Множества и операции над ними Понятие множества

Множества и операции над ними

Понятие множества • Множество -- это совокупность различимых объектов, рассматриваемая как единое целое. • Объекты, образующие множество, называются его элементами. Об этих объектах говорят, что они принадлежат данному множеству, а все остальные объекты не принадлежат ему.

Обозначения

Конечные и бесконечные множества • Различают конечные и бесконечные множества. Множество конечно, если все его элементы можно, хотя бы в принципе, перечислить. Если же, сколько бы элементов множества ни было названо, можно указать ещё другие элементы данного множества, то говорят, что множество бесконечно.

Способы задания множеств 1. Перечисление элементов • Элементы множества перечисляются в фигурных скобках через запятую. • Этим способом задают конечные множества. Иногда так задают бесконечные множества, если алгоритм перечисления элементов множества легко угадывается по нескольким первым элементам. Разумеется, в последнем случае мы получаем лишь неформальное описание, а не строгое определение данного множества.

Примеры множество десятичных цифр Множество D конечно.

Множество натуральных чисел множество натуральных чисел. Натуральные числа -- это числа, которые используются при подсчёте предметов. Множество натуральных чисел бесконечно.

Множество целых чисел множество целых чисел. Целые числа -- это натуральные, ноль и числа, противоположные натуральным.

Способы задания множеств 2. Указанием характеристического свойства • При этом способе задания множество записывают в виде: • Характеристическое свойство -- это свойство, которым обладают все элементы данного множества, и только они (т. е. , элементы, не принадлежащие данному множеству, этим свойством не обладают).

Примеры • Пусть Тогда

Примеры • Пусть Тогда

Множество рациональных чисел множество рациональных чисел, т. е. чисел, представимых дробями вида m/n, где числитель m -- целое число, а знаменатель n -- натуральное число.

Множество действительных чисел • R – множество действительных чисел, т. е. чисел, представимых бесконечными десятичными дробями где неотрицательное целое число, десятичные цифры, и дробь не оканчивается последовательностью девяток. Символ обозначает знак числа, который может отсутствовать или быть знаком .

Множество действительных чисел • При таком способе представления действительных чисел каждое действительное число представляется ровно одной бесконечной десятичной дробью, и каждая бесконечная десятичная дробь представляет ровно одно действительное число. • Кроме того, существует соответствие между действительными числами и точками числовой прямой, которое обладает тем же свойством: каждое действительное число представляется ровно одной точкой числовой прямой, и каждая точка числовой прямой представляет ровно одно действительное число.

Иррациональные числа • Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. • Примеры иррациональных чисел:

Операции над множествами • Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Операции над множествами • Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств А и В.

Примеры

Примеры

Универсальное множество • Множество, которое содержит все рассматриваемые в данном контексте множества, называется универсальным. • Например, в арифметике универсальное множество – множество целых чисел, в математическом анализе – множество действительных чисел.

Дополнение множества • Дополнением множества А до универсального множества U называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов множества U, которые не принадлежат А.

Примеры • Пусть универсальное множество – множество натуральных чисел N, Тогда

Примеры • Пусть универсальное множество – множество действительных чисел R, Тогда

Пустое множество пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента