Моделирование систем 48 часов лекции 52 часов лабораторные экзамен
Введение в теорию моделирование систем • Модель — способ замещения реального объекта или процесса, используемый для его изучения • Модель используется вместо исходного объекта в случаях, когда проведение экспериментального исследования затруднено 2
Литература • • 1. Неймарк Ю. И. Математические модели в естествознании и технике. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. Вып. 2, 1996. 2. Советов Б. Я. , Яковлев С. А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. М. : Высш. шк. , 1998. 3. Советов Б. Я. , Яковлев С. А. Моделирование систем. Практикум: Учеб. пособие для вузов. М. : Высш. шк. , 2001. 4. Мирошников А. Н. , Румянцев С. Н. Моделирование систем управления технических средств транспорта: Учебн. пособие. СПб: Элмор, 1999. 5. Васильков Ю. В. , Василькова Н. Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учебн. пособие. М: Финансы и статистика, 1999. 6. Вабищевич П. Н. Численное моделирование: Учебн. пособие. М. : Изд -во МГУ, 1993. 7. Самарский А. А. , Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М. : Наука, 1997. 3
• Моделирование тесно связано с проектированием: сначала систему проектируют, затем её испытывают, потом корректируют проект и снова испытывают, и так до тех пор, пока проект не станет удовлетворять предъявляемым к нему требованиям. Процесс «проектирование-моделирование» цикличен. • Модель играет системообразующую и смыслообразующую роль в научном познании, позволяет понять явление, структуру изучаемого объекта. Это означает, что модель позволяет разложить систему на элементы, связи, механизмы, требует объяснить действие системы, определить причины явлений, характер взаимодействия составляющих. 4
В самом простом случае технология моделирования подразумевает 3 этапа: формализация, собственно моделирование, интерпретация Формализация – процесс перехода из реальной области в виртуальную (модельную) Моделирование – изучение модели, численный эксперимент Интерпретация – анализ результатов моделирования 5
6
Соответствие исходному объекту 7
• Таким образом, в модель включаются только существенные аспекты, представляющие объект, и отбрасываются все остальные (бесконечное большинство). • Существенный или несущественный аспект описания определяют согласно цели исследования. • Начинать моделирование, исследователь должен с определения основной цели, отделив её от всех возможных других целей, число которых, может быть бесконечно. 8
Средства моделирования • Инструмент — типовое средство, позволяющее достичь оригинальный результат и обеспечивающее сокращение затрат на выполнение промежуточных операций (схемы, стандартные библиотеки, мастера, линейки, чертежный инструмент и т. д. ). • Технология — набор стандартных способов, приёмов, методов, позволяющий достичь результата гарантированного качества с помощью указанных инструментов за заранее известное время при заданных затратах, но при соблюдении пользователем объявленных требований и порядка. • Среда — совокупность рабочего пространства и инструментов на нем, поддерживающая хранение и изменение, преемственность проектов и интерпретирующая свойства объектов и систем из них. 9
Принципы моделирования • Принцип информационной достаточности – определяет некоторый критический уровень априорных сведений о системе, при достижении которого может быть построена ее адекватная модель. • Принцип осуществимости – определяет достижение поставленной цели моделирования с вероятностью P(t) и за конечное время t. P(t)≥P 0 ; t≤ t 0. (P 0 , t 0 – некоторые пороговые значения) 10
• Принцип множественности моделей – создаваемая модель должна отражать свойства реальной системы, которые влияют на выбранный показатель эффективности: совокупность полезного эффекта модели, затрат ресурсов на разработку модели и затрат времени на моделирование (любая конкретная модель отражает лишь некоторые стороны и с разной степенью детальности реальный процесс). • Принцип агрегирования – определяет возможность представить сложную систему состоящей из агрегатов (подсистем), описание которых некоторые осуществимо стандартными математическими схемами. Это позволяет достаточно гибко перестраивать модель в зависимости от задач исследования 11
• Принцип параметризации – позволяет некоторые относительно изолированные подсистемы, характеризующиеся определенным параметром, в том числе векторным, заменять в модели соответствующими числовыми величинами, а не описывать процесс их функционирования. Замечание. При необходимости зависимость значений этих величин от ситуации может задаваться в виде таблицы, графика или аналитического выражения (формулы). Принцип параметризации позволяет сократить объем и продолжительность моделирования. Однако надо иметь в виду, что параметризация снижает адекватность модели. 12
Классификация моделей • • • феноменологические и абстрактные; активные и пассивные; статические и динамические; дискретные и непрерывные; детерминированные и стохастические; распределённые, структурные, сосредоточенные модели; • функциональные и объектные. 13
Феноменологические и абстрактные • Феноменологические модели сильно привязаны к конкретному явлению. Изменение ситуации часто приводит к тому, что моделью воспользоваться в новых условиях достаточно сложно. Это происходит от того, что при составлении модели не удалось отразить внутренние закономерности моделируемой системы. Феноменологическая модель передаёт внешнее подобие. • Абстрактная модель воспроизводит систему с точки зрения её внутреннего устройства, копирует её более точно. У неё больше возможностей, шире класс решаемых задач. 14
Активные и пассивные • Активные модели взаимодействуют с пользователем; могут не только, как пассивные, выдавать ответы на вопросы пользователя, когда тот об этом попросит, но и сами активируют диалог, меняют его линию, имеют собственные цели. Все это происходит за счёт того, что активные модели могут самоизменяться. 15
Статические и динамические • Статические модели описывают явления без развития. Динамические модели прослеживают поведение систем, поэтому используют в своей записи, например, дифференциальные уравнения, производные от времени 16
Дискретные и непрерывные • Дискретные и непрерывные модели. Дискретные модели изменяют состояние переменных скачком, потому что не имеют детального описания связи причин и следствий, часть процесса скрыта от исследователя. Непрерывные модели более точны, содержат в себе информацию о деталях перехода 17
Детерминированные и стохастические • Если следствие точно определено причиной, то модель представляет процесс детерминировано. Если из-за неизученности деталей не удаётся описать точно связь причин и следствий, а возможно только описание в целом, статистически (что часто и бывает для сложных систем), то модель строится с использованием понятия вероятности. 18
Распределённые, структурные, сосредоточенные модели • Если параметр, описывающий свойство объекта, в любых его точках имеет одинаковое значение (хотя может меняться во времени!), то это система с сосредоточенными параметрами. • Если параметр принимает разные значения в разных точках объекта, то говорят, что он распределён, а модель, описывающая объект, — распределённая. • Если модель копирует структуру объекта, но параметры объекта сосредоточенны, тогда модель — структурная. 19
Функциональные и объектные • Если описание идёт с точки зрения поведения, то модель построена по функциональному признаку. • Если описание каждого объекта отделено от описания другого объекта, если описываются свойства объекта, из которых вытекает его поведение, то модель является объектноориентированной. 20
Модели сложных систем • Приведённая выше классификация является идеальной. Модели сложных систем обычно имеют комплексный вид, используют в своём составе сразу несколько представлений. • Если удаётся свести модель к одному типу, для которого уже сформулирована алгебра, то исследование модели, решение задач на ней существенно упрощается, становится типовым. Для этого модель должна быть различными способами приведена к каноническому виду, то есть к виду, для которого уже сформулирована алгебра, её методы. • В зависимости от используемого типа модели (алгебраические, дифференциальные, графы и т. д. ) на разных этапах её исследования используются различные математические аппараты. 21
Схема процесса моделирования 22
Полная схема процесса, способов и приемов моделирования 23
Этапы моделирования 24
Первые этапы решают менее формализованные задачи, а последующие — все более формальные. Методы первых этапов менее формализованы, а последующих — более формальные, мощные. Это означает, что самые трудные и ответственные этапы для разработчика — первые: здесь больше требуется интуитивных решений. Ошибка на более ранних этапах больше сказывается на дальнейших решениях, возвращаться и переделывать приходится гораздо больше, чем на последних этапах. Поэтому удачные решения на первых этапах вызывают интерес системотехников, поскольку формальные методы легко автоматизируются и последние этапы схемы поддержаны программными продуктами и легко доступны конечным пользователям. В настоящее время наибольший интерес сегодня представляют программные продукты, поддерживающие первые этапы — системы, помогающие формализовать задачи. А также системы, обеспечивающие сквозное проектирование, доведённое до моделирования и конечной реализации (автоматическое порождение кода по описанию 25 проекта).
Задача о разрезаниях Из рис. видно, что при 0 разрезах образуется 1 кусок, при 1 разрезе образуется 2 куска, при двух — 4, при трёх — 7, при четырёх — 11. Сколько потребуется разрезов для образования 821 куска? Неизвестна закономерность K = f(P), где K — количество кусков, P — количество разрезов. Как обнаружить закономерность? 26
Решение Составим таблицу, связывающую известные нам числа кусков и разрезов. Таблица соответствия разрезов и получающихся фрагментов фигуры Разрезы 0 1 2 3 4 . . Куски 1 2 4 7 11. . Разрезы 0 1 2 3 4 . . Куски 1 2 4 7 11 . . . Первые разности 1=2 -1 2=4 -2 3=7 -4 4=11 -7 27
Решение Разрезы 0 1 2 3 4 . . Куски a=1 2 4 7 11 . . Первые разности b=1=2 -1 2=4 -2 3=7 -4 4=11 -7 . . Вторые разности c=1=2 -1 . . 1=3 -1 1=4 -3 . . Функция f называется производящей функцией. Если она линейна, то первые разности равны между собой. Если она квадратичная, то вторые разности равны между собой. Функция f – частный случай формулы Ньютона: K = a + b · p + c · p · (p – 1)/2 = 1 + p · (p – 1)/2 = 0. 5 · p^2 + 0. 5 · p + 1. p = ? 28
Выводы • • Сразу найти решение не удалось Поставить эксперимент оказалось затруднительно Модель получилась в виде уравнения Добавив к уравнению вопрос и уравнение, отражающее известное условие, образовали задачу. • Задача оказалась типового вида, ее удалось решить • Модель отражает причинно-следственные связи • Сама математика не даёт возможности выводить из результатов экспериментов какие-либо законы или модели - это один из нескольких возможных способов изучения объекта, явления 29
«О вреде огурцов» Огурцы вас погубят! Каждый съеденный огурец приближает вас к смерти. Удивительно, как думающие люди до сих пор не распознали смертоносности этого растительного продукта и даже прибегают к его названию для сравнения в положительном смысле ( «как огурчик!» ). И, несмотря ни на что, производство консервированных огурцов растёт. С огурцами связаны все телесные недуги и вообще все людские несчастья. Практически все люди, страдающие хроническими заболеваниями, ели огурцы. 99. 9% всех людей, умерших от рака, при жизни ели огурцы. 100% всех солдат ели огурцы. 99. 7% всех лиц, ставших жертвами автомобильных и авиационных катастроф, употребляли огурцы в пищу в течение двух недель, предшествовавших несчастному случаю. 93. 1% всех малолетних преступников происходят из семей, где огурцы потребляли постоянно. Есть данные и о том, что вредное действие огурцов сказывается очень долго: среди людей, родившихся в 1889 году и питавшихся впоследствии огурцами, смертность равна 100%. Все лица рождения 1889— 1909 годов имеют дряблую морщинистую кожу, потеряли почти все зубы, практически ослепли (если болезни, вызванные потреблением огурцов, не свели их уже давно в могилу). Ещё более убедительный результат, полученный известным коллективом учёных-медиков: морские свинки, которым принудительно скармливали по 20 фунтов огурцов в день в течение месяца, потеряли аппетит! Единственный способ избежать вредного действия огурцов — изменить диету. Ешьте суп из болотных орхидей. От него, насколько нам известно, ещё никто не умирал. Вот так! 30
Способы решения задач • Задача. Пусть два объекта (например, пешеход и велосипедист) движутся другу навстречу со скоростями V 1 и V 2 соответственно. Необходимо узнать: когда и где встретятся эти объекты? 31
Аналитический явный способ T 1 : = D/(V 1 + V 2) S 1 : = V 1 · T 1 • Модель нереальна • Можно найти только время T и место встречи S 32
Аналитический неявный способ f(T, V 1, V 2, D, S) = 0 • Можно формулировать при необходимости целый ряд произвольных задач • Модель имеет вид объекта • 33
Имитационный алгоритмический способ Поскольку рассматривается множество актов движения по отдельности, можно по ходу менять все переменные модели 34
Имитационный геометрический способ 35
Имитационная статистическая постановка задачи Работа помехи Усложним задачу, введя в неё дополнительное условие. На пути первого и/или второго объекта встретится помеха — пусть это будет участок железной дороги со шлагбаумом, который работает по случайному закону. 36
Алгоритмическая схема задачи 37
Имитационный критериальный способ Этот способ — ещё один шаг к усложнению модели и приближению её к реальным условиям. Если во всех предыдущих случаях скорость V была известна, то теперь она — непредсказуема, даже статистически, что чаще всего и наблюдается в реальных условиях. Скорость может зависеть от обстановки, степени достижения цели, плана, целесообразности поведения, знания местности, желания двигаться (психологический мотив). Такая постановка ведёт к адаптивным системам 38
Скачать презентацию Моделирование систем 48 часов лекции 52 часов лабораторные
Моделирование систем1.ppt