Многовариантные задачи С-4 Готовясь к Единому государственному экзамену

Многовариантные задачи С-4. Готовясь к Единому государственному экзамену, мы столкнулись с трудностями при решении задач типа С-4. Это вызвано тем, что предлагаются геометрические задачи, требующие рассмотрения нескольких возможных конфигураций. Иногда такие задачи действительно допускают разные чертежи и несколько ответов, а в других случаях, в конце концов, оказывается, что всем условиям задачи удовлетворяет только один из них.

Прямая, перпендикулярна гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника, равен 40, а отношение катетов треугольника 158.

: Первый вариант. Решение: Обозначим треугольник АВС. Предположим, что отрезок отсекает от треугольника АВС треугольник АNM (рис. 1) Обозначим точки касания окружности и прямых Р, Q, R, S(рис. 1). Так как ОQMR и OPCS – квадраты, MQ=PC=r, где r – радикс окружности. Кроме того, NQ=NP. Значит, NM=NC. BN – биссектриса угла АВС. Треугольник NMB и NCB равны по гипотенузе и катету. Пусть СВ=8 х, а СА=15 х. по теореме Пифагора АВ=17 х. тогда АМ=АВ-ВМ=17 х-8 х=9 х. Из подобия треугольников AMN и АСВ получаем:

Первый вариант следовательно, Найдем радиус окружности:

Второй вариант Если отрезок отсекает треугольник BNM (рис. 2), то, рассуждая аналогично, находим, что ВМ=17 х-15 х=2 х. из подобия треугольников АСВ и NMB получаем: , откуда Тогда r=3 х=32. Ответ: 25 или 32.

Радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, площадь которого равна 210, в три раза меньше высоты, проведенной из вершины А. Известно, что ВС = 28. Найдите сторону АС.

Мы знаем, что радиус вписанной окружности равен площади треугольника, поделенной на его полупериметр: r = S/p. В свою очередь, площадь треугольника равна BC*h/2 (h - высота). S = 28*h/2 = 14*h = 42*r = 42*S/p. 1 = 42/p. Отсюда полупериметр p = 42. Подставляем известные значения BC и p в формулу Герона: sqrt(42*14*(42 -x)*(42 -y)) = 210 (x и y - это две неизвестные стороны треугольника). Отсюда (42 -x)*(42 -y) = 75. И ещё нам известен полупериметр: (x+y+28)/2 = 42. й, уравнени из двух стему ем эту си Реша 17}. получаем x = 39, y = или { 17, y = 39} {x =