Моделирование систем 4 8 1 Математические описания систем

Моделирование систем 4. 8. 1 Математические описания систем и модели систем в рамках теоретико-множественного подхода. ИС, как любая сложная система, определяется тремя основными категориями: элементы, отношения, свойства. Однозначное и полное задание этих категорий фактически определяет систему. Возможные способй формализованного описания системы связаня с понятием модели. Модель – объект заменитель объекта оригинала, обеспечиваюший изучаниенаиболее существенных в интересующем аспекте свойств и позволяющий абстрагироваться от его несущественных характеристик. Два подхода математической формализации моделей: Структурный (особое внимание оказывается анализу внутренних состояний системы) Функциональный (система рассматривается как черный ящик) В условиях предельно нечеткого вербального описания систему можно представить в виде Где A –множество лингвистических переменных терм, определяющих объекты, а B – множество функторов – лингвистических переменных, определяющих отношения (формы связи) между ними. При реализации функционального подхода С определяют как , где X – множество входных объектов, а Y – множество выходных объектов. В более характерном случае для определения системы в рамках функционального подхода используется понятие отображения или функции Для любых. Определенная таким образом система называется функциональной. •

• 4. 8. 2 Системный подход и системный анализ. Системный подход – термин, который возник на начальном этапе развития общей теории систем, означающий многоаспектный характер исследования сложного объекта с разных сторон (точек зрения, аспектов). Одновременно, выдвигается требование сохранения комплексного характера проводимого исследования, то есть учета взаимовлияния различных аспектов и разнородных факторов. Системный анализ – исследования сложной системы (проблемы), или системные исследования, снабженные определенной методологией, позволяющей разбить изучаемый процесс на отдельные подпроцессы, выделить этапы исследования, расчленить проблему на более простые подпроблемы и т. п. Другими словами, системный анализ предполагает использование некоторой методологии, обеспечивающей научное формирование структурной основы проведения исследований в интересах решения сложной проблемы по частям. В ходе системного анализа (СА) исследуются такие понятия, как целевые функции системы; планирование поведения системы; структура и эффективность в зависимости от основных факторов внешней среды. Для СА также характерно сочетание формальных и неформальных методов и приемов, которые каждый раз находятся в соответствии с существом решаемой проблемы. Качественные методы направлены на организацию постановки задачи, выполнение начального этапа ее формализации, формирование множества альтернативных вариантов решения, выбор подходов к оценке вариантов. Эти методы и подходы являются эвристическими, то есть опирающимися на опыт, творческую потенцию и интуицию исследователя. Метод «мозгового штурма» или коллективной генерации идей (КГИ). Данная концепция получила развитие с начала 50 х годов как метод систематической тренировки творческого мышления, нацеленный на открытие новых идей и достижение согласия группы людей на основе интуитивного мышления. Метод сценариев. Метод подготовки и согласования взглядов на проблему и возможные пути ее решения, представленных в письменной форме. Метод «Дельфи» . В отличие от традиционного подхода к достижению согласованности мнений специалистов путем открытой дискуссии метод Дельфи предполагает полный отказ от коллективных обсуждений. Это делается для того, чтобы исключить влияние таких психологических факторов, как присоединение к мнению авторитетов, следование за мнением большинства и т. п. Метод анализа иерархий (МАИ). Данный метод относится к числу наиболее эффективных методов принятия решений в сложных ситуациях и направлен на выбор альтернативных вариантов поведения с использованием мнений лиц, принимающих решения, а также специальной математической обработки этих мнений. Морфологические методы. Основ. идея морфолог. методов систематическое нахождение всех «мыслимых» вариантов решения проблемы или реализаций сложной системы путем комбинирования выделенных элементов или их признаков.

4. 8. 3 Типы моделей систем Термин модель используется в связи с отношением между двумя системами, при котором одна из них (реальная) заменяется другой с целью получения определенных преимуществ в процессе исследования. Подобные отношения должны обеспечивать, с одной стороны, подобие в рассматриваемом аспекте исследования, а, с другой стороны, максимальную степень независимости по отношению к не рассматриваемым аспектам. Для исследования систем возможно использование различных типов моделей: функциональных и структурных; статистических и динамических; детерминированных и стохастических и т. п. Основные типы моделей мы будем выделять по типам реализуемых в них отношений подобия. Абстрактные (закрытые) системы – не имеющие физических каналов связи с внешней средой. Физическая (любая реальная) система является открытой, т. е. взаимодействующей тем или иным образом с внешней средой и доступной наблюдению. Четыре типа : Исходная сист. Моделирующая сист. I физическая (Ф) > абстрактная (А) II абстрактная (А) > физическая (Ф) III физическая (Ф) > физическая (Ф) IV абстрактная (А) > абстрактная (А) При проведении исследований информационных систем могут быть использованы аналитические математические модели, особенностью которых является использование функциональных соотношений и явных зависимостей, связывающих искомые показатели качества ИС с их внутренними параметрами и характеристиками внешней среды. Однако даже самый мощный аппарат современной математики позволяет адекватно описать поведение только относительно простых систем. В связи с этим, для моделирования сложных ИС, имеющих многоаспектный характер поведения, используются технологии имитационного моделирования. Имитационная модель позволяет разрешить главную проблему современной науки − проблему сложности или, как еще говорят, − «проклятие размерности» .

4. 8. 4 Принципы построения и проверки имитационных моделей. Для моделирования сложных ИС, имеющих многоаспектный характер поведения, используются технологии имитационного моделирования. Имитационная модель (ИМ) − это формальное (то есть выполненное на некотором языке) описание логики функционирования исследуемой системы и взаимодействия ее отдельных элементов во времени, учитывающее наиболее существенные причинно следственные связи, присущие системе, и обеспечивающее проведение статистических экспериментов. Последнее условие отражает вероятностный, стохастический характер информационных процессов, всегда имеющий место в сложных информационных системах. Процесс им. Моделирования: I. Построение математического описания процессов и подпроцессов преобразования информации в системе II. Построение набора алгоритмов, обеспечивающих имитацию всех подпроцессов в соответствии с отдельными составляющими математической модели III. Реализация на ЭВМ программы имитации и статистического анализа эффективности системы Отношения подобия при получении им. модел. этапы создания ИМ : 1. Составление содержательного описания объекта моделирования, включая: определение объекта имитации и внешней среды; определение целей моделирования; 2. Определение концептуальной (содержательной) модели как абстрактной модели, фиксирующей тип и структуру моделируемой системы 3. Формализация описания системы на основе построения блочной модели функционирования системы 4. Программирование и отладка модели 5. Проверка адекватности модели, заключающаяся в проведении серии испытаний 6. Организация (постановка) и оптимизация модельного эксперимента, включающая в себя так называемые стратегическое пла нирование и тактическое планирование 7. Реализация плана эксперимента 8. Анализ и интерпретация результатов

4. 8. 5 Имитационные модели систем массового обслуживания. В ходе математической формализации систем как СМО они традиционно представляются в виде композиции элементарных приборов обслуживания (Q схем), соединенных в соответствии с имеющимися взглядами на облик системы. разомкнутые СМО функционирование источников и входной поток не зависят от процесса обслуживания замкнутые СМО существует обратная связь и входной поток зависит от числа заявок, находящихся на обслуживании, а заявки с выхода могут опять поступать на вход системы По отсутствию или наличию возможности ожидания заявок в очередях выделяют: СМО с отказами; СМО с ожиданием; СМО смешанного типа, имеющие ограничения на время ожидания или на размеры очереди. По количеству параллельно включаемых элементарных приборов обслуживания различают одноканальные и многоканальные СМО По числу этапов – фаз обслуживания заявок входного потока, реализуемых при последовательно включенных элементарных приборах обслуживания или их комбинаций, выделяют однофазные и многофазные СМО. По наличию специальных правил обслуживания различают СМО с приоритетными дисциплинами и бесприоритетными дисциплинами обслуживания (типа FIFO, LIFO) Аналитической моделью СМО называется совокупность уравнений и формул, позволяющих определять вероятности состояний системы в процессе ее функционирования в зависимости от времени и рассчитывать значения показателей эффективности по заданным параметрам входящего потока и потоков каналов обслуживания. Такая модель в случае, когда процессы смены состояний являются марковскими (пуассоновские входные потоки и потоки обслуживания), задается уравнениями Колмогорова Pi(t) – вероятности i го состояния СМО в момент времени t λi. J – интенсивности переходов из i го в j ое состояние Pij(Δt) вероятности переходов из i го в j ое состояние за время ∆t Если приравнять производные нулю, то можно полу чить так называемое стационарное решение для t > ∞ путем решения соответствующих алгебраических уравнений

4. 8. 5 Имитационные модели систем массового обслуживания. Реализация технологий ИМ применительно к задачам исследования СМО состоит: 1) в построении алгоритмов и программных модулей, вырабатывающих реализации случайных потоков однородных и неоднородных событий, то есть «генераторов» источников; 2) в построении моделирующих алгоритмов и программных модулей, описывающих функционирование отдельных элементов, а также СМО в целом в соответствии с ее структурой и внутренними параметрами; 3) в многократном воспроизведении входных потоков и общего процесса обслуживания, a также в обработке получаемых данных в интересах оценки показателей эффективности данного типа СМО. Общий подход для моделирования стационарных потоков с ограниченным последействием и заданным f(τ): 1) Формируется момент времени наступления первого события в соответствии с соотношениями , τ 1 = ϕ 1 1(x 1) 2) Для последующих вызывающих моментов правило нахождения: ti = ti 1 + τi, τi = ϕ 1 1(xi), ϕ(τi) = Поток Пуассона (f(τ) = λ e λτ). Плотность f 1(u) имеет вид: f 1(u) = λ(1 e λτdτ)= λ e λu = f(u), то есть первый интервал распределен также, как и все остальные. ϕ 1(τ) = ϕ(τ) = = 1 e λτ = x τi = 1/ λ ln(1 x ) = 1/λ ln(xi) ti = ti 1 + τi i Поток Эрланга. f(τ) =λ*( λ* τ)m 1/(m 1)!* e λ* τ. Пусть m=2, f 1(u) = λ*/2(e λ* u+ λ* ue λ* u). Для нахождения τ1 требуется решать трансцендентное уравнение e 2 z(z+1)=x , z = λ* τ /2. 1 1 Если реализация достаточно длинная, то можно положить, что f 1(τ1) = f(τ1) и существенно упростить процедуру моделирования (исключить решение трансцендентного уравнения).