Модуль. Уравнения. Неравенства. МОУ лицей г. Фрязино Бурова Марина Васильевна
МОДУЛЬ Модуль от латинского слова “modules” – мера, это слово применяется в математике, архитектуре, физике, технике, программировании и в других науках Определение Абсолютной величиной числа (модулем) a (|a|), называется расстояние от начала отсчёта до точки с данной координатой a, a > 0 |a| = -a, a < 0
Простейшие уравнения с модулем |f(x)| = a 1) |x| = 5 <=> x=5 x = -5 2 корня 2) |2 x – 3| = 1 <=> |x| = 0 x=0 |x| = -5 1 корень 2 x – 3 = 1 2 x – 3 = -1 <=> нет корней 2 x = 4 2 x = 2 ОТВЕТ: 2; 1 3) 2|x – 1| = 4 x– 1=2 x=3 |x – 1| = 2 <=> x – 1 = -2 x = -1 ОТВЕТ: 3; -1 <=> x=2 x=1
4) |3 x + 2| = -4 нет корней 5) ||x - 1| - 4| = 3 |x - 1| - 4 = 3 или |x - 1| - 4 = -3 |x - 1| = 7 |x - 1| = 1 x – 1 = 7 x – 1 = -7 x – 1 = 1 x – 1 = -1 x=8 x = -6 x=2 x=0 Проверка показала, что корни уравнения 8, -6, 2, 0 ОТВЕТ: 8; -6; 2; 0
Предлагаем самостоятельно решить уравнения : 1 вариант 2 вариант |3 x + 2| = 4 |x – x| = 0 |8 - |x + 2|| = 7 |4 x - 2| = 6 |x + x| = 0 |10 - |x - 1|| = 8
Решение уравнений |f(x)| = d(x), где f(x), d(x) – некоторые функции 1) При d(x) < 0 нет решения 2) При d(x) = 0 <=> f(x) = 0 3) При d(x) > 0 <=> f(x) = d(x) f(x) = - d(x)
Пример | 1 – 2 x | = 3 x – 2 Заметим, что если 3 x – 2 < 0, то уравнение не имеет корней если 3 X – 2 = 0, то 1 – 2 x = 0, x = 1 / 2 (не является корнем) если 3 X – 2 > 0, то x > 2/3 1 – 2 x = 3 x – 2 x 1 = 3/5 <=> 1 – 2 x = -(3 x – 2) x 2 = 1 3/5 < 2/3 – постор. корень ; 1 > 2/3 – корень. ОТВЕТ: 1
|x + 2| = 2(3 – x) Заметим 2(3 – x) > 0, если 3 – x > 0 -x > -3 x < 3, то уравнение имеет корни x + 2 = 2(3 – x) x + 2 = -2(3 – x) <=> x + 2 = 6 – 2 x x + 2 = -6 + 2 x <=> x = 4/3, 4/3 < 3 – корень x = 8, но 8 > 3 - не является корнем ОТВЕТ: 4/3
Решите уравнение |4 - x| + |5 + x| = 19 Найдём точки, в которых подмодульные выражения равны 0 : 4–x=0 5+x=0 x=4 x = - 5 Отметим 4; -5 на числовой оси. Определим знаки подмодульных выражений на каждом из полученных множеств : + + ______________ -5 4
1) X < -5 (4 – x) – (5 + x) = 19 4 – x – 5 – x = 19 -2 x = 20 x = -10 < -5 корень уравнения ОТВЕТ: -10; 9 2) -5 < x < 4 3) x > 4 (4 – x) + (5 + x) = 19 0 * x = 10 : 0 нет корней -(4 – x) + (5 + x) = 19 -4 + x + 5 + x = 19 2 x = 18 x=9 9>4 корень уравнения
Решите самостоятельно 1 вариант |x - 3| + |x + 1| = 4 |x - 1| - 3 + |x + 2| = 0 |5 x + 3| = 4 - |8 – x| 2 вариант 2|3 x + 1| - 4 = |x + 8| |-2 x - 1| + 2|3 - x| = 7 5 - |2 x + 1| = |x - 7|
Простейшие неравенства |f(x)| > a, если a > 0 |f(x)| < a, если a > 0 |f(x)| > 3 |f(x)| < 3 ________ -3 3 f(x) > 3 f(x) < -3 _________ -3 3 -3 < f(x) < 3
|f(x)| > a, если a < 0 |f(x)| < a, если a < 0 |f(x)| > -2 верно при любом x |f(x)| > 0 верно при любом x |f(x)| < -2 нет решений |f(x)| < 0 нет решений
Рассмотрим решение на примерах 1) |2 x - 3| < 5 _________ -5 5 2 x – 3 ≥ -5 <=> 2 x – 3 < 5 ОТВЕТ: -1 < x < 4 2 x ≥ -2 2 x < 8 <=> x ≥ -1 x<4
2) |2 x - 3| ≥ 5 ________ -5 5 2 x - 3 ≥ 5 2 x – 3 < -5 <=> 3) |2 x - 3| > -5 x – любое 4)|2 x - 3| < -5 нет решений 2 x ≥ 8 2 x < -2 <=> x≥ 4 x < -1
Решите самостоятельно 1 вариант 2 вариант |2(x – 4)| < -2 |3 – 11 x| < 1/2 |7 – 3 x| > -8 |4(x + 5)| < -1 |10 x + 3| < 1/4 |2 – 4 x| > -7
Скачать презентацию Модуль Уравнения Неравенства МОУ лицей г Фрязино Бурова
МОДУЛЬ! 1).pptx