Módulo de auto aprendizaje Autores -Franco Cantarutti -Mauro

Módulo de auto aprendizaje: Autores: -Franco Cantarutti -Mauro Frías -Tomas Ramírez Docente encargado: -Orlando Torres créditos Osorno, chile 13 / mayo / 2005 Comenzar

Créditos Acerca de los autores. Franco Cantarutti (tercero medio A) Mauro Frías (tercero medio B) Tomás Ramírez (tercero medio B) Plan diferenciado: Matemático Alumnos del colegio San mateo de Osorno Primero a nivel nacional en colegios subvencionados. seguir

Edición y producción: Departamento matemático Ω. Inc. Actualmente compuesto por: Dirección general: Franco Cantarutti. Corrección de estilo: Mauro Frías. Dirección grafica: Tomás Ramírez Diseño y diagramación: Todo el equipo Participación externa: Orlando Torres (Docente) Volver

Prologo El módulo de autoaprendizaje para 1 medio que tienes en tus manos, esta orientado para que adquieras un aprendizaje en potencias, raíces y logaritmos desde una perspectiva matemática, propiciándote una base para la comprensión de fenómenos matemáticos, destacando el trabajo individual, la constancia de trabajo, la idealización de un método de trabajo y una discusión que te permitirá obtener conclusiones validas en el ámbito de esta ciencia. Esta obra se destaca por ofrecer una interesante red de actividades que realizaras tu. El objetivo es que logres realizar un estudio comprensivo e interactivo, basado en tu propia experiencia, que te impulse a comprometerte con las metas u objetivos a lo largo de este trabajo. El trabajo aquí entregado esta estructurado según los siguientes temas. Capitulo 1 potencias. Capitulo 2 raíces. Capitulo 3 logaritmos. Seguir

contenidos 1. Potencias 1. 1 potencias 1. 2 propiedades de las potencias 1. 3 ecuaciones exponenciales 2. Radicación 2. 1 raíces 2. 2 propiedades de las raíces 2. 3 racionalización 2. 4 ecuaciones irracionales 3. Logaritmos 3. 1 logaritmos 3. 2 propiedades Seguir

Representación grafica de la obra Hola yo soy Ahome y al igual que tu, estoy empezando en esto de las raíces, potencias y logaritmos. Te pido un ratito de tu tiempo para que conozcas a mis amigos a quienes les pedí que me ayudaran en este modulo para que podamos aprender. Seguir

Bueno estos son mis amigos que nos ayudaran durante este modulo. Yo soy Inuyasha, genio en potencias, yo les ayudare con los difíciles exponentes Yo soy Miroku, el mejor en Raíces yo con mi sabiduría y tus ganas de aprender lograre enseñarles el mundo de las raíces. Seguir

Yo soy el ultimo de los amigos de ahome, soy el mas sabio de los 3 y les voy a enseñar sobre los difíciles logaritmos. Ahora que te presente a mis amigos podemos ir donde Inuyasha a ver que son las potencias Seguir

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El inventor del ajedrez, le presento su novedosa creación al rey de Dirham, en la india, este quedo tan fascinado por el juego que le ofreció cualquier cosa que el deseara como recompensa. Ante este ofrecimiento el ingenioso inventor le propuso al rey que le diera simplemente, un grano de trigo por el primer casillero del tablero, dos por el segundo, cuatro por el tercero, ocho por el cuarto y así sucesivamente duplicando la cantidad del casillero anterior hasta llegar al ultimo. El rey se extraño por la modesta petición del súbdito y mando a que se cumpliera su petición. Horas mas tarde llego el encargado de los graneros afligido diciendo que no se podía cumplir con la petición del inventor. . . - ¿Adivinas que paso? El encargado le explico a el rey, y le dijo que no había suficiente trigo en los graneros del reino, ni siquiera en los de todo el mundo! El rey quedo atónito y no lo pudo creer, ¿Y como es posible esto? Seguir

Bueno ahome, esto es muy sencillo, En el primer casillero el numero de granos es igual a uno, en el segundo cuadro es dos, en el tercero cuatro, en el cuarto ocho, y así hasta el 64, este es un procedimiento muy lento si. ¿Y que haríamos para simplificar este procedimiento? • Para sacar el valor tendríamos que hacer lo siguiente: el primer cuadrado 1 x 1 en el siguiente 2 x 1 luego 2 x 2 , de hay 2 x 2 x 2 y así sucesivamente. • Con potencias el primer numero quedaría como 20 , el segundo como 21, el tercero como 22 y el cuarto como 23 Por que en potencias la base que en este caso es 2 se multiplica tantas veces como el numero de exponente tenga. Seguir

¿Ósea que tendríamos que sumar 20+21+22+23. . hasta 2 63? Seguir Si ahome como veras es un numero muy grande, solo como ejemplo el 263 es igual a 2 x 2 x 2 x 2…. x 2 63 veces y ese numero me dio 9. 223. 372. 036. 854. 775. 808, lo que no es el total ya que nos falta sumar todos los números anteriores y como veras no es un numero para nada pequeño.

Definición de potencia Bueno, ¿entendieron lo que es realmente una potencia? Yo si, pero parece que mi amigo no mucho Bueno, lo explicare mas detenidamente. Tomen atención. Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arriba de este se encuentra otro numero que llamaremos “n” de esta forma: Al “n” se le llama exponente de la potencia Al “a” se le llama base de la potencia “a” es el número en cuestión, ”n” es la cantidad de veces que se Se define de esta forma: an=a • a • • a (n veces) multiplica por si mismo. Las potencias sirven para expresar la multiplicación de un dato que se repite una cierta cantidad de veces Seguir

Ahora veamos si entendiste Calculemos el valor de (-2)3 Aplicando la definición tenemos: (-2)3 = (-2) • (-2) = -8 Calculemos el valor de -34 Observamos que la base de la potencia es 3 ( y no -3) expresándola en forma de producto nos queda: -34 = -3 • 3 • 3 = -81 Seguir

Ahora resuelve tú Soluciones: -16 16 Como conclusión se puede decir que cuando un término que es antecedido por un signo negativo se eleva a un exponente impar el término siempre será el mismo que al inicio, en cambio elevado a un número par se logrará el signo contrario al inicial. Seguir

Potencias con exponente 1 Es igual a la base de la potencia, es decir: a 1=a ejemplos: 101=10; 31=3 Ejercita: Soluciones: 1) 71= 1)7 2)22 2) 221= 3)4 4)6 3) 41= En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si misma 4) 61= si el exponente es 1. Seguir

Potencias con exponente -1 es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir: a-1=1/a ejemplos: 5 -1=1/a ; (1/2)-1=2 Ejercita: Soluciones: 1) 2 2) 10/23 3) 1/8 4) 3/10 Seguir

Multiplicación de potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y sumamos los exponentes, es decir: an • am = an+m al revés cuando tenemos una base con una suma en el exponente la podemos descomponer, es decir: an+m = an • am Seguir

Expresemos en forma resuelto aquí de potencias: Ejerciciodel término (-1/2) cinco tenemos el producto veces (el término se repite 5 veces). En este caso lo que se hace es sumar los exponentes de todos los términos, dejando solo un término. Seguir

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad Seguir

Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1)a 8 2)b 11 3) 55 4)a 3 x+2 y Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir

División de potencias de igual base • En este caso, mantenemos la base y restamos los exponentes, es decir: an : am = an-m al revés cuando tenemos una base con una resta en el exponente la podemos descomponer, es decir: an-m = an : am Seguir

Ejercicio resuelto En el primer caso, se aplica la propiedad que si se tiene una misma base, se pueden restar los exponentes. Lo que se demuestra paso. Seguir

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad Seguir

Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1)m 10 2)x 2 3) 2/5 4)m 2 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir

Potencia con exponente 0 Es igual a 1: a 0=1, 00= no existe Ejemplos: 50=1 -40=-1 Seguir Ejercita: 1) 30=___ 3)-20=___ 2) (1/2)0=___ 4) 10=___ 3) Soluciones: 4) 1)1 3)-1 5) 2)1 4)1

Potencia con exponente negativo Es la misma propiedad que con exponente a -1, solo que ahora, cuando se da vuelta al ser negativo el exponente, no queda en 1, sino que en n. a-n=1/an ; a≠ 0 ejemplo: 3 -2=(1/3)2=1/32=1/9 Ejercitemos: Soluciones: 1)-1/4 3)9 1)-2 -2=___ 3)(1/3)-2=___ 2)1/4 4)16 -2=___ 4) (22/23)-4=___ 2)(-2) Seguir

Potencia de una potencia Aquí debemos elevar la base a la multiplicación de los exponentes. (am)n = an • m En el caso contrario si tenemos una base con exponentes multiplicándose se pueden distribuir. an • m = (am)n Seguir

Ejercicio resuelto 1. Desarrollemos (a 2 : a 6)2 Primero tenemos que aplicar la propiedad, multiplicando los exponentes, luego aplicando las propiedades ya conocidas deberíamos poder llegar a un término. Seguir

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad Seguir

Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1) (a 4 b 8)/x 12 2) 72 a 2 b 19 c 9 3) 3 x 3 y 2 z 4) a 3/16 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir

Potencia de un producto Elevamos el producto de las bases al exponente común. an • bn = (ab)n Por el contrario si tenemos 2 un paréntesis elevado a un numero, los componentes del paréntesis se pueden separar. (ab)n = an • bn Seguir

Ejercicio resuelto Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicar las bases, luego solo resolvemos la potencia resultante. Seguir

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad Seguir

Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1) (2 ax)3 2) [2 q(a+b)]2 3) (ab)4 p-1 4) 63 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir

Potencias de 10 • Se muestra cuando tenemos 10 elevado a un número cualquiera: 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 Seguir 104 = 10000 105 = 100000 106 = 1000000 107 = 10000000

Notación científica • Se utiliza para expresar grandes cantidades en números mas pequeños. • Para poder expresar un numero como notación científica se debe elegir un numero entre 1 y 10 y luego hacer el producto entre este y una potencia de 10. • Ej. : - La velocidad de la luz: 300. 000 Km/s = 3 • 105 Km. /s - El tamaño de una célula: 0, 000008 metros = 8 • 10 -6 metros Seguir

Ejercitemos juntos, para aprender esta propiedad Primero se tiene que dejar lo mas reducido el número que multiplica al 10, no puede ser decimal, ni menos pasarse de 10 unidades, se cuentan los 0, por cada cero será un digito más. Si es decimal, o sea un número minúsculo, el exponente es negativo y si el número es muy grande, es positivo el exponente. Seguir

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad 1) 0, 000065 3)0, 000000121 2) 123. 000 4) 567. 000 Soluciones: 1) 6, 5 • 10 -9 3) 1, 21 • 10 -12 2) 1, 23 • 108 4)5, 67 • 1011 Seguir

Potencia con exponente fraccionario • Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabaja de la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de la fracción y luego se hace la raíz de esta, y cuyo índice corresponde a el denominador de la fracción. • Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver una raíz la podemos transformar en potencia poniendo el índice como denominador y el exponente que tenga el radicando como numerador en la potencia que se formaría Seguir

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad Soluciones: 1)5 2)17 3)-1 4)10 Seguir

Ecuaciones exponenciales • Aquí se trabaja con los exponentes como los elementos de la ecuación • Lo mas difícil de estas ecuaciones es igualar las bases • Una ves igualada las bases se aplica la siguiente propiedades y se igualamos exponentes: Seguir

• Ejemplos: a) 32 x-5=3 x-3 2 x-5=x-3 x=2 b)4 x+3=82 x+9 b) (22)x+3=(23)2 x+9 x+3=2 x+9 -4 x=21 x= -4/21 Seguir En el ejemplo b, se igualo para poder hacer la ecuación, cuando ya se igualo esta, se trabaja deforma normal como una ecuación de primer grado.

Resuelve estos ejercicios para ver tu aprendizaje, ya queda poco, para terminar potencias Soluciones: 1) x=7/2 3)x=-1 2) x=4 4) x=0/1= no solución en los reales Seguir

Reforzamientos varios: Seguir

Problema de profundización: Alfredo recibe una carta pidiéndole que participe en una “cadena”, enviándole copia de la misma carta a 3 otras personas, cada una de las cuales debe enviarle un cheque por $1000 a vuelta del correo. Él, a su vez, debe enviar $1000 al remitente de la carta que recibió. Si cada persona que recibe una carta de esta “cadena” procede como indicado, todos harán beneficios. ¿dónde esta la trampa? Descúbrelo a través de tus conocimientos adquiridos. Seguir

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Raíces En este nuevo capitulo encontramos lo contrario de la potencias, las raíces, es decir las potencias se simplifican (eliminan) con las raíces y viceversa ¿Pero con que términos trabajaremos ahora en este capitulo de raíces, si en potencias a=base, y n=exponente, ahora como es esto? Bueno tenemos 3 terminos con los que trabajaremos los cuales son: Índice de la raíz Operante Cantidad subradical o radicando Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto: Seguir

Propiedades de las raíces Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las propiedades de las raíces, veamos la primera: Raíz de una potencia con exponente igual al índice. • Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el radicando como potencia, una base elevado a una fracción de la siguiente forma: Al elevar a n la raíz n-esima de a estamos simplificando el proceso anterior por lo cual el numero quedaría el numero Seguir

• Veamos unos ejemplos: Aplicando la propiedad, vemos que el índice y el exponente del radicando se deja en forma de potencia, por lo tanto igual numerador y denominador dan como resultado 1, así se dice que se simplifico o elimino la raíz y se convierte en una simple base elevado a 1 lo que da como resultado la misma base, como vemos en los ejemplos. Seguir

Ahora te toca a ti trabajar: Seguir

Raíz de un producto: Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales tienen el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen, como se muestra a continuación. Así también podemos hacer el proceso inverso, donde el producto de dos raíces de igual índice que puede agrupar en una sola raíz Seguir

Resolvamos juntos estos ejercicios, separando cada raíz en dos productos de raíces y resolviéndolas por separado, luego se multiplica y se obtiene el resultado correspondiente: Seguir

Trabaja tu: Seguir

Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1) 6 2) 6 a 3) 4 x 4) 5 p 4 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir

* Pasemos a Raíz de un cuociente: • De la raíz de una fracción o división se puede separar en 2 raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior y esas dos nuevas raíces se dividen ahora. ** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a raíz de un producto * Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se muestra a continuación: Seguir

Resolvamos algunos ejemplos para aprender mejor: Pero parta poder resolver algunos ejercicios no solo debemos dividir, sino también aplicar propiedades de las potencias como es la resta de exponentes Seguir

• Vamos te toca ahora Si tienes alguna duda no vaciles en repasar la materia. !!!! Seguir

Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1) 2 2) 3 3) 2 4) 10 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir

¿Y que pasa ahora con Raíz de una raíz? Bueno aquí simplemente se multiplican los índices y se deja al final una sola raíz con índice igual al producto de los índices. Como se puede ver: * Seguir

Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos volando, ¿o no? : Seguir

Sigue multiplicando tu los índices y resuelve los siguiente: Seguir

Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1) 2 2) 1 3) 3 4) 13 Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir

Pasemos a amplificación y simplificación del índice de una raíz: Para esto se amplifica o simplifica tanto el índice como el exponente de la cantidad subradical, por un termino o numero en particular, ejemplo: Seguir

Resolvamos estos ejercicios: * • En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolver mas fácilmente, así queda como resultado 5 • En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores, ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego se puede resolver como cualquier otro problema. Seguir

• Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la amplificación y simplificación de raíces. Seguir

Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir

Factor de una raíz como factor: * En palabras simples es pasar un número que multiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debe elevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentro multiplicándolo por los otros términos dentro de ella, así se pueden aplicar otras operaciones como la suma de raíces de igual índice. Se da de la siguiente forma: ** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera ser no entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar: Seguir

Vamos resolvamos: * Se puede ver dos posibilidades: • simplificar una raíz, dejándola mas simple • O realizar una raíz, juntando términos, pero de esta forma queda una raíz muy compleja. Seguir

Racionalización de denominadores: • La idea es dejar los denominadores sin expresiones con raíces para poder trabajar mas fácilmente. • Consiste en eliminar los radicales de los denominadores. En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que el radicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así poder eliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces. Seguir

• En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplica la suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores se eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva o negativa), así se eliminan las raíces en el denominador. • Se presentan los siguiente casos de expresiones: Seguir

Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debe amplificar usando la formula dada de potencias cúbicas: Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos pero evoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios. Seguir

• Cuando tenemos una adición en trinomios se agrupan dos términos para dejarlos como suma por diferencia a la hora de multiplicar, así luego de resolver queda una suma por diferencia simple: Luego de resolver el trinomio, se resolvemos el binomio resultante igual que si fuera suma por diferencia, y así se elimina términos con raíces en el denominador, y en este caso nos queda con denominador 4. Seguir

Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios: Seguir

soluciones Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir

Ecuaciones irracionales: son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical, para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice de la raíz, para eliminarla: Ejemplos: Seguir

Practiquemos un poco Seguir

Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte. Seguir

Cotrol: veamos si aprendiste Seguir

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La definición de logaritmo es la siguiente: El logaritmo en base a de un número n, es otro número b, tal que cumple esta ecuación: ab = n. Dicho matemáticamente loga n = b ==> ab = n. No continúes mientras no te grabes esta definición en tu cabeza de tal manera que no se te olvide nunca. Si lo comprendes puedes continuar. Supongamos que el logaritmo en base a de un numero n 1 sea b 1 (loga n 1 = b 1). Entonces ab 1 = n 1. Supongamos que el logaritmo en base a de un numero n 2 sea b 2 (loga n 2 = b 2). Entonces ab 2 = n 2. Supongamos que nos piden que calculemos el logarítmo del producto n 1. n 2, y digamos que es b. Si tenemos en cuenta las igualdades anteriores nos queda: loga n 1. n 2 = loga ab 1. ab 2 = b ab = ab 1. ab 2 = ab 1+b 2 Seguir

Para que esta igualdad se cumpla b = b 1 + b 2, por lo tanto el logarítmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. De igual manera se demostraría que el logarítmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del numerador y denominador, y con un poco más de trabajo que el logarítmo de una exponenciación es igual al exponente por el logarítmo de la base. Ya podemos responder a la pregunta de para qué sirven los logaritmos: Hace no muchos años, no había ordenadores, ni calculadoras, y por lo tanto multiplicar y dividir (y muchisimo mas la exponenciación) cuando los números implicados eran grandes, era una tarea árdua (y casi seguro que se cometían errores). Con los logarítmos las multiplicaciones se convierten en sumas, las divisiones en restas y la exponenciación en multiplicaciones, con lo que se facilitaban mucho las operaciones. Una vez obtenido el resultado se calculaba el antilogarítmo para obtener el numero real. Seguir

Vamos a hacer algunos ejercicios Seguir

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Ejercicios para resolver: Seguir

Gratificaciones: • Haz pasado todo el modulo, espero que te haya servido de mucho, ya que a mi si, consúltalo cada vez que quieras repazar algún concepto o algún dato especifico. • A continuación están los links y la bibliografía mas exhaustiva para tu comodidad, para poder profundizar mas aun los temas propuestos en este programa. Seguir

Bibliografía: • Libros: - algebra arrayán. potencias páginas 295 a 307 Raíces páginas 307 a 329 logaritmos páginas 329 a 353 - Mare nostrum primero medio Potencias páginas 26 a 35 - Mare nostrum tercero medio Potencias y raíces páginas 14 a 41 - Mare nostrum cuarto medio potencias, exponenciales, funciones páginas 10 a 38 - Libro san mateo tercero medio matemático 2005 potencias páginas 15 a 24 Raíces páginas 24 a 31 Seguir

• Recurso “software e Internet” - Encarta 2004 “software” definiciones. -www. areamatematica. cl Apuntes y talleres. -http: //soko. com. ar/matematica/logaritmos. html Consultas habladas a: Sra. Paola Cantarutti (ingeniera electrónica) Sr. Álvaro Orellana (ingeniero civil electrónico) Gracias a: Docente a cargo del proyecto, Orlando torre. Web master de la pagina del colegio, JC Palma. Seguir

Fin!!!!!!