Множества 1 3 Произведение множеств Бинарные отношения Отношение

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Множества 1. 3. Произведение множеств. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности Пусть А и В – множества. Определение 1. 3. Произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (а, b), где а А и b В. Произведение обозначается А В = {(a, b): a A и b B}. Определение 1. 4. Бинарным отношением (или просто отношением) в А В называется любое подмножество множества А В. Если S является отношением в А А, то говорят, что S является отношением в А. Пусть S некоторое отношение в А В. Введем два множества: DS = {a A: b B: (a, b) S}, RS = {b B: a A: (a, b) S}. Математический анализ, 1 семестр

Множества Определение 1. 5. Отношение S на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет следующим условиям: 1) а. Sа для а А (рефлексивность); 2) если а. Sв, то в. Sа (симметричность); 3) если а. Sв и в. Sс, то а. Sс (транзитивность). Определение 1. 6. Пусть задано отношение эквивалентности на А. Множество Х А называется классом эквивалентности для этого отношения, если оно удовлетворяет следующим условиям: 1) для любых х Х и у Х выполняется х у; 2) если х Х , у А и х у, то у Х. Пусть на А задано отношение эквивалентности. Введем следующее обозначение: [x] = {y A: x y} - класс эквивалентности, порожденный элементом х Математический анализ, 1 семестр

Множества Лемма 1. 1. Для классов эквивалентности [x] и [y] возможны только следующие два случая: 1) [x] = [y]; 2) [x] [y] = . Лемма 1. 2. Если {A } – некоторое разбиение множества А, то отношение S, определяемое следующим условием: а. Sв : а А и в А , является отношением эквивалентности. Теорема 1. 3. Пусть S – некоторое отношение эквивалентности на А. Пусть {А } – разбиение множества А, порожденное этим отношением (лемма 1). Пусть Т – отношение эквивалентности, порожденное разбиением {А } (лемма 2). Тогда S = T. Математический анализ, 1 семестр

Множества 1. 4. Функция Пусть Х и У два множества и F отношение в Х У. Определение 1. 7. Отношение F называется функцией из Х в У, если оно удовлетворяет свойству: из x. Fy и x. Fz следует, что y = z. 1) В случае, когда DF = Х функцию называют всюду определенной. 2) Функция F из Х в У называется сюръекцией (или отображением на), если RF = У. 3) Функция F из Х в У называется инъекцией (или однозначным отображением), если из х1 х2 следует, что F(х1) F(х2). Всюду определенная функция F из Х в У называется биекцией, если она одновременно является сюръекцией и инъекцией. Математический анализ, 1 семестр

Множества Определение 1. 8. Пусть F – функция из X в Y, а G – из Y в Z. Суперпозицией функций F и G называется такая функция H из X в Z, что z = H(x) (т. е. (x, z) H X Z) тогда и только тогда, когда y = F(x) и z = G(y). Суперпозиция обозначается Go. F. Определение 1. 9. Для функции F из Х в У функция G из У в Х называется правой обратной (соответственно, левой обратной), если справедливо равенство Fo. G=IУ (соответственно, Go. F=IХ), где через IХ (IУ) обозначено тождественное отображение на Х (соответственно на У), т. е. IХ(x) = x (IУ(y) = y). Математический анализ, 1 семестр

Множества Лемма 1. 3. Если функция F имеет левую обратную, то F является инъекцией. Лемма 1. 4. Если функция F имеет правую обратную, то F является сюръекцией. Лемма 1. 5. Если у функции F из Х в У существуют левая и правая обратная функции, то они совпадают. Определение 1. 10. Функция из У в Х, которая является правой и левой обратной к функции F, называется обратной функцией к F и обозначается через F -1. Теорема 1. 4. Пусть F является функцией из Х в У. Для существования обратной функции F-1 из У в Х необходимо и достаточно, чтобы F была биекцией. Следствие. Если F является биекцией, то и F-1 также является биекцией. Математический анализ, 1 семестр

Множества 1. 5. Мощность множеств Определение 1. 11. Если для двух множеств А и В существует биекция А на В, то говорят что они имеют равную мощность. Если же существует инъекция множества А на В и не существует биекции между ними, то говорят, что мощность множества А меньше мощности множества В Определение 1. 12. Множество А, равномощное множеству натуральных чисел N, называется счетным множеством (имеет мощность счетного множества). Мощность счетного множества обозначается алеф-нуль (алеф – первая буква древнееврейского алфавита). Если множество В является бесконечным и не равномощно множеству N, то его называют несчетным. Множество, которое является конечным или счетным, еще называют не более чем счетным. Математический анализ, 1 семестр

Множества Теорема 1. 5. Любое подмножество счетного множества не более чем счетно. Теорема 1. 6. Объединение конечного или счетного числа счетных множеств является счетным множеством. Теорема 1. 7. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество. Теорема 1. 8. Пусть множество М – несчетно, множество А не более чем счетно и А М. Тогда множество М – А равномощно множеству М. Теорема 1. 9. Если множество С бесконечно, а В не более чем счетно, то множество В С равномощно множеству С. Математический анализ, 1 семестр

Множества Теорема 1. 10. Если множество С является бесконечным, то существует его подмножество В такое, что В С и В равномощно с С. Теорема 1. 11. Множество рациональных чисел Q является счетным. Теорема 1. 12. Множество точек интервала (0, 1) является несчетным. Множества, равномощные множеству точек интервала (0, 1), называются множествами мощности континуум Математический анализ, 1 семестр

Скачать презентацию Множества 1 3 Произведение множеств Бинарные отношения Отношение

Lektsia_2.pptx

Количество слайдов: 9