Моделирование конфликтных ситуаций с применением математической теории игр

Моделирование конфликтных ситуаций с применением математической теории игр

Теория игр 1. Основные понятия теории игр. n Теория игр - математическая дисциплина, устанавливающая количественные закономерности в конфликтных и неопределенных ситуациях. n Конфликтная ситуация – ситуация, в которой сталкиваются противоположные интересы противоборствующих сторон. n Черты конфликтной ситуации: - наличие заинтересованных сторон, - наличие набора возможных действий у каждой из сторон, - наличие своих интересов у каждой стороны.

Теория игр n Игра - математическая модель конфликтной ситуации. n Игроки - это стороны, участвующие в конфликте. n Стратегии игроков – это совокупность их правил действия. n Правила - система условий, которые описывают: - возможные действия каждого из игроков, - объем информации, которую может получить каждая из сторон о возможных действиях противника, - исход (результат) игры после каждой совокупности «ходов» противника

Теория игр n n n Результат игры (исход конфликта) называют выигрышем или платежом. Игра задается платежной матрицей (матрица эффективности, матрица игры). Виды игр: Ø по количеству игроков, Ø по количеству стратегий игроков, Ø по характеру выигрышей, Ø по степени неполноты информации.

Теория игр Классификация игр по количеству игроков: - парная - множественная по количеству стратегий: - конечная - бесконечная по характеру выигрышей: - антагонистическая - неантагонистическая по степени неполноты информации: - статистическая - стратегическая

Теория игр 2. Постановка парной антагонистической игры. Дано: A 1, A 2, …, Am - стратегии игрока А (чистые стратегии игрока А); B 1, B 2, …, Bn- стратегии игрока В (чистые стратегии игрока А). aij (i= ; j= ) – платеж игрока В, при выборе им j – ой стратегии, игроку А, если последний выбирает свою i – ю стратегию. Найти решение игры

Теория игр n Платежная матрица:

Теория игр n Платежная таблица: AiBj B 1 B 2 …. Bn A 1 a 12 …. a 1 n A 2 a 21 a 22 …. a 2 n …. …. Am am 1 am 2 …. amn

Теория игр n n n Цель теории игр – выработка рекомендаций для удовлетворительного поведения игроков в конфликте и выявления для каждого из них оптимальной стратегии. Решить игру – это значит найти пару оптимальных стратегий (для каждого игрока) и средний выигрыш игрока А, если оба – и А и В – будут вести себя разумно. Оптимальными называются стратегии игроков, при которых один из игроков получает максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии; при этом второй должен иметь минимальный проигрыш, если будет придерживаться своей стратегии.

Теория игр n n n Выбор оптимальной стратегии базируется на принципе разумности каждого игрока, т. е. поведение каждого из них направлено на противодействие другому. Оптимальность опирается на некоторый критерий. Поэтому возможны случаи, когда стратегия является оптимальной в смысле одного критерия и не оптимальной в смысле другого. Цена игры (υ)- средний выигрыш, на который вправе рассчитывать игрок А, если обе стороны будут вести себя разумно, т. е. придерживаться своих оптимальных (наилучших) стратегий.

Теория игр Замечания: Если: Ø aij >0, то В платит А, Ø aij <0, то А платит В, Ø aij=0, то никому не платит. n Если: Ø υ >0 - игра выгодна для А, Ø υ <0 - игра выгодна для В, Ø υ =0 - ничья. n

Теория игр 3. Максиминные и минимаксные стратегии. Цель игрока А – получить максимальный гарантированный выигрыш при наихудших условиях. Пусть αi = для всех 1≤ i ≤m - наихудшие условия. Тогда α = = α - максимин стратегий игрока А или нижняя цена игры.

Теория игр Цель игрока В – уменьшить выигрыш игрока А. Пусть βj = для всех 1 ≤ j ≤ n -максимальный выигрыш игрока А. Тогда β = = β – минимакс стратегий игрока В или верхняя цена игры.

Теория игр Вывод: если игрок А выбирает одну из максиминных стратегий, то его выигрыш будет не меньший, чем α при любой стратегии игрока В, но не больший, чем β. Возможны случаи: Ø α ≤ β – в любой задачи; Ø Ø α = β= υ – решением игры являются чистые стратегии игроков; α ≠ β – решением игры являются смешанные стратегии игроков.

Теория игр Пример. Найти верхнюю и нижнюю цену игры, максиминную и минимаксную стратегии игроков А и В, если платежная таблица игры имеет вид: Ai Bj B 1 B 2 B 3 A 1 -3 4 4 A 2 1 -2 1 A 3 4 4 -2

Теория игр Решение. Вычисление проведем в таблице A 1 A 2 A 3 B 1 -3 1 4 B 2 4 -2 4 B 3 4 1 -2 βj max{-3, 1, 4}=4 max{4, -2, 4}=4 max{4, 1, -2}=4 αi min{-3, 4, 4} = -3 min{1, -2, 1} = -2 min{4, 4, -2} = -2 4-2 Нижняя цена игры равна α =max {-3, -2}=-2. Верхняя цена игры β =min{4, 4, 4}= 4. Т. к. α 2=α 3, то стратегии А 2 и А 3 - максиминные стратегии игрока А; у игрока В все стратегии минимаксные.

Теория игр 4. Принцип доминирования. Цель - уменьшить размерность задачи (редуцировать платежную матрицу). Принцип доминирования – один из приемов редуцирования платежной матрицы. Идея принципа – исключить из рассмотрения те стратегии игроков, которые являются очевидно не выгодными для игроков.

Теория игр Пример. Упростить платежную таблицу, которая имеет вид: АiBj B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 А 1 -2 1 3 0 1 А 2 -1 -4 А 3 1 -5 6 3 -5

Теория игр Решение. 1. сравним В 2 и В 5 : АiBj А 1 А 2 А 3 B 1 -2 -1 1 B 2 1 -4 -5 B 3 3 2 6 2. В 3 исключаем: АiBj B 1 B 2 B 4 А 1 -2 1 0 А 2 -1 -4 -1 А 3 1 -5 3 B 4 0 -1 3

Теория игр Решение. 3. сравним В 1 и В 4: АiBj B 1 B 2 А 1 -2 1 А 2 -1 -4 А 3 1 -5 Вывод: В результате рассмотрения неэффективности стратегий игрока В, удалось игру размерностью 3× 5 уменьшить до размера 3× 2.

Теория игр 5. Решение игры в чистых стратегиях. Если α = β, то игра имеет седловую точку (или седловые точки). Решение игры сводится к нахождению седловой точки. Цена игры с седловой точкой равна: υ =α = β. Пример. Проверить имеет ли игра седловую точку:

Теория игр Решение. Найдем верхнюю и нижнюю цену игры: A i B j B 1 B 2 B 3 αi A 1 0. 7 0. 5 0. 3 A 2 0. 6 0. 9 0. 4. 4 βj 0. 7 0. 9 0. 4 Так как α=β=0, 4, то игра имеет седловую точку (А 2, В 3). υ=α=β=0, 4 - чистая цена игры. А 2 – максиминная стратегия игрока А, В 3 – минимаксная стратегия игрока В. Вывод: придерживаясь чистой второй стратегии игрок А обеспечит себе выигрыш не меньший 0, 4 усл. ед. ; игрок В, применяя чистую третью стратегию, проиграет не более 0, 4 усл. ед.

Теория игр Пример. Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры: B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 αi A 1 2 3 2 6 2 4 2 A 2 1 2 0 0 1 1 0 A 3 2 6 2 3 2 7 2 A 4 0 5 1 7 1 4 0 βj 6 2 7 22 2

Теория игр Решение. Найдем верхнюю и нижнюю цену игры: A 1 A 2 A 3 B 1 2 A 4 0 βj 2 B 2 3 2 6 B 3 2 0 2 B 4 6 0 3 B 5 2 1 2 B 6 4 1 7 αi 2 0 2 5 6 1 2 7 7 1 2 4 7 0 22 Так как α=β=2, то игра имеет решения в чистых стратегиях. Оптимальные стратегии игроков: для игрока А: А 1 и А 3; для игрока В: В 1, В 3 и В 5. Цена игры равна υ =α=β=2 ед.

Теория игр Определение. Оптимальными смешанными стратегиями игроков А и В называют пару оптимальных стратегий и , обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Определение. Цена игры υ - выигрыш, соответствующий оптимальному решению. Свойство. Цена игры удовлетворяет неравенству: α ≤ υ ≤ β, где α и β соответственно верхняя и нижняя цена игры.

Теория игр Теорема Неймана (основная теорема теории игр). Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, и среди смешанных стратегий. Определение. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью, то она называется активной стратегией. Теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры, при условии если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий. Определение. Полным решением игры в смешанных стратегиях называется совокупность множеств оптимальных стратегий игроков и цены игры