Многоканальные системы с отказами 2012 Задача Эрланга

Многоканальные системы с отказами 2012

Задача Эрланга. • Пусть имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ , поток обслуживаний имеет интенсивность μ. Определить предельные вероятности состояния системы и показатели эффективности. • Система имеет S возможных состояний. Состояние Sk означает занятость k -каналов или количество заявок пребывающих в системе в данный момент времени.

• Граф состояний имеет вид, соответствующий модели процесса гибели и размножения. • Поток заявок последовательно переводит из любого левого состояния в соседнее правое с постоянной интенсивностью λ . Интенсивность потока обслуживаний заявок, переводящего систему из любого правого состояния в соседнее левое постоянно меняется в зависимости от состояния и для к - го состояния равна kμ.

• Для схемы процесса гибели и размножения формулы предельных вероятностей имеют вид: ,

• или с учетом постоянства интенсивности потока

• Заменив , где ρ - интенсивность нагрузки канала или приведенная интенсивность потока заявок, получим: • В данном виде, формулы предельных вероятностей, называются формулами Эрланга.

Показатели эффективности многоканальной СМО с отказами. • Вероятность отказа: • Относительная пропускная способность системы: • • Абсолютная пропускная способность системы: • • Среднее число занятых каналов или математическое ожидание числа занятых каналов: • где - предельные вероятности состояния.

Задача • Заявки на телефонную станцию поступают с интенсивностью 90 заявок в час, • средняя продолжительность разговора 2 минуты. • Определить показатели эффективности работы СМО в случае одного телефонного номера. • Определить оптимальное число телефонных номеров, если в качестве показателя эффективности принять относительную пропускную способность системы > 0, 90.

Решение • Ранее определены показатели эффективности системы для случая одного телефонного номера. • Интенсивность потока заявок: λ=90 (1/час). • Среднее время обслуживания: Т=2 (мин. ) • Интенсивность потока обслуживаний: μ=1/Т=60/2=30 (1/час) • Относительная пропускная способность системы: • • В среднем обслуживается 25% из числа поступивших заявок.

• Относительная пропускная способность многоканальной системы: • Учитывая, что по условию задачи • ρ=λ/μ=90/30=3 • вычислим

• Абсолютная пропускная способность системы для пяти каналов ,

• Ответ: В предельном, стационарном режиме, при пяти телефонных номерах и заданных параметрах интенсивности потоков поступления и обработки заявок показатель эффективности, - относительная пропускная способность многоканальной системы составит 0. 9, или, в среднем, из 90 поступивших заявок 80 будут удовлетворены.

Системы массового обслуживания с ожиданием (очередью). • В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием дополнительно используются следующие показатели: • · среднее число заявок в системе; • · среднее время пребывания заявки в системе; • · среднее число заявок в системе; • · среднее время пребывания заявки в очереди; • · вероятность занятости канала.

Одноканальная система с неограниченной очередью • Граф состояния системы имеет вид: • В данном случае S 0 - канал свободен, S 1 - канал занят, заявок в очереди нет, S 2 - канал занят, одна заявка в очереди, и т. д. Модель СМО соответствует схеме процесса гибели и размножения с бесконечным числом состояний.

Условие существования предельных вероятностей • Предельные вероятности состояния для одноканальной СМО с неограниченной очередью существуют при ρ<1 или в том случае, если среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок за единицу времени. В ином случае очередь неограниченно возрастает.

• Предельные вероятности состояния определяются по схеме гибели и размножения

• Учитывая условия сходимости ρ<1 , сумма ряда представляет убывающую геометрическую прогрессию, для которой сумма ряда • Следовательно,

• Для других предельных вероятностей состояний • Или, с учетом • Если система справляется с потоком заявок, то наиболее вероятным состоянием системы будет отсутствие очереди.

Показатели эффективности системы • Среднее число заявок в системе • • где k- число заявок в очереди. • В предельном случае

• Среднее число заявок под обслуживанием определяется по формуле математического ожидания • • или среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности занятости канала.

• Среднее число заявок в очереди

Формулы Литтла. • Утверждение: При любом потоке заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равно среднему числу заявок в системе (очереди) деленному на интенсивность потока заявок.

• Следствие: В предельном, стационарном режиме, среднее число заявок прибывающих в систему равно среднему числу ее покидающих, или оба потока должны иметь одинаковую интенсивность

Задача • Порт имеет один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока 0, 4 в сутки, среднее время разгрузки одного судна 2 суток. В предположении неограниченности очереди определить показатели эффективности работы причала и вероятность ожидания разгрузки не более 2 судов.

Решение: • Предельные вероятности состояния: • - причал свободен • - причал занят

• вероятность ожидания 0, 1, 2 судов

• Вероятность ожидания разгрузки в очереди не более 2 судов • • Среднее число судов ожидающих разгрузку •

• Среднее время ожидания • Среднее число судов в порту • Среднее время пребывания судна

СМО с ограниченной очередью • В этом случае число заявок в системе не может превышать заданного числа m, заявка поступившая в момент когда все места в очереди заняты покидает систему не обслуженной. • В этом случае справедливы формулы для СМО с неограниченной очередью с суммированием для конечного отрезка ряда.

Задача • Порт имеет один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока 0, 4 в сутки, среднее время разгрузки одного судна 2 суток. Определить показатели работы порта при условии, что судно покидает порт при наличии в очереди более 3 судов.

Решение: • Судно покинет порт без разгрузки, если длина очереди m=3 • Предельные вероятности состояния: • Причал свободен • По условию задачи

• • Вероятность отказа

• Относительная пропускная способность причала • • Абсолютная пропускная способность причала

• Среднее число судов в очереди под разгрузку

• Среднее время ожидания в очереди