МНОЖЕСТВА ЛЕКЦИЯ Множества Теория множеств

МНОЖЕСТВА • ЛЕКЦИЯ

Множества • Теория множеств возникла в конце XIX века • Одним из создателей теории множеств является немецкий математик Георг Кантор

Понятие множество • не определяется через другие, оно основное • Элементы множества которых оно образовано • Например, • • • это объекты, из - это элемент множества многоугольников. - это элемент множества прямоугольников. Х – это элемент множества римских цифр. 7 - это элемент множества арабских цифр.

• ОБОЗНАЧЕНИЕ множеств: А, В, С, … • элементов множеств: а, в, с, … • множеств чисел: • натуральных – N • целых - Z • иррациональных – J • рациональных - Q • действительных - R • числа элементов множества А: п (А)

Множества изображают на кругах Эйлера Элементы множеств изображают точками принадлежит - - а А не принадлежит b А

ПРИМЕР: чтение предложения: а N • а является элементом множества N • множество N содержит элемент а • а принадлежит множеству N • а натуральное число.

Виды множеств • Пустое множество • не содержит ни одного элемента • ОБОЗНАЧЕНИЕ: Ø, • п (Ø) = 0 • Например. • Множество людей, побывавших на Солнце.

Виды множеств • Конечные множества: • А - римских цифр, п (А) = 7, • А = {I, V, X, L, C, D, M}, • В - арабских цифр, • В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}, п (В) = 10 • Бесконечные множества: • N, Z, Q, R • N = {1, 2, 3, 4, …} • Z = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ • ОПРЕДЕЛЕНИЕ: • Множество считают заданным, • если о любом объекте можно сказать, • принадлежит он этому множеству или нет.

Множество можно задать: • • Перечислением его элементов ПРИМЕРЫ: А = {1, 2, 3, 4}, D = {a, b, c}, B = {слово}, С={ , }, Е = {Х, Y}.

Множество можно задать: • Указанием характеристического свойства его элементов • свойства, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. • ПРИМЕР: • М – множество целых чисел, больших -5 или • М = {m / m Z, m > -5}.

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ • Множества пересекаются • если имеют общие элементы, т. е. • элементы принадлежащие одновременно обоим множествам • Множества не пересекаются если не имеют ни одного общего элемента

Отношение пересечения • Множества А и В находятся в • • • отношении пересечения если множества А и В имеют элементы, принадлежащие одновременно А и В. ПРИМЕР: В отношении пересечения находятся множества треугольников равнобедренных и прямоугольных.

Множества находятся в отношении включения если каждый элемент множества А является элементом множества В. • Ø и В называют несобственными подмножествами В. • Остальные подмножества называют собственными подмножествами В. • ОБОЗНАЧЕНИЕ: А В • ЧТЕНИЕ: А подмножество В, • А включается в В, • В содержит А

ПРИМЕРЫ: в отношении включения находятся • множества {1, 3, 5, 7} и {3, 5} • множество прямоугольников и • множество квадратов множество величин, изучаемых младшими школьниками, и множество, элементами которого являются масса, емкость, цена.

УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО • Если А, В, С являются • • подмножествами Х, то Х называется универсальным для А, В, С. ПРИМЕР: Универсальное множество для множеств: А – квадратов, В – прямоугольников, С – трапеций, D – ромбов – множество К – четырехугольников.

Отношение равенства • Множества А и В находятся в отношении равенства если А Ви. В А • • Равные множества состоят из одних и тех же элементов • и порядок записи элементов роли не играет: • {a, b, c} = {c, a, b} = {b, c, a}

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Объединение множеств • ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Объединением множеств Х и Y • • называется множество, состоящее из таких элементов х, которые принадлежат хотя бы одному множеству Х или Y ОБОЗНАЧЕНИЕ: - объединение. А В - объединение множеств А и В. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: Х Y = {х/ х Х или х Y}

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ ПРИМЕРЫ: 1) Х ={1}, Y = {2} X Y = {1, 2} 2) Х ={1, 2}, Y = {2} X Y = {1, 2} 3) Х ={1, 2}, Y = {2, 4} X Y = {1, 2, 4} 4) Х ={1, 2}, Y = {2, 1} X Y = {1, 2}

Пересечение множеств • ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пересечением множеств Х и У • • называется множество, которое состоит из таких элементов х, которые принадлежат одновременно множеству Х и Y ОБОЗНАЧЕНИЕ: - пересечение. А В - пересечение множеств А и В. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: Х Y = {х/ х Х и х Y}

ПЕРЕСЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ • ПРИМЕРЫ: • 1) Х ={1}, Y = {2}, Х • 2) Х ={1, 2}, Y = {2}, X Y=Ø Y = {2} • 3) Х ={1, 2}, Y = {2, 4}, X Y = {2} 4) Х ={1, 2}, Y = {2, 1}, X Y = {1, 2}

Коммутативный закон • А В=В А • ИЛЛЮСТРАЦИЯ: • А В =В А • ИЛЛЮСТРАЦИЯ:

Ассоциативный закон • (А В) С = А (В С) • ИЛЛЮСТРАЦИЯ:

Дистрибутивный закон • объединения множеств относительно пересечения множеств • (А В) С = (А • ИЛЛЮСТРАЦИЯ: С) (В С) • пересечения множеств относительно объединения множеств • (А В) С = (А • ИЛЛЮСТРАЦИЯ: С) (В С)

ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ: • Если нет скобок, • то сначала выполняют операцию • • • пересечения множеств, потом объединения множеств. ПРИМЕР. Если А = {1, 2, 3}, D = {2, 4, 5}, F = {1, 5} то F D A = {1, 5} {2} = {1, 2, 5} F D A = {5} {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 5}

Разность множеств • ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Разностью множеств Х и Y • • • называется множество, которое состоит из таких элементов х, которые принадлежат множеству Х и не принадлежат Y ОБОЗНАЧЕНИЕ: А / В - разность А и В В / А - разность В и А СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ: Х / Y = {х/ х Х и х Y}

ПРИМЕРЫ: • 1) Х ={1, 2}, Y = {4} • X/Y = {1, 2} • Y/ X = {4}

ПРИМЕРЫ: • 2) Х ={1, 2}, Y = {2} • X/Y = {1} • Y/ X = Ø

ПРИМЕРЫ: • 3) Х ={1, 2}, Y = {2, 4} • • X/Y = {1} • • Y/ X = {4}

ПРИМЕРЫ: • 4) Х ={1, 2}, Y = {2, 1} • X/Y = Ø • Y/ X = Ø

СВОЙСТВА: • А / (В С) = (А / В) (А / С)

СВОЙСТВА: • А / (В С) = (А / В) (А / С) = (А/В)/С

ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ: • Если нет скобок, то сначала выполняется пересечение, • потом объединение или вычитание множеств. • Объединение и вычитание множеств считают равноправными операциями.