Моделирование систем Лямин Андрей Владимирович 1 Система

Моделирование систем Лямин Андрей Владимирович 1

Система Системой называется совокупность объектов, функционирующих и взаимодействующих между собой для достижения определенной цели. 2

Математическое описание Система задается парой множеств U, Y и отношением S U Y, где U – множество входов, Y – множество выходов. u S y 3

Пример 1: Функция y=u 2 может быть представлена как отношения между множествами U=(- , + ) и Y=[0, + ), включающее все пары (u, y), для которых y=u 2, т. е. U Y={(u, y): y=u 2}. 4

Свойства системы • Целостность: u • Структурированность: u S S 1 y y S 2 • Целенаправленность: J(y)= y 2 min y 2+a 1 y+a 2 = 0 5

Способы исследования систем • Эксперимент с реальной системой • Эксперимент с моделью системы – Физическая модель – Математическая модель • Аналитическое решение • Имитационное моделирование 6

Моделирование систем Моделированием называется изучение системы по ее модели. Моделью называется представление системы в форме удобной для ее изучения. Математической (концептуальной) называется абстрактная модель, записанная на языке математики. 7

Аналитические модели Аналитическими называются модели, использующие алгебраические, дифференциальные и другие уравнения, а также предусматривающие осуществление однозначной вычислительной процедуры, приводящей к их решению. 8

Имитационные модели Имитационными называются математические модели, воспроизводящие алгоритм функционирования исследуемой системы путем последовательного выполнения большого количества элементарных операций. 9

Имитационное моделирование • • • Определение системы Построение концептуальной модели Алгоритмизация модели Программирование модели Оценка адекватности модели Планирование экспериментов Экспериментирование Интерпретация результатов Документирование 10

Формальная модель системы 11

Классификация моделей • Статические и динамические модели • Дискретные и непрерывные модели • Детерминированные и стохастические модели 12

Статические и динамические • Модель называется статической, если значение ее выхода y(t) в момент времени t определяется только значением входа u(t) в тот же момент времени, т. е. y(t)=S [u(t)]. • Модель называется динамической, если значение ее выхода y(t) в момент времени t зависит от всего прошлого входного процесса u(t), т. е. y(t)=S [u(s), s t ]. 13

Дискретные и непрерывные Модель системы называется дискретной или непрерывной по входам, выходам и времени, если дискретным или непрерывным являются множества входов, выходов и моментов времени соответственно. Пример 3: T={0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, T={x: x>0} Пример 4: y(k+2)+a 1 y(k+1)+a 0 y(k)=u(k) 14

Детерминированные и стохастические системы Детерминированной называется модель, значение выхода которой однозначно определяется значением входного сигнала. Причины возникновения неопределенностей: • погрешности и помехи измерений; • неточность математической модели; • неполнота информации о параметрах. 15

Математические схемы • D-схемы – непрерывно-детерминированные модели • F-схемы – дискретно-детерминированные модели • P-схемы – дискретно-стохастические модели • Q-схемы – непрерывно-стохастические модели • N-схемы – сетевые модели • A-схемы – комбинированные модели 16

Непрерывнодетерминированные модели 17

Примеры систем m s 18

Дискретно-детерминированные модели Конечным автоматом называется система S=, где U – входной алфавит, X – внутренний алфавит, Y – выходной алфавит, f – функция переходов, g – функция выходов. Автомат Мили. f: U X X, g: U X Y. Автомат Мура. f: U X X, g: X Y. 19

Пример системы 20

Дискретно-стохастические модели Вероятностным автоматом называется система S=, где U – входной алфавит, X – внутренний алфавит, Y – выходной алфавит, Р – множество вероятностей: P(Xk=xj, Yk=yd / Xk-1=xi, Uk-1=us); i, j {1, 2, …, |X|}; d {1, 2, …, |Y|}; s {1, 2, …, |U|}. 21

Пример системы 22

Непрерывно-стохастические модели Заявки на обслуживание Очередь Устройства Обработанные заявки Потери Уходы Отказы 23

Пример системы 24

Сетевые модели описываются системой S=, где B – множество позиций, D – множество переходов, I: B D {0, 1} – входная функция, O: B D {0, 1} – выходная функция, M – функция разметки сети. 25

Пример системы 26

Основная литература • Советов Б. Я. , Яковлев С. А. Моделирование систем. 4 -е изд. – М. : Высшая школа, 2005. – 343 с. • Советов Б. Я. , Яковлев С. А. Моделирование систем. Практикум. 4 -е изд. – М. : Высшая школа, 2003. – 295 с. • Кельтон В. , Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. 3 -е изд. – СПб. : Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2004. – 847 с. 27

Дополнительная литература • Андриевский Б. Р. , Фрадков А. Л. Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab. – СПб. : Наука, 2001. – 286 с. • Вероятностные разделы математики / Под ред. Максимова Ю. Д. – СПб. : «Иван Федоров» , 2001. – 592 с. • Соболь И. М. Метод Монте-Карло. – М. : Наука, 1968. – 64 с. 28