Моделирование Математическое моделирование Функции математического моделирования Литература 1

Моделирование. Математическое моделирование. Функции математического моделирования. Литература: 1. Зарубин В. С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для вузов / Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. – М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. – 496 с. 1 2. Лебедев А. Н. Моделирование в научно-технических исследованиях. – М. : Радио и связь, 1989. – 224 с.

Моделирование – это разработка модели объекта (натуры) в виде символической или материальной копии, имеющей свойства, идентичные со свойствами оригинала. Цель моделирования. Создать упрощенную копию оригинала, позволяющую изучить определенные свойства натуры и в дальнейшем прогнозировать изменение этих свойств. Модель копирует натуру в плане конкретно поставленной задачи. Она не полная копия натуры, имеет некоторые отличия, но которые не мешают получить ответ на вопрос о поведении натуры в определенных условиях. Примеры объектов моделирования (оригиналов): устройства и механизмы, окружающая среда, движение объектов различной природы, можно моделировать изменение свойств материала объекта под различными видами воздействий: давление газов и жидкости, импульса силы, температурного поля, агрессивных сред, моделируются процессы разрушения; течение газов и жидкостей в каналах или резервуарах и многое другое. Примеры моделей объектов: можно назвать моделью простое описание объекта; нам более понятны такие модели, как рисунок, чертеж, макет, моделью может быть полная копия объекта, график, схема, математическая функция или формула, система уравнений. 2

Классификация методов моделирования Методы моделирования Материальное Физическое Аналоговое Идеальное Знаковое Интуитивное Математическое Сценарий Графическое Мысленный эксперимент Рис. 1. 1. Классификация методов моделирования 3

Основное условие при физическом моделировании - подобие процессов. Оно достигается при соблюдении необходимых и достаточных условий моделирования, а именно, равенства определенных критериев подобия. Из приведенной классификации понятно, что математическое моделирование является идеальным и знаковым моделированием. Математическое моделирование (ММ) - это моделирование структуры, функций и свойств моделируемого объекта с помощью знаковых соотношений, позволяющих анализировать поведение оригинала с помощью математических выражений. Основное преимущество математического моделирования - относительная дешевизна проверки прогноза свойств объекта. Недостаток – низкая достоверность прогноза. 4

Виды математических моделей: • • статистические и динамические (пример, рисунок); скалярные и векторные(пример, рисунок); детерминированные и вероятностные(пример, рисунок), аналитические и численные(пример, рисунок); имитационные; структурные и функциональные; теоретические и эмпирические. Имитационные модели – это модели, которые позволяют исследовать реакцию объекта на различного рода воздействия, например сигналы управления. При этом процессы имеющие место в самом объекте не рассматриваются. Таким образом выполняется имитация внешних проявлений объекта. Если ММодель отражает элементный состав некоторой системы, устройства, взаимное расположение этих элементов, их взаимодействие, то такая ММ является структурной ММ. Если ММ построена для описания процессов, происходящих в этой системе, то математическая модель является функциональной. 5

- работа выполненная движущимся телом Теоретические модели строятся на совокупности известных законов природы, различного рода соотношений и констант, например, с использованием законов: сохранения энергии, сохранения массы вещества, сохранения количества движения, законов Ома, Юнга, и многих других. Эмпирические модели (т. е. экспериментальные или из опыта и наблюдений) строятся по данным эксперимента, например, по данным факторного эксперимента, когда по изменению управляемых факторов можно установить изменение некоторой характеристики объекта. 6

Функции математического моделирования Первая функция. Исследование и изучение структуры, основных свойств, законов развития и взаимодействия с окружающим миром объекта моделирования. Формирование мировоззрения. Хорошо построенная модель в некоторых случаях неожиданно для исследователя позволяет узнать нечто новое об объекте моделирования. Один из таких случаев можно считать классическим. Законы Кеплера: 1. каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов находится Солнце; 2. отрезок, соединяющий Солнце и планету за равные промежутки времени покрывает равные площади; 3. квадраты периодов обращения планет пропорциональны кубам их средних расстояний от Солнца: 7

Великий физик Исаак Ньютон (1643 1727), открывший закон тяготения, установил, что силы тяготения и инерции управляют движением планет. В начале XIX столетия, при достаточном наблюдении за движением по орбите 7 -ой планеты Солнечной системы – Урана, было установлено, что она не полностью следует Кеплеровским законам, даже если допустить влияние ближайших планет – Сатурна и Юпитера. Может быть, законы Кеплера не верны? Или есть еще какое - то тело, которое искажает траекторию движения Урана. Независимо друг от друга занялись исследованием этой проблемы два ученых: англичанин Адамс и француз Леверрье. По роковому стечению обстоятельств для Адамса, открытие новой планеты Нептун исторически признается за Леверрье, которое произошло 23 сентября 1846 года. 8

Вторая функция. Определение характеристик управления объектом моделирования при заданных целях, критериях и ограничениях. Некоторые системы, например технические, вполне управляемы. Исходя из назначения устройства, конечной цели управления этим устройством, можно сделать управление оптимальным по какому-либо критерию. Пример: устройство - автомобиль, цель - определенный пункт прибытия; ограничения - топливо и время; критерий - минимум затрат. Для решения такой задачи достаточно иметь модель местности или города - карту и зависимость расхода топлива от пройденного расстояния и вида дороги. Для особо щепетильных модельщиков можно учесть прогноз погоды, вид груза, транспортного средства, розы ветров и т. п. Третья функция. Прогнозирование прямых и косвенных последствий управления объектом и других видов воздействия. Прогнозирование последствий управления - важнейший критерий качества модели. Модель имеет право называться моделью только тогда, когда она способна что-то предсказать о поведении объекта в будущем при воздействии на нее каких-либо природных факторов или воздействий 9 управления.

Требования к модели Натуральный объект 1. Адекватность 2. Реализуемость 3. Непротиворечивость 4. Чувствительность 5. Точность Модель объекта Адекватность - соответствие - изоморфизм. Случай полного изоморфизма - знание о структуре и функциях объекта - случай “белого ящика”. Случай “серого ящика” – есть знания о функциях, но данные о структуре неполные. При знаниях только о функциях объекта, знания о структуре отсутствуют - случай “черного ящика” (Таблица 1. 1). 10

Таблица 1. 1. Адекватность моделирования 2. Реализуемость - возможность практического выполнения. 3. Непротиворечивость - соответствие поведения процесса логике процесса, например, в предельных и критических точках. 4. Чувствительность - характер и интенсивность реакции модели на входящие сигналы. 11 5. Точность - степень различия результатов, получаемых на модели и натуре.

Классификация представления средств моделирования. Технические средства моделирования определяют уровень и качество моделирования. Различают средства: • аппаратные, которые делят на стенды (физические модели), приборы контроля и измерения, ЭВМ. Под ЭВМ понимается комплекс вычислительной и компьютерной техники (железо); • программно-математическое средства (обеспечение), которое можно разделить на прикладные и фундаментальные знания и системное обеспечение. Основа моделирования - фундаментальные и прикладные знания. Системное обеспечение - веяние конца ХХ века, мощный инструмент моделирования. 12

Классификация средств моделирования Средства моделирования Аппаратные Программно-математические Стенды Прикладные и фундаментальные знания ЭВМ Системные программы Приборы измерения и контроля Языки программирования Программное обеспечение 13