(x 2; y 2; z 2), M 3(x 3; y 3; z 3). Так как плоскость проходит через точку М 1, то ее уравнение имеет вид A(x-x 1)+B(y-y 1)+C(z-z 1)=0, причем A, B, C одновременно не равны 0. Но она проходит еще и через точки М 2 и М 3, а значит должны выполняться следующие условия Найти уравнение плоскости, проходящей через точки A(1; 2; 1), B(2; -1; 1), C(-1; 2). Искомое уравнение можно записать в виде Вычислив этот определитель получим (-x+1) + 2(y-2) – 2(z-2) – (y-2) – 2(x-1) = 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены. Получается - x – y – 4 z + 9 = 0.

Кривые второго порядка(окружность, гипербола , эллипс, парабола) Общий вид линии второго порядка: К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола, парабола. Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). , где r - радиус окружности, a и b – координаты центра окружности. Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение имеет вид

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами). Каноническое (простейшее) уравнение эллипса с центром в начале координат и с фокусами в точках F 1(c; 0) и F 2(-c; 0). где a и b - полуоси эллипса, с – полуфокусное расстояние. Коэффициенты a, b и c эллипса связаны соотношением Если центр эллипса находится в точке M(x 0; y 0), то уравнение эллипса имеет вид:

Гипербола Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами. Уравнение гиперболы с центром в начале координат и с фокусами в точках и имеет вид: где a – действительная полуось, b – мнимая полуось. Коэффициенты a, b и c гиперболы связаны соотношением Прямые - асимптоты гиперболы. Если центр эллипса находится в точке. M(x 0; y 0), то уравнение эллипса имеет вид:

Парабола Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой. Уравнение параболы с вершиной в начале координат имеет вид: где р - расстояние между фокусом параболы и прямой линией, называемой директрисой. Фокус параболы имеет координаты F(p/2; 0). Если вершина параболы находится в точке. M(x 0; y 0), то уравнение имеет вид:

Исследование функций и построение эскиза графика 1. Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва). 2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения. 3. Найти точки пересечения с осями координат 4. Установить, является ли функция чётной или нечётной. 5. Определить, является ли функция периодической или нет. 6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности функции. 7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости. 8. Найти наклонные асимптоты функции. 9. Построить график функции. Алгебраическая функция — это функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть задана неявно с помощью алгебраического уравнения. Трансцендентная функция — аналитическая функция, не являющаяся алгебраической. Простейшими примерами трансцендентных функций служат показательная функция, тригонометрические функции и логарифмическая функция.

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график. 1. Область определения: D(y)=(-∞; ∞). Точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет. 2. Точки пересечения с осями координат: 3. Функция общего вида, так как 4. Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную: Критические точки: Функция убывает на интервалах (−∞; 0), (2; ∞ ), возрастает на интервале (0; 2). Минимум в точке x=0, y(0)=− 1, максимум в точке x=2, y(2)=0. 5. Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную. Критические точки: x =1. Функция выпукла вверх на интервале (1; +∞) , выпукла вниз на интервале ( ; 1, −∞ ). Точка перегиба: x =1, y(1) = 0, 5. 6. Асимптот нет. 7. Строим график функции, отметим ключевые точки:

Таблица производных. Основные правила дифференцирования. Производной функции y= f(x) называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю: , или Основные правила дифференцирования. (cu)′=cu’ (u±v)’= u’±v’ (uv)’=u’v+uv’ (u(v(x)))’=u’(v(x))·v’(x) U’=(ln u)’u, u˃0 Таблица производных

Таблица интегралов

Вычисление определенного интеграла Определенный интеграл – это число, зависящее от вида подынтегральной функции и от пределов интегрирования. В общем виде определенный интеграл записывается так: где a – нижний предел интегрирования; b – верхний предел интегрирования; отрезок [a; b] – отрезок интегрирования; f(x) – подынтегральная функция. Вычислить определенный интеграл можно с помощью формулы Ньютона-Лейбница: Геометрический смысл: Пример: Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x). Если функция f(x) непрерывна и продолжительна на [a; b], то данный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной осями y = 0, x = a, x = b, y = f(x).

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение ее производных различных порядков в той же точке. Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него. Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

1)Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка Решение: Ответ: y = cos x (tg x + C)

2)Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка Решение: Делаем замену: Ответ:

3)Найти общее решение дифференциального уравнения высшего порядка Ответ:

Ряд – выражение, где множество - некоторая произвольная последовательность чисел. Ряд задается n-ым членом. Необходимый и достаточный признак сходимости Необходимость. Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов.

Знакопеременные ряды Сходимость устанавливается по теореме Лейбница: «Если в знакочередующемся ряду каждый модальный член по абсолютной величине меньше предыдущего и предел n→∞, то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит по величине первого члена ряда» . Знакочередующийся ряд может сходиться условно или абсолютно: - Абсолютная сходимость – если сходится соответствующий знакоположительный ряд; - Условная сходимость – если соответствующий знакоположительный ряд расходится. Функциональные ряды Если все функции f 1(x), f 2(x), …, fn(x) определены на множестве Е, то для каждой точки этого множества имеет смысл числовой ряд Если считать xi произвольным числом из обратного определения, то такой ряд называется функциональным. Область сходимости функционального ряда

Ряд Тейлора и Маклорена Если функция f(x) определена в некоторой окрестности Х=Хо и имеет в этой точке производные всех порядков, то её можно представить в виде степенного ряда (ряд Тейлора): Ряд Маклорена получается из ряда Тейлора при Хо=О. Для того, чтобы разложить функцию в степенной ряд, необходимо найти её значение в точке Х 0 и построить структуру либо ряда Маклорена, либо Тейлора. Степенные ряды где a 0, a 1, … an – числовые коэффициенты; х0 – const, называемая центром ряда. Ряд Фурье ряд- тригонометрический ряд, служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f (x) имеет период 2 T, то её Ф. р. имеет вид

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними Вероятность — степень (мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Классическое определение: Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N. Свойства вероятности: 1) вероятность невозможного события равна нулю: P{Ø}=0 2) если событие A "входит" в событие B, то есть , то: P{A}≤P{B} 3) вероятность каждого события находится от 0 до 1, то есть удовлетворяет неравенствам: 0≤P{A}≤ 1 4) вероятность наступления события , заключающегося в наступлении события при одновременном не наступлении события , равна: P{B/A}=P{B}-P{A} 5) вероятность события , противоположного событию , равна: P{Ā}=1 -P{A} 6) вероятность наступления хотя бы одного из (то есть суммы) произвольных (не обязательно несовместных) двух событий и равна: P{A+B}=P{A}+P{B}-P{AB}

Теорема 1: Пусть множество A состоит из k элементов: А= {a 1, …, ak} , а множество B — из m элементов: B={b 1, …bm}. Тогда можно образовать ровно km пар (ai, bi) , взяв первый элемент из множества A, а второй — из множества B. Теорема 2: Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n без возвращения и с учётом порядка равняется: и называется числом размещений из n элементов по k элементов. Теорема 3: Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n без возвращения и без учёта порядка равняется: , и называется числом сочетаний из n элементов по k элементов. Вероятность суммы событий: Теорема сложения вероятностей несовместимых(1) и совместимых(2) событий: 1) P(A+B)=P(A)+P(B) 2) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) Вероятность произведения независимых(1) и зависимых(2) событий: 1) P(Aх. B)=P(A)х. P(B) 2) P(Aх. B)=P(A)х. P(B/A) Теорема 4: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: , где q=1 -p

Теория случайных величин Случайная величина(СВ) — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Дискретная СВ — такая, которая в результате опыта может принимать определенные значения с известной вероятностью, образующие счетное множество. Математическое ожидание дискретной случайной величины есть сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности: M(X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +. . . + xnpn Дисперсия дискретной случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(X) = (x 1 - M(X))2 p 1 + (x 2 - M(X))2 p 2 +. . . + (xn- M(X))2 pn = x 21 p 1 + x 22 p 2 +. . . + x 2 npn - [M(X)]2 Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии: σ(X) = √D(X). Мода дискретной случайной величины Mo(X) - это значение случайной величины, имеющее наибольшую вероятность. На многоугольнике распределения мода - это абсцисса самой высокой точки. Бывает, что распределение имеет не одну моду.

. Основные законы распределения Равномерное распределение(плотность(1) и функция(2): 1. 2. Показательное распределение(плотность(1) и функция(2): 1. 2.

Основные законы распределения (продолжение слайда 27) Нормальное распределение(плотность(1) и функция(2): 1. 2. F(x)=