Модель СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА Определение 1 на свободную частицу

Модель «СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА» Определение 1: на свободную частицу не действуют никакие внешние силы: F = 0. Определение 2: потенциальная энергия свободной частицы всюду равна нулю: U (x, y, z) = 0. Классическое описание Свободная частица движется равномерно и прямолинейно Наблюдаемые: координата х = хо + v • t , где v — скорость, а t — время. скорость vх = dx/dt, импульс px = mv, кинетическая энергия T = p 2/2 m = mv 2/2.

Квантовомеханическое описание Задача: найти и охарактеризовать все состояния, в которых частица может быть обнаружена СОСТОЯНИЕ ВЕКТОР СОСТОЯНИЯ Координатное представление вектора состояния | φ = C 1 | 1 + C 2 | 2 + … + Cn | n Базисные состояния | φ = ( C 1 C 2 … Cn )

Проблема выбора базиса (базисных состояний) Правило: каждый базисный набор порождается некоторым прибором (спектральным анализатором) |1 |φ А |2 • • |n Какую наблюдаемую свободной частицы можно реально измерить с помощью спектрального анализатора? А = координата Х (положение частицы на пространственной оси Х)

D 1 D 2 |1 ( X = Х 1 ) |2 ( X = Х 2 ) |3 ( X = Х 3 ) Каждое базисное состояние | i представляет собой точку на оси Х, а коэффициенты разложения | φ = ( C 1 C 2 … Cn ) являются амплитудами вероятности обнаружения частицы детектором, размещенным в данной точке: | Ci | 2 = P ( X = X i ) Х

P P(x) Вероятностная функция распределения X C C(x) Амплитудная функция распределения ( «волновая функция» ) φ = C ( x ) = ? ? ? X

Задача: найти явный вид волновых функций, описывающих все возможные состояния свободной частицы: φ(x, t) = ? ? ? Уравнение Шредингера d φ(x, t) – i ———— = H φ(x, t) dt — постоянная Планка ( = 1, 055 10– 34 Дж с ) i — мнимая единица H — оператор Гамильтона (гамильтониан) Стационарные волновые функции (x, t) Н (x, t) = Е (x, t) ( уравнение на собственные значения для оператора H )

Правило: собственные функции всякого оператора образуют базисный набор: (x, t) = D 1 1 + D 2 2 +. . . + Dr r d (x, t) – i ———— = Е (x, t) dt (x, t) = (x) E i—t е = (x) е i t Е — энергия стационарного состояния (собственное значение оператора Гамильтона) — частота стационарного состояния (энергия, выраженная в единицах )

E E d d i—t = — (x) е = (x) — е dt dt Проверка E = (x) i — е E i—t E = i — (x, t) d (x, t) – i ———— = Е (x, t) dt (i i = – 1) Е (x, t) (– i i) ———— = Е (x, t)

(x, t) = (x) E i—t е = (x) е Пространственный множитель (x) = ? ? ? Вид пространственного множителя зависит от природы (строения) объекта i t Временно й множитель (временна я экспонента) Н (x) = Е (x) Правило: пространственные множители волновых функций стационарных состояний — собственные функции оператора Гамильтона

p 2 (–i )2 d Н = Т = —— —– 2 m 2 m dx 2 2 d 2 = – —— —– 2 m dx 2 2 d 2 (x) – —— ———– = Е (x) 2 m dx 2 Частные решения: + (х) = е ikx – (х) = e и –ikx Общее решение: (х) = А е ikx + В e –ikx Аи. В — произвольные числа

А 2 + В 2 = 1 Условие нормировки: В – В 1 А А 1 (х) = А е + ikx Все в принципе возможные стационарные состояния (с определенным значением энергии) образуют двумерную линейную оболочку базисных состояний +В e + –ikx и – + = А +В –

Чтобы найти константу k, продифференцируем дважды любое частное решение: d 2(еikx)/dx 2 = –k 2(еikx) или d 2[ (х)]/dx 2 = –k 2 [ (х)] Подставим вторую производную вместо левой части уравнения 2 d 2 (x) – —— ———– = Е (x) 2 m dx 2 Отсюда получим, что –k 2 [ (х)] = (– 2 m. E / 2) [ (х)] 2 m. E Р k = ——— = — Р — квантовомеханический «импульс»

(х) = А +Р i —– x е + В –Р i —– x е Состояния с определенным значением импульса + ( Р = +Р ) Х – ( Р = –Р ) P = | |2 P = const X Амплитудная функция Вероятностная функция

P (PX) P (x) + X Пространственные функции распределения –| PX | +| PX Импульсные функции распределения P (x) P (PX) – X –| PX | +| PX

Наблюдаемые Х (координата) и РХ (импульс) связаны между собой соотношением неопределенности Гейзенберга: если величина одной из них известна точно РХ = + | PX | или РХ = – | PX | то величина второй становится неопределенной: Х = ? ? ? (при измерении Х может быть обнаружено с равной вероятностью любое значение)

Суперпозиционные состояния (х) = А е А= А В = + В e φ+ –В φ– φ+ + –ikx В – φ– ikx А = е ikx + e –ikx φ+ = cos(kx) φ– = i sin(kx)

φ– = i sin(kx) φ+ = cos(kx) P (x) X P (PX) PX PX

Узловые поверхности X Х = / k = / PX Если PX = 1 н с, то Х ≈ 10– 34 м Волновой характер не проявляется ( «классическое» поведение) Если PX = 10– 30 н с, то Х ≈ 1 мм Волновой характер ясно виден ( «квантовое» поведение)