Modelado Matemático de Sistemas Físicos Bucles Algebraicos y

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Bucles Algebraicos y Singularidades Estructural • El algoritmo de la ordenación de ecuaciones desafortunadamente no funciona siempre. Todos los ejemplos demostrados hasta ahora se seleccionaron con la meta de escoger estos problemas. • En esa presentación generalizaremos los algoritmos a sistemas que contienen bucles algebraicos y/o estructuras singulares. Febrero 4, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Contenido • • Febrero 4, 2008 Bucles algebraicos El diagrama de la estructura Singularidades estructurales La diferenciación simbólica © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Bucles Algebraicos: Un Ejemplo Ecuaciones de los elementos: U 0 = f(t) u 3 = R 3 · i 3 u 1 = R 1 · i 1 u. L = L· di. L/dt u 2 = R 2 · i 2 Ecuaciones de nodos: i 0 = i 1 + i. L El circuito contiene 5 elementos 10 Se piden ecuaciones en 10 incógnitas Febrero 4, 2008 i 1 = i 2 + i 3 Ecuaciones de mallas: U 0 = u 1 + u 3 u. L = u 1 + u 2 u 3 = u 2 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ordenación Horizontal I 1. i 0 = i 1 + i. L u 1 = R 1 · i 1 2. U 0 = f(t) i 0 = i 1 + i. L i 1 = i 2 + i 3 u 1 = R 1 · i 1 = i 2 + i 3 u 2 = R 2 · i 2 U 0 = u 1 + u 3 u 3 = R 3 · i 3 u 3 = u 2 u. L = L· di. L/dt u. L = u 1 + u 2 U 0 = f(t) i 0 = i 1 + i. L u 1 = R 1 · i 1 i 1 = i 2 + i 3 u 2 = R 2 · i 2 U 0 = u 1 + u 3 u 3 = R 3 · i 3 u 3 = u 2 u. L = L· di. L/dt 3. U 0 = f(t) u. L = u 1 + u 2 u. L = L· di. L/dt u. L = u 1 + u 2 Febrero 4, 2008 4. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ordenación Horizontal II U 0 = f(t) i 0 = i 1 + i. L u 1 = R 1 · i 1 = i 2 + i 3 u 2 = R 2 · i 2 U 0 = u 1 + u 3 = R 3 · i 3 u 3 = u 2 u. L = L· di. L/dt u. L = u 1 + u 2 Febrero 4, 2008 De las seis ecuaciones todavía no causales (es decir, las ecuaciones que no contienen ninguna variable roja), cada una contiene al menos dos incógnitas. Además cada una de las incógnitas aparece en al menos de las ecuaciones no causales. Una tal situación indica la presencia de bucles algebraicos. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Bucles Algebraicos I 1. u 1 = R 1· i 1 4. i 1 = i 2 + i 3 2. u 2 = R 2· i 2 5. U 0 = u 1 + u 3 3. u 3 = R 3· i 3 6. u 3 = u 2 1. 4. i 1 = i 2 + i 3 2. u 2 = R 2· i 2 2. 1. u 1 = R 1· i 1 4. i 1 = i 2 + i 3 5. U 0 = u 1 + u 3 2. u 2 = R 2· i 2 5. U 0 = u 1 + u 3 3. u 3 = R 3· i 3 6. u 3 = u 2 1. u 1 = R 1· i 1 4. i 1 = i 2 + i 3 2. u 2 = R 2· i 2 5. U 0 = u 1 + u 3 3. u 3 = R 3· i 3 3. 1. u 1 = R 1· i 1 Seleccionamos una incógnita de una de las ecuaciones, por ejemplo variable i 1 de la ecuación 4. Pretendemos que esa variable esté conocida y continuamos como antes. 6. u 3 = u 2 3. u 3 = R 3· i 3 6. u 3 = u 2 Febrero 4, 2008 4. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Bucles Algebraicos II 1. u 1 = R 1· i 1 4. i 1 = i 2 + i 3 2. u 2 = R 2· i 2 5. U 0 = u 1 + u 3 3. u 3 = R 3· i 3 6. u 3 = u 2 Diagrama estructural i 2 2. Bucles algebraicos u 2 4. i 1 1. u 1 5. 4. i 3 3. u 3 6. Febrero 4, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación U 0

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Solución de Bucles Algebraicos I 1. u 1 = R 1· i 1 4. i 1 = i 2 + i 3 2. u 2 = R 2· i 2 5. U 0 = u 1 + u 3 3. u 3 = R 3· i 3 6. u 3 = u 2 1. u 1 = R 1· i 1 4. i 1 = i 2 + i 3 2. i 2 = u 2 / R 2 5. u 3 = U 0 - u 1 3. i 3 = u 3 / R 3 6. u 2 = u 3 Ecuación 4. se remplaza por la nueva. i 1 = i 2 + i 3 = u 2 / R 2 + u 3 / R 3 = u 3 / R 2 + u 3 / R 3 = ((R 2 + R 3 ) / (R 2 · R 3 )) · u 3 i 1 = R 2 + R 3 · U 0 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 = ((R 2 + R 3 ) / (R 2 · R 3 )) · (U 0 - u 1 ) = ((R 2 + R 3 ) / (R 2 · R 3 )) · (U 0 - R 1· i 1 ) Febrero 4, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Solución de Bucles Algebraicos II U 0 = f(t) i 0 = i 1 + i. L u 2 = R 2 · i 2 R 2 + R 3 i 1 = · U 0 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 U 0 = u 1 + u 3 = R 3 · i 3 u 3 = u 2 u. L = L· di. L/dt u. L = u 1 + u 2 u 1 = R 1 · i 1 Febrero 4, 2008 El bucle algebraico entre tanto desapareció y podemos continuar con la ordenación de ecuaciones como antes. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ordenación Horizontal III U 0 = f(t) i 0 = i 1 + i. L u 2 = R 2 · i 2 R 2 + R 3 i 1 = · U 0 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 U 0 = u 1 + u 3 = R 3 · i 3 u 3 = u 2 u. L = L· di. L/dt u. L = u 1 + u 2 u 1 = R 1 · i 1 U 0 = f(t) i 0 = i 1 + i. L u 1 = R 1 · i 1 = u 2 = R 2 · i 2 u 3 = R 3 · i 3 u 3 = u 2 u. L = L· di. L/dt Febrero 4, 2008 R 2 + R 3 · U 0 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 U 0 = u 1 + u 3 u. L = u 1 + u 2 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Múltiples Bucles Algebraicos Acoplados a 1. 5. e 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 6. f c 3. 7. 2. a=b+1 b = 3·f c=b+d d=h e=a f=e+g g = 2·c h=g Febrero 4, 2008 3. b 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. g a=b+1 b = 3·f c=b+d d=h e=a f=e+g g = 2·c h=g c=b+d = 3·f + h = 3·f + g = 3·f + 2·c d 4. 8. h 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. a=b+1 b = 3·f c=b+d d=h e=a f=e+g g = 2·c h=g f=e+g = a + 2·c = b + 2·c + 1 = 3·f + 2·c + 1 c + 3·f = 0 2·c + 2·f = -1 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación c = - 0. 75 f = + 0. 25

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Singularidades Estructurales: Un Ejemplo El sistema mixto de traslado y giro contiene tres cuerpos: las inercias J 1 y J 2 y la masa m. Por consecuencia se espera que se trata de un sistema del orden 6. 3 cuerpos 6 ecuaciones diferentiales + 3 ecuaciones algebraicas (d’Alembert) 3 rozamientos 3 ecuaciones algebraicas (fuerzas de rozamiento) 2 muelles 2 ecuaciones algebraicas (fuerzas de muelle) 1 engranaje 2 ecuaciones algebraicas (transmisión) Febrero 4, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier 16 ecuaciones 16 incógnitas Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Modelado del Engranaje Cortamos a través del engranaje. El efecto del otro cuerpo se remplaza por una fuerza de corte. El par de torsión t es proporcional a la fuerza del corte F, y el desplazamiento x es proporcional al ángulo . t =r·F x=r· Febrero 4, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Cortando el Sistema t (t) = t. T 1 + t. B 3 t. B 1 = t. T 2 + tk 1 + t. G FG = FI + Fk 2 + FB 2 + m · g d 1 t. T 1 = J 1· dt d 1 = 1 dt d 2 t. T 2 = J 2· dt d 2 = 2 16 ecuaciones 16 incógnitas Febrero 4, 2008 dt dv FI = m· dt dx =v dt © Prof. Dr. François E. Cellier t. G = r · FG x = r · 2 t. B 1 = B 1· ( 1 – 2 ) t. B 3 = B 3· 1 FB 2 = B 2· v tk 1 = k 1· 2 Fk 2 = k 2· x Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ordenación Horizontal I t (t) = t. T 1 + t. B 3 t. B 1 = t. T 2 + tk 1 + t. G FG = FI + Fk 2 + FB 2 + m · g d 1 t. T 1 = J 1· dt d 1 = 1 dt d 2 t. T 2 = J 2· dt d 2 = 2 dt dv FI = m· dt dx =v dt Febrero 4, 2008 t. G = r · FG x = r · 2 t. B 1 = B 1· ( 1 – 2 ) t. B 3 = B 3· 1 FB 2 = B 2· v tk 1 = k 1· 2 Fk 2 = k 2· x Esta ecuación no puede usarse porque no contiene ninguna incógnita. Idea: Si una ecuación es válida siempre, cada derivada de esa ecuación debe ser válida también. Se remplaza la ecuación que no puede usarse por su derivada. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Diferenciación I t (t) = t. T 1 + t. B 3 t. B 1 = t. T 2 + tk 1 + t. G FG = FI + Fk 2 + FB 2 + m · g d 1 t. T 1 = J 1· dt d 1 = 1 dt d 2 t. T 2 = J 2· dt d 2 = 2 dt dv FI = m· dt dx =v dt Febrero 4, 2008 t. G = r · FG v=r· 2 t. B 1 = B 1· ( 1 – 2 ) t. B 3 = B 3· 1 FB 2 = B 2· v Desafortunadamente la nueva ecuación no puede usarse tampoco porque no contiene ninguna incógnita aún. La ecuación no utilizable se deriva otra vez. tk 1 = k 1· 2 Fk 2 = k 2· x © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Diferenciación II t (t) = t. T 1 + t. B 3 t. B 1 = t. T 2 + tk 1 + t. G FG = FI + Fk 2 + FB 2 + m · g d 1 t. T 1 = J 1· dt d 1 = 1 dt d 2 t. T 2 = J 2· dt d 2 = 2 dt dv FI = m· dt dx =v dt Febrero 4, 2008 t. G = r · FG dv d 2 dt =r· dt t. B 1 = B 1· ( 1 – 2 ) t. B 3 = B 3· 1 FB 2 = B 2· v tk 1 = k 1· 2 La nueva ecuación es utilizable porque las dos variables que contiene son incógnitas. Las dos derivadas se marcaron en rojo hasta ahora porque aparecieron una sola vez en el sistema de ecuaciones. Ya que ahora aparecen dos veces, tienen que colorarse negro de nuevo. Fk 2 = k 2· x © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ordenación Horizontal II t (t) = t. T 1 + t. B 3 t. B 1 = t. T 2 + tk 1 + t. G FG = FI + Fk 2 + FB 2 + m · g d 1 t. T 1 = J 1· dt d 1 = 1 dt d 2 t. T 2 = J 2· dt d 2 = 2 dt dv FI = m· dt dx =v dt Febrero 4, 2008 t. G = r · FG dv d 2 dt =r· dt t. B 1 = B 1· ( 1 – 2 ) t. B 3 = B 3· 1 FB 2 = B 2· v tk 1 = k 1· 2 Fk 2 = k 2· x d 1 t. T 1 = J 1· dt d 1 = 1 dt d 2 t. T 2 = J 2· dt d 2 = 2 dt dv FI = m· dt dx =v dt © Prof. Dr. François E. Cellier t. G = r · FG dv d 2 dt =r· dt t. B 1 = B 1· ( 1 – 2 ) t. B 3 = B 3· 1 FB 2 = B 2· v tk 1 = k 1· 2 Fk 2 = k 2· x Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ordenación Horizontal III t (t) = t. T 1 + t. B 3 t. B 1 = t. T 2 + tk 1 + t. G FG = FI + Fk 2 + FB 2 + m · g d 1 t. T 1 = J 1· dt d 1 = 1 dt d 2 t. T 2 = J 2· dt d 2 = 2 dt dv FI = m· dt dx =v dt Febrero 4, 2008 t. G = r · FG dv d 2 dt =r· dt t. B 1 = B 1· ( 1 – 2 ) t. B 3 = B 3· 1 FB 2 = B 2· v tk 1 = k 1· 2 Fk 2 = k 2· x Se quedan 6 ecuaciones en 6 incógnitas. Cada una de estas ecuaciones contiene al menos dos incógnitas. Cada una de las incógnitas aparece en al menos de las ecuaciones. Tenemos que tratar con al menos un bucle algebraico. © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Bucle Algebraico t (t) = t. T 1 + t. B 3 t. B 1 = t. T 2 + tk 1 + t. G FG = FI + Fk 2 + FB 2 + m · g d 1 t. T 1 = J 1· dt d 1 = 1 dt d 2 t. T 2 = J 2· dt d 2 = 2 dt dv FI = m· dt dx = v Selección dt Febrero 4, 2008 t. G = r · FG dv d 2 dt =r· dt t. B 1 = B 1· ( 1 – 2 ) t. B 3 = B 3· 1 FB 2 = B 2· v tk 1 = k 1· 2 Fk 2 = k 2· x d 1 t. T 1 = J 1· dt d 1 = 1 dt d 2 t. T 2 = J 2· dt d 2 = 2 dt dv FI = m· dt dx =v dt © Prof. Dr. François E. Cellier t. G = r · FG dv d 2 dt =r· dt t. B 1 = B 1· ( 1 – 2 ) t. B 3 = B 3· 1 FB 2 = B 2· v tk 1 = k 1· 2 Fk 2 = k 2· x Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Ordenación Horizontal IV t (t) = t. T 1 + t. B 3 t. B 1 = t. T 2 + tk 1 + t. G t. T 1 = t (t) - t. B 1 - t. B 3 t. T 2 = t. B 1 - tk 1 - t. G FG = FI + Fk 2 + FB 2 + m · g d 1 t. T 1 = J 1· dt d 1 = 1 dt d 2 t. T 2 = J 2· dt d 2 = 2 dt dv FI = m· dt dx =v dt Febrero 4, 2008 t. G = r · FG dv d 2 dt =r· dt t. B 1 = B 1· ( 1 – 2 ) t. B 3 = B 3· 1 FB 2 = B 2· v tk 1 = k 1· 2 Fk 2 = k 2· x d 1 = t. T 1 / J 1 dt d 1 = 1 dt d 2 = t. T 2 / J 2 dt d 2 = 2 dt dv FI = m· dt dx =v dt © Prof. Dr. François E. Cellier t. G = r · FG dv d 2 dt =r· dt t. B 1 = B 1· ( 1 – 2 ) t. B 3 = B 3· 1 FB 2 = B 2· v tk 1 = k 1· 2 Fk 2 = k 2· x Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Solución del Bucle Algebraico I t. T 1 = t (t) - t. B 1 - t. B 3 t. T 2 = t. B 1 - tk 1 - t. G FG = FI + Fk 2 + FB 2 + m · g d 1 = t. T 1 / J 1 dt d 1 = 1 dt d 2 = t. T 2 / J 2 dt d 2 = 2 dt dv FI = m· dt dx =v dt Febrero 4, 2008 t. G = r · FG dv d 2 dt =r· dt t. B 1 = B 1· ( 1 – 2 ) t. B 3 = B 3· 1 FB 2 = B 2· v tk 1 = k 1· 2 Fk 2 = k 2· x d 2 = t. T 2 / J 2 dt = (t. B 1 - tk 1 - t. G ) / J 2 = (t. B 1 - tk 1 ) / J 2 - t. G /J 2 = (t. B 1 - tk 1 ) / J 2 - (r /J 2 ) · FG = (t. B 1 - tk 1 ) / J 2 - (r /J 2 ) · (FI + Fk 2 + FB 2 + m·g) = (t. B 1 - tk 1 ) / J 2 - (r /J 2 ) · (Fk 2 + FB 2 + m·g) - (r /J 2 ) · FI = (t. B 1 - tk 1 ) / J 2 - (r /J 2 ) · (Fk 2 + FB 2 + m·g) - (m·r /J 2 ) · dv/dt = (t. B 1 - tk 1 ) / J 2 - (r /J 2 ) · (Fk 2 + FB 2 + m·g) - (m·r 2 /J 2 ) · d 2 /dt © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Solución del Bucle Algebraico II t. T 1 = t (t) - t. B 1 - t. B 3 t. T 2 = t. B 1 - tk 1 - t. G FG = FI + Fk 2 + FB 2 + m · g d 1 = t. T 1 / J 1 dt d 1 = 1 dt t. B 1 - tk 1 – r · (Fk 2 + FB 2 ) – m·g·r d 2 = dt J 2 + m·r 2 d 2 = 2 dt dv FI = m· dt dx =v dt Febrero 4, 2008 t. G = r · FG dv d 2 dt =r· dt t. B 1 = B 1· ( 1 – 2 ) t. B 3 = B 3· 1 FB 2 = B 2· v tk 1 = k 1· 2 Fk 2 = k 2· x © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Comentarios • El problema de la singularidad estructural ocurrió porque la masa m y la inercia J 2 no pueden moverse independientemente una de otra. • Por esa razón era posible de describir el sistema por 4 ecuaciones diferenciales solamente. • La solución propuesta no explota esa posible simplificación directamente. • Se presentará una solución mejorada dentro de poco. Febrero 4, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos Referencias • Cellier, F. E. and H. Elmqvist (1993), “Automated formula manipulation supports object-oriented continuous-system modeling, ” IEEE Control Systems, 13(2), pp. 28 -38. Febrero 4, 2008 © Prof. Dr. François E. Cellier Principio de la presentación