Модель гонки вооружений Ричардсона Выполнила Шарипова Диана Спец

Модель гонки вооружений Ричардсона. Выполнила: Шарипова Диана Спец. УСЭП, группа 3107

Рассмотрим ситуацию, в которой могут оказаться две враждующие страны. Первая страна ("желтые") вооружается, опасаясь потенциальной угрозы войны с соседней враждебной страной ("зеленые"). В свою очередь "зеленые", зная о росте затрат на вооружение у "желтых", также увеличивают расходы на вооружение. Предположим, что каждая страна изменяет скорость роста (сокращения) вооружений пропорционально уровню затрат другой. Математически эта ситуация может быть смоделирована следующим образом.

Одним из важнейших свойств, которые "разумно" потребовать от гонки вооружений, является стабильность. Формализуем это требование следующим образом. Уровень затрат на вооружение должен быть постоянным и не зависеть от времени: dx/dt=dy/dt=0 (1. 4) Состояние равновесия системы можно описать таким образом: ay- mx +r=0 (1. 5) bx- ny+ s=0 (1. 6)

Из 1. 5. следует: y=(m/a)x-r/a (1. 7) и рассмотрим геометрическую интерпретацию линейного уравнения (1. 7) на фазовой плоскости (х, у). Для всех точек прямой G имеем dx/dt = 0. Можно сказать, что первое уравнение системы (1. 3) задает горизонтальную компоненту скорости движения точки в фазовой плоскости, а второе уравнение — вертикальную. Ясно, что если в некоторой точке фазовой плоскости dx/dt > 0, то x(t) возрастает и решение системы движется от этой точки вправо, а если dx/dt < 0, то влево. Аналогично, если dy/dt > 0 , то точка движется вверх (вниз). (см. рисунок ниже)

y y G G (0, -r/m) (0, - r/m) (r/m, 0) x

Из школьного курса алгебры известно, что прямая G делит плоскость (х, у) на две полуплоскости. Для всех точек одной. полуплоскости dx/dt > 0, а другой полуплоскости dx/dt < 0. Рассмотрим поведение модели Ричардсона при t —> ∞ Возможны три случая: 1. Бесконечная гонка вооружений: x —› ∞ и у —› ∞. 2. Взаимное разоружение: х -› 0, у -› 0. 3. Равновесие вооружений: х —› х*, у —› у*, где y*, x*> 0. Точка равновесия (x*, у*) находится на пересечении прямых G (уравнение 1. 5. ) и Z (уравнение (1. 6)) (см. рис. 12. 8). Легко показать, что если г > 0 и s> 0 , т о точка. пересечения G и Z лежит в первом (см. рис. 2. 2) или третьем (рис. 2. 3) квадранте.

y Z I Если начальная точка попала в обл. II, то мы видим, что x->∞, y-> ∞. Тогда точка равновесия будет находится в III квадранте. G II III x Рис. 2. 2. Точка равновесия в III квадранте

Рассмотрим ситуацию, когда хотя бы один из коэффициентов r или s , <0. (рис. 2. 2) y II Z I (x 0 , y 0 ) G III 0 IV x

Если начальный уровень затрат, т. е. точка (x 0 у0), находится в области I, то гонка вооружений будет бесконечной (х —>∞, у —>∞ ). Если начальная точка находится в области III, то решение системы (1. 3) также "уходит" от равновесия (х*, у*), но зато стремится к точке (0, 0) (взаимное разоружение). Очевидно, что поведение модели Ричардсона зависит от соотношения коэффициентов а, b, т, п и знаков r, s. Читателю предлагается самостоятельно убедиться, что имеют место четыре возможных случая: 1. Если тп - ab > 0, r > 0, s > 0, то существует точка равновесия. 2. Если тп - ab < 0, r > 0, s > 0, то логика модели ведет к неограниченной эскалации гонки вооружений.

3. Если тп - ab > 0, r < 0, s < 0, то гарантируется полное взаимное разоружение. 4. Если тп - ab < 0, r < 0, s < 0, то пессимистичность или оптимистичность прогноза существенно зависит от начального состояния.

Рассмотрим на примере. Для проверки своей достаточно упрощенной модели Ричардсон собрал данные о гонке вооружений перед первой мировой войной (1909 -1913 гг. ). Изучая противоборство двух блоков (х —Франция и Россия, у — Германия и Австро-Венгрия, расходы Англии, Италии и Турции не учитывались), Ричардсон составил таблицу военных бюджетов для четырех стран (все затраты даны в миллионах фунтов стерлингов)

Таблица 3. 1. Таблица военных бюджетов враждующих стран Страна 1909 1910 1911 1912 1913 Франция 48, 6 50, 9 57, 1 63, 2 74, 7 Россия 66, 7 68, 5 70, 7 81, 8 92, 7 Германия 63, 1 62, 0 68, 2 95, 4 Австро. Венгрия 20, 8 23, 4 25, 5 26, 9 Сумма 199, 2 204, 8 214, 8 238, 7 289. 0 Рост 5, 6 10, 1 23, 8 50, 3 Среднее за 2 года 202 209, 8 226, 8 263, 8

Чтобы сравнить модель с реальными данными, Ричардсон предположил, что а = b и т = п. Тогда уравнения (1. 3) можно записать следующим образом: dx/dt = ау-тх+г, dy/dt = ax-my+s. Сложив эти два уравнения, получаем d(x+y)/dt = (а— т)(х+у) + (r+s). Положим х+у = г, а-т = k, r+s = f, тогда dz/dt = kz+f. (1. 8) Общее решение этого уравнения записывается следующим образом: z(t) = (z 0 +f/k)ekt - f/k (1. 9) где z— суммарные затраты на вооружение двух блоков; z 0 —начальное состояние.

∆z/ ∆t 1912 -1913 40 30 1911 -1912 20 1910 -1911 10 1909 -1910 190 210 230 250 270 z

Легко видеть, что все они лежат на одной прямой, что вполне соответствует соотношению (1. 9), и, следовательно, модель Ричардсона достаточно достоверно описывает рассматриваемую ситуацию. Политологи установили, что для анализа большинства серьезных международных конфликтов за последние 200 лет можно использовать модель Ричардсона. Оказалось, что из 30 конфликтов , сопровождавшихся гонкой вооружений, 25 закончились войной. При отсутствии гонки вооружений только три из 70 конфликтов привели к войне. Отметим, что гонка вооружений может закончится вполне мирно в случае экономического краха одной из враждующих сторон. Аналогичные модели применялись для анализа динамики предвыборных расходов и прогнозирования поведения участников аукционов.