Моделирование случайных величин Лямин Андрей Владимирович
Способы получения случайных величин • физические генераторы (датчики) случайных величин; • программные генераторы (датчики) псевдослучайных чисел.
Линейные конгруэнтные генераторы (ЛКГ) i+1 = (a i+c) (mod m), i (0, m-1), |(0, m-1)|=m Теорема: ЛКГ имеет полный период, когда выполняются следующие условия: • m и c являются взаимно простыми числами; • если m делится на простое число q, то a-1 тоже делится на q; • если m делится на 4, то a-1 тоже делится на 4.
Пример 1: i+1 = (a i+c) (mod m), m=5, c=3, a=6, 0=4. 1 = (6 • 4+3) (mod 5)=2, 2 = (6 • 2+3) (mod 5)=0, 3 = (6 • 0+3) (mod 5)=3, 4 = (6 • 3+3) (mod 5)=1, 5 = (6 • 1+3) (mod 5)=4, 6 = (6 • 4+3) (mod 5)=2.
Пример 2: i+1 = (a i+c) (mod m), m=5, c=5, a=6, 0=4. 1 = (6 • 4+5) (mod 5)=4, 2 = (6 • 4+5) (mod 5)=4.
Мультипликативные генераторы i+1 = (a i) (mod m), i (1, m-1), |(1, m-1)|=m-1 Теорема: Мультипликативный генератор имеет период m-1, когда выполняются следующие условия: • m является простым числом; • a является первообразным корнем по модулю m, т. е. наименьшее целое число l, для которого al– 1 делится на m, есть l = m-1.
Пример 3: i+1 = (a i) (mod m), m=5, a=2, 0=4. 1 = (2 • 4) (mod 5)=3, 2 = (2 • 3) (mod 5)=1, 3 = (2 • 1) (mod 5)=2, 4 = (2 • 2) (mod 5)=4, 5 = (2 • 4) (mod 5)=3.
Пример 4: i+1 = (a i) (mod m), m=5, a=4, 0=4. 1 = (4 • 4) (mod 5)=1, 2 = (4 • 1) (mod 5)=4, 3 = (4 • 4) (mod 5)=1.
Рекомендуемые параметры • m = 231 -1 = 2 147 483 647 • a = 630 360 016
Моделирование дискретной случайной величины Необходимо получить последовательность значений xi случайной величины X с распределением: x 1 x 2 … xn p 1 p 2 … pn
Моделирование дискретной случайной величины • Интервал (0, 1) разбивается на n частей с длинами p 1, p 2, …, pn. Полученные интервалы нумеруются цифрами 1, 2, …n. Координаты точек деления y 0=0, y 1=p 1, y 2=p 1+p 2, yn=p 1+p 2+…+pn. • Выбирается стандартно равномерно распределенная случайная величина и строится точка y=. • Если эта точка попадает в интервал с номером i, то X=xi.
Пример 5: x 1 2 3 p 0. 2 0. 5 0. 3 ={0. 43, 0. 75, 0. 11, 0. 98, 0. 35, 0. 64, 0. 23} x={ 2, 3, 1, 3, 2, 2, 2}
Моделирование непрерывной случайной величины Для нахождения значения непрерывной случайной величины X, распределенной в интервале (a, b) с плотностью f(x) необходимо решить уравнение: где - случайная величина, которая имеет стандартной равномерное распределение.
Общая формула
Пример 5: F(x) 0. 5 0 1 2 3 4 5 x ={0. 43, 0. 75, 0. 11, 0. 98, 0. 35, 0. 64, 0. 23} x={ 2, 3, 1, 3, 2, 2, 2}
Метод Неймана для моделирования непрерывной случайной величины Случайная величина определена на конечном интервале (a, b) и имеет ограниченную плотность вероятности f(x)<M: 1) Выбираются два значения , случайной величины и вычисляются величины =a+ (b-a), =M 2) Если <f( ), то x= . Иначе повторяем п. 1.
Метод Неймана для моделирования непрерывной случайной величины M f( )
Моделирование равномерно распределенной случайной величины U(a, b) • Генерируем U(0, 1) • Возвращаем x=a+(b–a )
Моделирование экспоненциально распределенной случайной величины • Генерируем U(0, 1) • Возвращаем x= – ln
Моделирование нормально распределенной случайной величины N( , 2)
Моделирование нормально распределенной случайной величины N( , 2)
Смещенные и усеченные распределения
Моделирование коррелированных случайных величин
Скачать презентацию Моделирование случайных величин Лямин Андрей Владимирович Способы
lect_02_01.ppt