Моделирование испытаний в схеме случайных событий
Моделирование случайных событий Будем считать, что в нашем распоряжении имеются случайные числа {xn} – реализация случайной величины X, равномерно распределенной на интервале [0, 1]. В методе Монте-Карло требуется уметь моделировать случайные события с заранее известными вероятностями. Пусть необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение хi случайной величины X удовлетворяет неравенству
Вероятность события А равна Противоположное событие тогда состоит в том, что хi удовлетворяет неравенству и его вероятность равна Моделирование испытаний данного вида будет состоять в выборе значений хi случайной величины Х и сравнении их с величиной p. Если , то будем считать исходом испытания событие А. Если условие не выполняется, т. е. то исходом испытания будем считать обратное событие.
Моделирование полной группы событий Рассмотренный подход может быть обобщен и на группу событий. Пусть А 1, А 2, . . . , Аn - полная группа событий, наступающих с вероятностями p 1, p 2, . . . , pn. В этом случае Определим событие Аk как событие, состоящее в том, что выбранное значение хi случайной величины X удовлетворяет неравенству где Аналогично можно записать
Процедура моделирования испытании и этом случае состоит и последовательном сравнении случайных чисел хi с величинами lk. Исходом испытания оказывается событие Аk, если выполняется условие Эту процедуру иногда называют определением исхода испытания по жребию в соответствии с вероятностями p 1, p 2, . . . , pn.
Моделирование дискретной случайной величины Очевидно, что та же самая процедура может быть использована для формирования реализаций дискретной случайной величины, принимающей конечное число возможных значений. Пусть требуется получить последовательность значений {yk} случайной дискретной величины Y, заданной рядом распределения Y y 1 y 2. . . yn P p 1 p 2. . . pn где
![Разобьем интервал [0, 1] на n интервалов, длины которых равны p 1, p 2,](https://present5.com/presentation/3/15440751_184589368.pdf-img/15440751_184589368.pdf-7.jpg "Разобьем интервал [0, 1] на n интервалов, длины которых равны p 1, p 2,")
Разобьем интервал [0, 1] на n интервалов, длины которых равны p 1, p 2, . . . , pn. Координаты точек деления будут p 1, p 1 + p 2, . . . , p 1 + p 2 +…+ pn-1. 1 0 2 p 1+ p 2 n 3 p 1+ p 2 + p 3 1 Выберем случайное число xi Если xi попало в интервал с номером k, то случайная величина Y приняла возможное значение yk.
Обоснование этой процедуры состоит в том, что случайная величина X, равномерно распределена в [0, 1], а значит вероятность того, что X окажется в некотором интервале, равна длине этого интервала: Согласно данной процедуре тогда, когда а вероятность этого события равна pk
Потоки событий Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Например: поток вызовов на телефонной станции, поток отказов (сбоев) ЭВМ, поток железнодорожных составов, поступающих на сортировочную станцию; поток частиц, попадающих на счетчик Гейгера и т. п. Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени. Нужно только помнить, что положение каждой из них случайно, и на рисунке изображена только какая-то одна реализация потока. 0 t
События, образующие поток, сами по себе вероятностями не обладают; вероятностями обладают другие, производные от них события, например: «на участок времени τ попадет ровно два события» , или «на участок времени τ попадет хотя бы одно событие» , или «промежуток времениτ между двумя соседними событиями будет не меньше τ» . Опишем поток событий с помощью случайной функции X(t), определяющей число требований, поступивших в систему за промежуток времени (0, t). Случайная функция X(t) является примером дискретного случайного процесса, так как аргумент t непрерывен, а сама функция принимает целые неотрицательные значения, и с возрастанием t не убывает. График реализации процесса Х(t) изображен на рисунке.
X t Важной характеристикой потока событий является его интенсивность λ - среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Интенсивность потока может быть как постоянной (λ - const), так и переменной, зависящей от времени t. Например, поток автомашин, движущихся по улице, днем интенсивнее, чем ночью, в часы пик — интенсивнее, чем в другие часы.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные, равные промежутки времени. Чаще встречаются потоки не регулярные, со случайными интервалами. На практике встречаются потоки, некоторые свойства которых позволяют упростить их описание. Так, например, многие потоки обладают свойством стационарности. Вероятностные характеристики таких потоков не зависят от времени. В частности, интенсивность стационарного потока должна быть постоянной. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера: на один участок длины может попасть больше, а на другой — меньше событий, но среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.
Поток требований называется стационарным, если вероятность поступления определенного количества требований в течение определенного промежутка времени не зависит от начала отсчета времени, а зависит от длины промежутка. Для стационарного потока вероятность того, что за промежуток (0, t) поступит ровно n требований, равна вероятности поступления n требований за промежуток (α, α+t), где α>0, т. е. Р[ Х(t) = n ] = Р[ Х(t+ ) - Х() = n ]. Свойством стационарности обладают многие реальные потоки требований. Стационарным является поток вызовов на АТС в определенные промежутки времени. Этот же поток в течение целых суток уже не может считаться стационарным, так как вероятность вызовов в ночное время меньше, чем днем.
В некоторых потоках число требований, поступивших в систему после произвольного момента времени, не зависит от числа ранее поступивших требований и моментов их поступления. Поток событий, обладающий таким свойством, называется потоком без последействия. Для такого рода потоков для любых двух непересекающихся участков времени τ1 и τ2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. По сути это означает, что события, образующие поток, появляются в те или другие моменты времени независимо друг от друга, вызванные каждое своими собственными причинами. Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. 1 0 2 t
Свойство отсутствия последействия присуще многим реальным потокам требований. Например, поток вызовов на АТС является потоком без последействия, поскольку, как правило, очередной вызов поступает независимо от того, когда и сколько было вызовов до этого момента. Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами понескольку сразу. Например, поток клиентов, направляющихся в парикмахерскую или к зубному врачу, обычно ординарен, чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в загс для регистрации брака. Поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов - неординарен. Если поток событий ординарен, то вероятностью попадания на малый участок времени t двух или более событий можно пренебречь.
Простейшим или пуассоновским потоком требований называется поток, обладающий одновременно свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия. Название «простейший» связано с тем, что процессы, связанные с простейшими потоками, имеют наиболее простое математическое описание. Поскольку простейший поток является стационарным и без последействия, то для его полного описания вполне достаточно знать вероятности где λ - интенсивность или среднее число требований, поступивших в систему за единицу времени. Для закона распределения Пуассона математическое ожидание числа требований на интервале времени t равно дисперсии
Таким образом, для полного определения простейшего потока достаточно знать параметр λ. Простейший поток играет среди других потоков особую роль, в чем-то подобную роли нормального закона среди других законов распределения. А именно, при наложении (суперпозиции) достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему. Выявление свойств стационарности, отсутствия последействия и ординарности для установления того, является или нет поток требований простейшим, зачастую очень сложно. Однако, указанная особенность простейшего потока позволяет значительно облегчить поставленную задачу.
Поток требований можно считать простейшим, если он получен суммированием достаточно большого числа независимых между собой потоков, влияние каждого из которых на сумму равномерно малое. На практике обычно достаточно сложить 4 -5 потоков, удовлетворяющих указанным условиям, чтобы получить простейший поток. Замечание: если из состояния S данную систему выводят несколько потоков, то для случайной величины T параметр λ определяется как суммарная величина интенсивности всех потоков. Поток событий называется рекуррентным (иначе - “потоком Пальма”), если он стационарен, ординарен, а интервалы времени между событиями Т 1, Т 2, Тз, … представляют собой независимые случайные величины с одинаковым произвольным распределением.
Задачи теории массового обслуживания При исследовании многих сложных систем возникает необходимость в решении задач, относящихся к массовому обслуживанию. Эти задачи встречаются наиболее часто в физике частиц, организации производства, телефонии, планировании, автоматическом управлении сложными системами и т. д. Характерной особенностью подобных задач является наличие обслуживающей системы, к которой в случайные моменты времени поступают заявки. Обслуживающая система имеет линии (каналы), выполняющие совокупность операций, подразумеваемых под словом «обслуживание» . Типичными примерами систем массового обcлуживания (СМО) могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, магазины, парикмахерские и т. п.
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (или прихода новой заявки, или окончания обслуживания, или момента, когда заявка покидает очередь). Работа любой такой системы заключается в обслуживании поступающего на нее потока требований, или заявок (вызовы абонентов, приход покупателей в магазин, требования на выполнение работы в мастерской и т. д. ). Заявки поступают в систему одна за другой в некоторые, вообще говоря, случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего система освобождается для обслуживания очередной заявки. Каждая такая система может содержать конечное число элементов обслуживания, называемых каналами обслуживания (линия связи, приборы).
Отметим случайный характер поступления заявок и случайный характер промежутков времени, необходимого для выполнения заявок. В целом имеем случайный процесс, при котором возможны и перегрузки и простои. Пропускная способность СМО зависит от числа каналов, их производительности и характера потока заявок. Предмет теории массового обслуживания — построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками — показателями эффективности СМО, описывающими, с той или другой точки зрения, ее способность справляться с потоком заявок. В качестве таких показателей (в зависимости от обстановки и целей исследования) могут применяться различные величины.
Например: v среднее количество заявок, которые система может обслужить за единицу времени: v средний процент необслуженных заявок; v вероятность того, что поступившая заявка будет принята к выполнению; v среднее время ожидание в очереди; v вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение v закон распределения времени ожидания; v среднее количество заявок в очереди; v закон распределения числа этих заявок; v средний доход системы в единицу времени.
Среди заданных условий работы СМО не выделяются элементы решения: ими могут быть, например, число каналов, их производительность, режим работы СМО и т. д. Важно уметь решать прямые задачи исследования систем, а обратные ставятся и решаются в зависимости от того, какие именно параметры нам нужно выбирать или изменять. Теория СМО устанавливает зависимость между характеристиками потока заявок, числом каналов, их производительностью, правилами работы СМО, ее эффективностью и часто включает экономический аспект. Например, стремятся найти наименьшую полную стоимость единицы времени ожидания обслуживания требованиями в накопителе и простоя приборов. Кроме того к задачам теории массового обслуживания близки задачи надежности технических устройств.
Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы — марковский, т. е. состояние системы в будущем зависит от состояния системы в настоящее время, но не зависит от того, каким образом эта система пришла к этому состоянию (не учитывает прошлое). Для этого достаточно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние (потоки заявок, потоки «обслуживании» ), были простейшими. Если это свойство нарушается, то математическое описание процесса становится гораздо сложнее и довести его до явных, аналитических формул удается лишь в редких случаях. Во многих случаях для принятия разумного решения по организации работы СМО вовсе и не требуется точного знания всех ее характеристик — зачастую достаточно и приближенного, ориентировочного.
Классификация СМО и их основные характеристики Системы массового обслуживания делятся на типы (или классы) по ряду признаков. По признаку количества каналов обслуживания различают два вида СМО: одноканальные и многоканальные. Кроме того различают системы с отказами, в которых заявка получает отказ, если все каналы заняты, и СМО с очередью, которые делятся на две части - упорядоченные и неупорядоченные. Упорядоченные - отличаются тем, что освободившиеся каналы принимают заявки в порядке очереди. Неупорядоченные - характеризуются тем, что при освобождении канала заявка выбирается случайным образом. Например, поступившее требование может занять место в самой короткой очереди; в этой очереди оно может расположиться последним, а может пойти на обслуживание вне очереди.
Кроме того, системы с ожиданием в зависимости от того, как организована очередь, подразделяются на системы с ограниченным и неограниченным временем ожидания. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания (так называемые «СМО с нетерпеливыми заявками» ). Система, в которой требование, заставшее все приборы занятыми, становится в очередь лишь в том случае, когда число требований, находящихся в системе, не превосходит определенного уровня (в противном случае происходит потеря требования), называется смешанной системой обслуживания. Кроме этих признаков, СМО делятся на два класса: «открытые» и «замкнутые» . В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО — зависят.
Классификация СМО далеко не ограничивается приведенными их разновидностями. Оптимизация работы СМО может производиться под разными углами зрения: с точки зрения организаторов (или владельцев) СМО или с точки зрения обслуживаемых клиентов. С первой точки зрения желательно «выжать все, что возможно» из СМО и добиться того, чтобы ее каналы были предельно загружены. С точки зрения клиентов желательно всемерное уменьшение очередей, которые приводят к бессмысленной трате сил и времени и, в конечном итоге, к понижению производительности труда.
При решении задач оптимизации в теории массового обслуживания необходим «системный подход» , полное и комплексное рассмотрение всех последствий каждого решения. Например, с точки зрения клиентов СМО желательно увеличение числа каналов обслуживания; но ведь работу каждого канала надо оплачивать, что удорожает обслуживание. Построение математической модели позволяет решить оптимизационную задачу о разумном числе каналов с учетом всех «за» и «против» . Поэтому не выделяют в задачах массового обслуживания какого-либо одного показателя эффективности, а сразу ставим эти задачи как многокритериальные.
Показатели эффективности системы зависят от вида систем. Для систем с отказами - абсолютная и относительная пропускная способность систем. Абсолютная пропускная способность - это среднее число выполненных заявок в единицу времени. Относительная пропускная способность означает среднюю долю поступивших заявок и определяется отношением среднего числа выполненных заявок к общему числу поступивших заявок в единицу времени. Кроме того, можно определить среднее число занятых каналов или среднее относительное время простоя одного канала. Для систем с ожиданием выбираются другие показатели эффективности. Если система с неограниченным ожиданием, то за показатели эффективности принимают: среднее число заявок в очереди, среднее число заявок в системе, время ожидания в очереди, время выполнения заявок.
Для систем с ограниченным временем ожидания применимы обе группы показателей, т. е. абсолютная и относительная пропускная способность и характеристики ожидания. При этом нужно знать следующие параметры: n - число каналов; λ - интенсивность потока заявок; - производительность каждого канала (среднее число заявок). Система массового обслуживания считается заданной, если определены следующие параметры: 1. Входящий поток требований или, иначе говоря, моменты поступления требований в систему. Будем считать, что источник располагает неограниченным числом требований и что требования однородны, т. е. различаются только моментами появления в системе;
2. Система обслуживания, состоящая из накопителя и узла обслуживания. Последний представляет собой одно или несколько обслуживающих устройств, которые в дальнейшем будем называть каналами. Может оказаться, что требованиям придется ожидать, пока каналы освободятся. В этом случае требования находятся в накопителе, образуя одну или несколько очередей. 3. Время обслуживания требования каждым каналом; 4. Дисциплина ожидания, т. е. совокупность правил, регламентирующих количество требований, находящихся в один и тот же момент времени в системе. 5. Дисциплина очереди, т. е. совокупность правил, в соответствии с которыми требование отдает предпочтение той или иной очереди (если их несколько) и располагается в выбранной очереди.
6. Дисциплина обслуживания, т. е. совокупность правил, в соответствии с которыми требование выбирает прибор, которым оно будет обслужено. На практике обычно моменты поступления требований в систему случайны. В этом случае поток требований - случайный. В большинстве случаев случайна и длительность обслуживания. Отношение называют коэффициентом загрузки системы. В дальнейшем рассматриваются только такие системы, в которых ρ < 1. В противном случае при длительном функционировании системы накопитель заполнится до отказа и разрежения очереди не происходит.
Скачать презентацию Моделирование испытаний в схеме случайных событий Моделирование
Моделирование испытаний.ppt