МНОЖЕСТВА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ продолжение ПРЕДИКАТ

МНОЖЕСТВА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (продолжение)

• ПРЕДИКАТ – неопределенное высказывание • например: Х > 6, • где Х любой элемент из множества целых чисел. • Предикатом от одного переменного, введенном на множестве М, называется функция • F (x), • где аргумент Х – любой элемент множества М.

• Аналогично понятие ПРЕДИКАТА от 2, 3, … переменных. Например – • X + Y = Z 2 – предикат от 3 -х переменных. • Понятие предиката соответствует понятию логической формулы. • ОТЛИЧИЕ: аргументы логических формул могут принимать только два значения 0 и 1, а аргументы предиката принимают значения из некоторого заранее определенного множества.

ОПЕРАЦИИ НА МНОЖЕСТВАХ • Операции, называемые навешиванием кванторов: • - квантор общности, читается • «для всех…» или «для любого…» • - квантор существования, читается • «существует такой…» или «имеется такой…»

Пояснения: • Пусть А(х) – функция от одной переменой, принимающей значение из множества М. • 1. Выражение ( х М) А(х) – высказывание, читается : • «для любого х из М значение А(х) истинно» . • 2. Выражение ( х М) А(х) – высказывание, читается : • «существует такой х из М, что значение А(х) истинно» .

• Квантор общности является аналогом функции конъюнкции ( ), • Квантор существования является аналогом функции дизъюнкции (v). • Если М={b 1, b 2, …, bm}, то: • ( х М) А(х) = А(b 1) А(b 2) … А(bm), • ( х M) A(x) = А(b 1) v А(b 2) v … v А(bm). • Если применить операцию отрицания, то: • _________________ • ( х М) А(х) = ( х M) A(x) • ___________________ • ( х М) А(х) = ( х M) A(x)

• На логическую формулу А(Х 1, Х 2, …, Хn) можно навесить от одного до n различных или одинаковых кванторов. • Навешивание любого квантора на переменную связывает эту переменную. • Если навесить k кванторов (k < n), то получим логическую формулу, зависящую от (n-k) переменных. • Навешивание всех n кванторов приводит к высказыванию.

• При навешивании одноименных кванторов порядок их расположения не существенен. • ( хi М) ( хj М) А(х1, …xn) = • = ( хj М) ( хi М) А(х1, …xn). • Порядок навешивания разноимённых кванторов обычно существенен.

Теоретико-множественные операции над множествами • ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ • 1. Объединение множеств – C = A B. • Для произвольного х справедливо • х С х А v х В • Если применить операцию отрицания • _________________________ • х С х А v х В, • то, используя определение отрицания и правило де Моргана, получим: • х С х А х В

• • • 2. Пересечение множеств - C = A B. Для произвольного х справедливо • х С х А х В Эквивалентное высказывание для случая, когда х A B, имеет вид • х С х А v х В. Если множества А и В не имеют общих элементов, то их пересечение равно , т. е. • A B = . Множества А и В называются непересекающимися.

• Для операций объединения и пересечения множеств справедливы соотношения: • A A B, B A B • A B A, A B B • Операции объединения и пересечения распространяются на произвольное число множеств.

• • • 3. Разность множеств С = А В – Это множество элементов А, которые не принадлежат множеству В. Для произвольного х справедливо • х С х А х В. Если y А В, то получаем: • y С y А v y В. Справедливы соотношения: • А В А, В А В.

• ПРИМЕР: • Если А = {a, b, c, d, e, f}, B = {a, d, g}, то • А В = {b, c, e, f}; B A = {g}. • В случае, когда А В, то дополнением А до • • ____ В называется А, для которого А = B A.

ЛЕКЦИЯ 8 • Операции на множествах • (продолжение)

• Введем понятие Е – универсального множества или универсума. • Универсум Е – это такое множество, к-рое включает в себя в качестве подмножеств все множества, встречающиеся в данном классе задач. • Семейство (множество) всех подмножеств универсума обозначим элементом (Е). • В этом случае любое множество М является элементом семейства (множества) (Е).

• Существует бесконечно большое количество различных универсумов, к-рые определяются своим кругом задач. • 4. ДОПОЛНЕНИЕ МНОЖЕСТВА: • Для произвольного множества М (Е) можно определить дополнение М до универсума Е: существует блеск • метро _____________ произвольного множества элементов справедливо М=ЕМ ______ для • Для М дополнение можно взять до любого множества, в которое включается М. Если дополнительно не оговорено множество, то дополнение берется до универсума Е.

• 5. Симметрическая разность множеств: • С=АΘВ • Это множество С, элементы которого принадлежат или множеству А В, или множеству В А. • Для произвольного х можно записать: • х С х А В v х В А или • х С х А x В v х В x А • Если y А Θ В, то получаем выражение: • y С y А y В v y A y B.

ПРИМЕР: • Если А = {a, b, c, d, e}, B = {a, d, f, g} то • А Θ В = {b, c, e, f, g} = B Θ A • Из соотношений, полученных для операций разности и симметрической разности следует: • АΘВ А В

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ НАД МНОЖЕСТВАМИ • Свойства операций – «объединение» , «пересечение» , «дополнение» на множестве (Е): • Если А, В, С (Е) – произвольные множества, то для них имеют место следующие равенства: • === • 1. А = А – инволюция; • 2. А А = А, А А = А – идемпотентность • (закон повторяемости)

• 3. А В = В А, А В = В А – • – коммутативность; • 4. А (В С)= (А В) С = А В С ; • А (В С)= (А В) С = А В С – • – ассоциативность; • 5. А (В С)= (А В) (А С); • А (В С)= (А В) (А С) – • – дистрибутивность;

• • • ____ _ _ 6. А В = А В, А В = А В – – законы де Моргана; _ _ 7. А А = Е, А А = ; 8. А = А, А = ; 9. А Е = Е, А Е = А; _ _ 10. Е = , = Е.

• Для операций «» и «Θ» совместно с рассмотренными ранее операциями на множестве (Е) справедливы равенства: • _ • A B = A B; • A (A B) = A B; • (A B) C = (A C) (B C); • A (B C) = (A B) (A C); • _ • A Θ A = ; A Θ = A; A Θ E = A;

• A Θ B = B Θ A; • A Θ B Θ C = (A Θ B) Θ C = A Θ (B Θ C); • A (B Θ C) = (A B) Θ (A C); • A Θ B = (A B) (B A);

Бесконечные и счетные множества