МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МНОГООТРАСЛЕВОЙ

МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем собственной продукции, а с другой стороны - потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в трудах известного американского экономиста В. Леонтьева в 1936 г. , который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 1929 -1932 гг.

Балансовые соотношения Модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа. Пусть производственная сфера представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период.

Обозначения • xi - общий объём продукции i-й отрасли (ее валовой выпуск); • xij - объём продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве её продукции в объёме xj; • yi - объём продукции i-й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. К нему относятся личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов и т. д.

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли должен быть равен сумме объёмов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности, или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид xi = xi 1 + xi 2 +. . . + xin + yi, i = 1, 2, . . . , n. Эти уравнения называются соотношениями баланса. Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, в дальнейшем будем иметь в виду стоимостный баланс.

ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ В. Леонтьевым, на основании анализа экономики США в период перед второй мировой войной, был установлен важный факт: в течение длительного времени отношения xij/xj меняются очень незначительно. Это явление имеет естественное объяснение: технология производства остаётся на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объём xij потребления j-й отраслью продукции i-й отрасли производстве своей продукции объёма xj есть технологическая константа.

Допущение о том, что отношения xij/xj являются константами, называют гипотезой линейности, а производство, удовлетворяющее этому допущению - линейным. Числа aij = xij/xj называют коэффициентами прямых затрат, а матрицу A, составленную из этих чисел - матрицей прямых затрат, или матрицей технологии производства. Согласно гипотезе линейности, xij = aijxj; i, j = 1, 2, . . . , n. Поэтому соотношения баланса можно переписать в виде системы уравнений:

x 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 nxn + y 1, x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 +. . . + a 2 nxn + y 2, . . . xn = an 1 x 1 + an 2 x 2 +. . . + annxn + yn. Введём в рассмотрение векторы-столбцы объёмов произведенной продукции (вектор валового выпуска X), объёмов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления Y) и матрицу коэффициентов прямых затрат A.

Тогда система уравнений баланса запишется в матричной форме: X = AX +Y. Это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса, или уравнением Леонтьева. Вместе с описанием матричного представления это уравнение носит название модели Леонтьева.

С уравнением межотраслевого баланса связано две основных задачи. I. Известен вектор валового выпуска X, требуется рассчитать вектор конечного потребления Y. II. Задан вектор конечного потребления Y , требуется рассчитать вектор валового выпуска X. Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования. Здесь необходимо решать систему линейных уравнений с известной матрицей A и заданным вектором Y.

Отметим важную особенность системы, вытекающую из прикладного характера задачи: все элементы матрицы A и векторов X и Y должны быть неотрицательными. Такие матрицы и векторы будем называть неотрицательными. Если же все элементы матрицы (вектора) неотрицательны и хотя бы один из них положителен, то такую матрицу (вектор) будем называть положительными.

ПРОДУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА Матрицу A называют продуктивной, если: 1) она неотрицательна, 2) для любого неотрицательного вектора Y уравнение Леонтьева (с этой матрицей A) имеет неотрицательное решение X. В таком случае и модель Леонтьева называют продуктивной. Для уравнения Леонтьева разработана теория исследования решения и его особенностей. Приведём без доказательства важную теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.

Теорема 1. Пусть A - неотрицательная матрица. Если хотя бы для одного положительного вектора Y уравнение Леонтьева имеет положительное решение X, то матрица A продуктивна. Т. е. , если все элементы матрицы неотрицательны, то достаточно установить наличие положительного решения системы хотя бы для одного положительного вектора Y , чтобы матрица A была продуктивной. Преобразуем систему уравнений баланса в матричной форме, используя единичную матрицу E: X = AX +Y ⇐⇒ EX = AX +Y ⇐⇒ EX −AX = Y ⇐⇒ (E −A)X = Y.

Если матрица E−A обратима (т. е. существует обратная матрица (E−A)− 1), то для любого Y существует единственное решение X последнего уравнения, получаемое умножением обеих частей этого уравнения слева на матрицу (E−A)− 1 : X = (E−A)− 1 Y. Матрицу S=(E−A)− 1 называют матрицей полных затрат. Существует несколько критериев продуктивности матриц. Приведём два из них.

Теорема 2 (Первый критерий продуктивности). Неотрицательная матрица A продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E − A)− 1 существует и неотрицательна. Теорема 3 (Второй критерий продуктивности). Матрица A с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому её столбцу (строке) не превосходит единицы, причём хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.