Модели с лаговыми переменными Лекция 8 1

Модели с лаговыми переменными Лекция 8. 1

ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Опр. Эконометрическая модель является динамической, если в данный момент времени она учитывает значения входящих в нее переменных, относящиеся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени. Переменные, влияние которых характеризуется определенным запаздыванием, называются лаговыми переменными.

Динамические модели подразделяются на два класса: 1) Модели с лагами (модели с распределенными лагами) – содержат в качестве лаговых переменных лишь независимые (объясняющие) переменные. 2) Авторегрессионные модели – модели, уравнения которых в качестве лаговых объясняющих переменных включают значения зависимых переменных.

Опр. Лаговые переменные- временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени. Модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных называются моделями с распределенным лагом.

Эндогенные переменные – это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. Они обозначаются через y Экзогенные переменные – это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них. Они обозначаются через x.

Модели с лаговыми переменными Выпуск предприятия за год Yt может зависеть не только от инвестиций It в текущий год, но и от инвестиций в предыдущие годы:

Модели с лаговыми переменными В модель могут входить лагированные значения экзогенной переменной (модель распределенных лагов): или эндогенной переменной (авторегрессионная модель): либо одновременно и те и другие (авторегрессионная модель распределенных лагов).

Существенное отличие моделей и с точки зрения оценивания заключается в том, что в первом случае регрессоры не коррелированы с ошибками, поэтому их можно оценивать обычным методом наименьших квадратов (МНК). Во второй модели, т. к. Yt-1 включает εt-1, регрессоры и ошибки коррелированы, что приводит к смещению оценок.

Будем обозначать: модели распределенных лагов DL(q) (q – порядок модели – максимальный лаг); авторегрессионные модели – AR(p) (p – порядок модели); авторегрессионные модели распределенных лагов – ADL(p, q).

Оператор сдвига Для удобства обозначений и действий с моделями, включающими лаговые переменные, удобно использовать оператор сдвига назад L: Например, модель ADL(p, q) с помощью оператора сдвига можно записать в компактной форме:

Модели распределенных лагов Рассмотрим модель DL(q): q – максимальный лаг Считаем переменную Xt детерминированной (неслучайной), а ошибки εt – аддитивным белым шумом с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Модели распределенных лагов Коэффициент регрессии β 0 при переменной Xt характеризует среднее изменение Yt при изменении Xt на одну единицу своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t без учета воздействия лаговых значений фактора X. Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором.

Модели распределенных лагов В момент (t+1) совокупное воздействие факторной переменной Xt на выходную переменную Yt составит (β 0+β 1) условных единиц. В момент (t+2) воздействие фактора на выход можно оценить суммой (β 0+β 1+β 2). Такие суммы называют промежуточными мультипликаторами. Для максимального лага (t+q) воздействие фактора на выход оценивается суммой (β 0+β 1+…+βq=β), которая называется долгосрочным мультипликатором.

Модели распределенных лагов

Модели распределенных лагов

Модели распределенных лагов

Пример. Получение модели с распределенным лагом. Методом наименьших квадратов (МНК) получена зависимость расходов на отдых в зарубежье Y от доходов X: Естественно предположить, что расходы на дорогостоящий отдых на зарубежных курортах зависят не только от текущих доходов, но и от доходов в предыдущие периоды. Наиболее адекватной оказалась модель с четырьмя лагами:

Пример. Интерпретация модели с распределенным лагом. Получена зависимость объема продаж компании в среднем за месяц Yt от расходов на рекламу Xt: Краткосрочный мультипликатор равен 4, 5, т. е. увеличение расходов на рекламу на 1 тыс. грн. ведет в среднем к росту объема продаж компании на 4, 5 тыс. грн. в том же периоде t. В момент (t+1) объем продаж возрастает на 4, 5 + 3 = 7, 5 тыс. грн. , в момент (t+2) – на 7, 5 + 1, 5 = 9 тыс. грн. Долгосрочный мультипликатор составляет 9, 5 тыс. грн.

Пример. Интерпретация модели с распределенным лагом.

Пример. Интерпретация модели с распределенным лагом. Средний лаг равен 0, 79 мес. Медианный лаг составляет чуть более месяца. Сравнительно небольшая величина среднего и медианного лагов свидетельствует о достаточно быстром реагировании объема продаж на расходы на рекламу.

Авторегрессионные модели распределенных лагов Напомним, что авторегрессионной моделью распределенных лагов ADL(p, q) называется модель, содержащая в правой части как эндогенную лагированную переменную с максимальным лагом p, так и экзогенную лагированную переменную с максимальным лагом q. Например, модель ADL(2, 1): или

В частном случае, если в правую часть модели входят только лагированные значения эндогенной переменной (q=0), модель называется моделью авторегрессии. Например, модель авторегрессии первого порядка AP(1):

Авторегрессионные модели распределенных лагов

Авторегрессионные модели распределенных лагов

Авторегрессионные модели распределенных лагов

Авторегрессионные модели распределенных лагов

Пример. Интерпретация модели авторегрессии. По данным о динамике показателей потребления и дохода в регионе получена модель авторегрессии, описывающая зависимость среднедушевого объема потребления за год Ct (млн. грн. ) от среднедушевого совокупного годового дохода yt (млн. грн. ) Краткосрочный мультипликатор равен 0, 85, т. е. увеличение среднедушевого совокупного дохода на 1 млн. грн. приводит к росту объема потребления в том же году на 850 тыс. грн.

Пример. Интерпретация модели авторегрессии.