Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада •

Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада • Модель рассматривает задачу управления запасами n различных товаров, которые хранятся на одном складе ограниченной вместимости. • Характер изменения запаса каждого товара в отдельности определяется также, как в базовой модели. • Предполагается, что дефицит отсутствует. • Отличие от ранее рассмотренных моделей состоит в том, что товары конкурируют между собой за ограниченное складское пространство.

Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада Определим для товара i, i = 1, 2 … n, следующие параметры: • Di — интенсивность спроса, • К i — стоимость размещения заказа, • h i — стоимость хранения единицы товара в единицу времени, • y i — объем заказа, • a i — необходимое пространство для хранения единицы товара, • А — максимальное складское пространство для хранения товаров n видов.

Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада При отсутствии дефицита математическая модель сформулированной задачи имеет следующий вид. → min

Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада Алгоритм решения: Этап 1. Вычисляются оптимальные объемы заказов без учета ограничения по вместимости склада: Этап 2. Осуществляется проверка, удовлетворяют ли найденные значения y i* ограничению по вместимости склада. Если это так, вычисления заканчиваются, при этом значения yi*, i = 1, 2 … n, являются оптимальными. В противном случае следует перейти к этапу 3.

Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада Этап 3. Ограничение по вместимости склада должно удовлетворяться в форме равенства. Используется метод множителей Лагранжа для определения оптимальных объемов заказа для задачи с ограничением. Для этого строится функция Лагранжа где λ (< 0) — множитель Лагранжа.

Многопродуктовая статическая модель с ограниченной вместимостью склада Оптимальные значения yi* и λ находятся из уравнений, которые представляют собой необходимые условия экстремума функции Лагранжа. Из первого уравнения следует, что Так как по определению λ* < 0, мы последовательно уменьшаем λ на достаточно малую величину и используем ее для вычисления соответствующего значения yi*. Искомое значение λ* приводит к значениям yi*, i = 1, 2 … n, которые удовлетворяют ограничению по вместимости склада в форме равенства.

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЭКОНОМИЧНОГО РАЗМЕРА ЗАКАЗА

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 1. Уровень запаса контролируется периодически на протяжении конечного числа одинаковых периодов. 2. Объем спроса на протяжении периода хотя и является детерминированным, но в то же время он динамический, поскольку может периодически меняться. 3. Ситуация, в которой имеет место переменный детерминированный спрос, называется планированием потребностей ресурсов.

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ Предположим, что на протяжении следующего года квартальный спрос на модели M 1 и М 2 некоторой продукции равен 100 и 150 единиц соответственно. Поставки квартальных партий реализуются в конце каждого квартала. Срок выполнения заказа на модели M 1 и М 2 равен 2 месяца и 1 месяц соответственно. Для изготовления каждой единицы модели M 1 и М 2 используется 2 единицы комплектующих деталей S. Срок изготовления комплектующих равен одному месяцу.

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ • Чтобы вовремя начать производство партий двух рассматриваемых моделей, поставка комплектующих S должна совпадать с началом производства M 1 и М 2 , т. е. с пунктирными стрелками в планах их производства. • Эта информация представлена сплошными стрелками на S-схеме, где учитывается, что спрос на комплектующие S равен 2 единицам на каждую единицу продукции M 1 и М 2. • Если учесть, что срок изготовления комплектующих равен одному месяцу, пунктирные стрелки на S-схеме определяют план производства комплектующих.

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ • Исходя из указанных двух планов, можно определить соответствующий суммарный спрос на S. • Результирующий переменный (но известный) спрос на комплектующие S представляет собой типичную ситуацию, когда применяются динамические модели экономичного размера заказа. • При указанном переменном спросе на комплектующие S задача, по существу, сводится к определению объемов производства в начале каждого месяца для уменьшения затрат, связанных с производством и хранением продукции.

МОДЕЛЬ ПРИ ОТСУТСТВИИ ЗАТРАТ НА ОФОРМЛЕНИЕ ЗАКАЗА • Рассматривается задача календарного планирования производства, рассчитанная на n равных периодов. • Возможные объемы производства в каждый из периодов ограничены, однако они могут включать несколько уровней (например, два возможных объема производства могут определяться обычным режимом работы и сверхурочными работами соответственно). • На протяжении текущего периода могут производиться изделия для последующих периодов, но в этом случае должны учитываться затраты на их хранение.

МОДЕЛЬ ПРИ ОТСУТСТВИИ ЗАТРАТ НА ОФОРМЛЕНИЕ ЗАКАЗА Основные предположения модели: 1. Отсутствие затрат на оформление заказа в любой период планирования. 2. Отсутствие (недопустимость) дефицита. 3. Стоимость производства единицы продукции в любой период либо является постоянной, либо имеет возрастающие предельные затраты (т. е. соответствующая функция затрат является выпуклой). 4. Стоимость хранения единицы продукции в каждый период является постоянной величиной. Предположение 2 по крайней мере требует, чтобы суммарные возможности производства за периоды 1, 2, . . . , i были равны суммарному спросу на продукцию за это же время.

МОДЕЛЬ ПРИ ОТСУТСТВИИ ЗАТРАТ НА ОФОРМЛЕНИЕ ЗАКАЗА Выпуклая функция затрат, когда производственные затраты на единицу продукции возрастают с увеличением уровня производства.

Модель при отсутствии затрат на оформление заказа • Рассматриваемую задачу n-этапного планирования можно сформулировать в виде транспортной задачи с kn пунктами производства и n потребителями, где k — количество возможных уровней производства на протяжении периода • Производственные возможности каждого из kn пунктов производства определяют объемы поставок. Объемы потребления определяются объемом спроса для каждого периода. • Себестоимость "перевозки" от пункта производства до пункта назначения определяется суммой затрат используемого производственного процесса и стоимости хранения единицы продукции. • Оптимальное решение такой транспортной задачи определит объемы производства продукции для каждого производственного уровня, которые минимизируют суммарные затраты на производство и хранение.

МОДЕЛЬ С ЗАТРАТАМИ НА ОФОРМЛЕНИЕ ЗАКАЗА • В модели предполагается, что дефицит не допускается и затраты на оформление заказа учитываются всякий раз, когда начинается производство новой партии продукции. • Обычно используются два метода решения этой задачи: точный метод динамического программирования и эвристический. • Обозначим для каждого этапа i = 1, 2 … n: • zi— количество заказанной продукции (объем заказа), • Di — потребность в продукции (спрос), • хi — объем запаса на начало этапа i.

МОДЕЛЬ С ЗАТРАТАМИ НА ОФОРМЛЕНИЕ ЗАКАЗА • Стоимостные элементы определяются: • К i — затраты на оформление заказа, • h i — затраты на хранение единицы продукции, переходящей из этапа i в этап i +1. • Соответствующая функция производственных затрат для этапа i задается • где ci(zi) — функция предельных производственных затрат при заданном значении zi.

Алгоритм динамического программирования с общей функцией стоимости. • Поскольку дефицит не допускается, задача управления запасами сводится к вычислению значений zi, минимизирующих суммарные затраты, связанные с размещением заказов, закупкой и хранением продукции на протяжении n этапов. • Затраты на хранение на n -м этапе для предполагаются пропорциональными величине: простоты которая представляет собой объем запаса, переходящего из этапа i в этап i + 1. • Состояние на этапе i определяется как объем запаса хi+1 на конец этапа Таким образом • В предельном случае запас хi+1 может удовлетворить спрос на всех последующих этапах.

Алгоритм динамического программирования с общей функцией стоимости. • Пусть f i(хi+1 ) — минимальные общие затраты на этапах 1, 2, . . . , i при заданной величине запаса хi+1 на конец этапа i. • Рекуррентное уравнение алгоритма прямой прогонки будет записано следующим образом: