Модуль 3 Алгоритмы Маркова Эквивалентность алгоритмических моделей Разрешимость

Модуль 3. Алгоритмы Маркова. Эквивалентность алгоритмических моделей. Разрешимость алгоритмических проблем

Понятие Марковской подстановки Алгоритм M исходное слово P в алфавите A перерабатывает в слово Q: M: P Q Марковская подстановка - операция над упорядоченной парой слов (P, Q) Примеры Марковских подстановок: Преобразуемое слово Марковская подстановка Результат 541551678 (41551, 00) 500678 шрам (ра, ар) шарм функция ( , В-) Β-функция книга (кн, ) ига мама ( , ) мама 2

Алгоритм Маркова 3 Запись Р→Q - формула подстановки (P, Q). P→Q. - формула заключительной подстановки P 1→Q 1(∙) P 2→Q 2(∙) … Pn→Qn(∙) Последовательность {Ri} : R 0→R 1→R 2→···→Rm-1→Rm, при R 0=R, Rm=S перерабатывает слово R в слово S.

Примеры алгоритмов Маркова Примеры. А={a, b}. Схема алгоритма а->. b->b Заменяет в слове первое вхождение буквы ‘a’ на пустую цепочку. Если в слове только ‘b’, то оставляет его без изменения. Заменить последнее вхождение буквы ‘a’ на пустую цепочку. А={a, b}, B={#, &} #a->a# #b->b# #->& a&->. b&->&b &->. -># 4

Геделевская нумерация объектов Пусть p 1, p 2, , pk – первое, второе, k-тое простые числа. Из теории чисел известно, что любое целое неотрицательное число n >=1 можно однозначно представить в форме n=p 1 a 1 *p 2 a 2 *…* pk ak, где ai – целые неотрицательные числа, включая 0. Например, 13=20*30*50*70*110*131, 60= 22*31*51. Геделевская нумерация множества объектов О: : О->N, для которого по объекту О вычисляется его номер (О). n= (О) - гёделевский номер объекта О. 5

Гёделевский номер МТ Команда qjai->qras. S (S {R, L, E}) Будем кодировать символы нечетными числами, большими единицы: 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27. . . , а номера мест - простыми числами: 2 3 5 7. . Команде будет соответствовать геделевский номер 2 j 3 i 5 r 7 s 113 (S=R), или 2 j 3 i 5 r 7 s 115 (S=L), или 2 j 3 i 5 r 7 s 117 (S=E). Если C 1, C 2, …, Ck – геделевские номера всех команд МТ, то геделевский номер МТ определяется числом 2 с1*…*pkck. 6

Проблема остановки МТ Требуется построить алгоритм B такой, что для любого алгоритма A и набора входных данных α B(A, α)=T, если А(α) останавливается, и B(A, α)=F, если A(α) работает бесконечно. Теорема. Не существует машины Тьюринга Т 0, решающей проблему остановки для произвольной машины Тьюринга Т и набора входных данных α. Доказательство: От противного. Пусть T 0 существует, тогда она записывает на ленту Т, если Т останавливается, и F, если Т не останавливается. Построим машину Т 1(ng(T))=T 0(Tкоп(ng (T))). Т 1(ng(T))=F, если машина Т(ng(T))не останавливается. Пусть q 1 n – заключительное состояние Т 1. Добавим к системе команд Т 1 одно состояние q 1, n+1, объявив его заключительным, и m команд (m – число символов Т 1) q 1 n. F→q 1, n+1 FE, q 1 n aj→q 1 n aj R для любого aj, кроме F. Получим машину Т’ 1, которая останавливается, если Т не останавливается, и не останавливается, если Т останавливается. Запишем теперь на ленте Т’ 1 ее собственный геделевский номер. Получим, что когда T’ 1 останавливается, она не останавливается, и не останавливается, если она останавливается. Очевидно, такая машина T’ 1 невозможна. Значит, предположение, что T 0 существует, неверно. 7